Misalkan diketahui persamaan beda orde 2 sebagai berikut:
2 1
n n
n
k
y y
y
+ +
+
+ +
= Untuk mendapatkan nilai
2 n
y
+
maka harus diketahui nilai dari
1 n
y
+
dan
n
y . Misalkan diketahui persamaan beda orde 3
sebagai berikut:
3 2
1 n
n n
n
k
y y
y y
+ +
+
+
+ +
+ =
Untuk mendapatkan nilai
3 n
y
+
maka harus diketahui nilai dari
2 n
y
+
,
1 n
y
+
dan
n
y . Misalkan diketahui persamaan beda orde m ,
sebagai berikut:
1 1
...
n m n m
n n
k
y y
y y
+ + -
+
+
+ +
+ +
= Untuk mendapatkan nilai
n m
y
+
maka harus diketahui nilai dari
1 n m
y
+ -
,
2 n m
y
+ -
, ...,
1 n
y
+
dan
n
y . D apat
disimpulkan bahwa untuk
mendapatkan nilai dari
n
y harus diketahui n nilai y sebelumnya, yaitu dari nilai
y hingga nilai
1 n
y
-
, dengan n = 1, 2, 3, ... Proses di atas disebut metode rekursif untuk
memperoleh solusi persamaan beda. [Farlow, 1994]
2.4 Model Kermack – McKendrick Model Kermack-McKendrick terdiri atas
sebuah sistem dari 3 persamaan diferensial biasa taklinear, sebagai berikut:
dS SI
dt β
= − dI
SI I
dt β
γ =
− dR
I dt
γ =
dengan t adalah waktu, S t adalah bany aknya orang sehat yang rentan, I t adalah
banyaknya orang yang terinfeksi, R t adalah banyaknya orang yang telah sembuh dan
berkembang menjadi imun terhadap infeksi,
β adalah tingkat infeksi, dan
γ adalah
tingkat penyembuhan. [Weisstein EW dan Weissten T, 2004]
III PEMBAHASAN
3.1 Diskretisasi Fungsi Eksponensial
Fungsi eksponensial pada umumnya berbentuk
x
x
f e
= , dengan
e
adalah konstanta Euler. Fungsi eksponensial di atas
merupakan bentuk solusi untuk sebuah laju pertumbuhan eksponensial exponential
growth. Laju pertumbuhan eksponensial merupakan sebuah model yang terbentuk
karena terdapat sebuah variabel yang berkembang secara eksponensial terhadap
waktu. Misalkan W adalah sebuah variabel yang berkembang
terhadap waktu t. Hubungan pertumbuhan W terhadap t dapat
dituliskan dalam bentuk persamaan diferensial sebagai berikut:
.........1.1
t
dW k W
dt =
dengan k adalah kon stanta proposional yang menggambarkan laju pertumbuhan dari W.
Persamaan 1.1 merupakan
model pertumbuhan eksponensial dengan solusi:
1.2
.........
kt
t
W W e
= dengan W
adalah kondisi awal dari W lihat Lampiran 1.
Untuk mendapatkan bentuk diskret dari fungsi eksponensial pada pesamaan 1.1,
akan dilakukan proses transformasi yang disebut diskretisasi. Langkah dari proses
diskretisasi adalah sebagai berikut:
Karena dW
dt adalah laju pertumbuhan W
terhadap waktu t, maka :
lim
W t t
W t dW
k W t t
dt t
→
+∆ − =
= ∆
∆ Pada model diskret diambil
1
t
∆ =
, sehingga 1
1 1
W t W t
k W t W t
W t k W t
+ − =
+ − =
Dengan memisalkan
n
W t x
= dan
t n
= ,
didapatkan:
1 1
1
1
1
n n
n n
n n
n n
t t
t k
k
W W
k W x
x x
x x
x x
k x
+ +
+
+ −
= →
= +
→ =
− =
→ +
D ari proses di atas diperoleh persamaan diskret untuk fungsi eksponensial, sebagai
berikut:
1
1
........1.3
n n
k
x x
+
= +
dengan k adalah konstanta proposional yang menggambarkan laju pertumbuhan dari W.
Persamaan 1.3 merupakan model diskret pertumbuhan eksponensial dengan solusi:
1
........1.4
n
n k
x x
= +
dengan x adalah kondisi awal dari
x
n
lihat Lampiran 2.
Setelah dilakukan diskretisasi pada fungsi eksponensial, akan dilakukan simulasi
numerik dengan menggunakan software
Mathematica 6 untuk mendapatkan graf ik perkembangan Wt dan
x
n
, sehingga dapat dibandingkan apakah grafik dari persamaan
diskret hasil transformasi fungsi eksponensial sama dengan grafik dari fungsi aslinya
persamaan 1.1. Dengan memilih nilai awal untuk Wt dan
x
n
, diambil W0 =
x
= 2, akan diperlihatkan grafik perkembangan Wt
dan
x
n
pada beberapa nilai parameter k berbeda.
Dengan menggunakan persamaan 1.2 sebagai fungsi kontinu eksponensial:
kt
t
W W e
= dan
persamaan 1.4 sebagai fungsi
eksponensial diskret:
1
n
n k
x x
= +
Didapatkan grafik perkembangan Wt dan
x
n
dengan berbagai kasus pada nilai k tertentu, sebagai berikut:
Nilai k
Fungsi Eksponensial Diskret
1
n
n k
x x
= +
Fungsi Eksponensial Kontinu
kt
t
W W e
=
0.2
- 0.3
-1
-1.7
-2
-2.2
Gambar 1
Perbandingan grafik fungsi eksponensial kontinu dan diskret terhadap k . Secara umum terdapat 3 macam kasus
perkembangan W t
berdasarkan batas nilai k pada fungsi eksponensial kontinu persamaan
1.2, yaitu: 1.
k 0, perkembangan W t akan terus
meningkat hingga mendekati 8 seiring berjalannya waktu t. Lihat G ambar 1
pada k = 0.2. 2.
k = 0, perkembangan
W t
akan selalu sama dengan nilai awalnya W
untuk setiap t. Lihat G ambar 1 pada k = 0.
3. k 0, perkembangan
W t akan terus menurun hingga mendekati 0 seiring
berjalannya waktu t. Lihat G ambar 1 pada k 0.
Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa perkembangan x tehadap waktu n sangat
dipengaruhi oleh parameter k. Dengan membandingkan grafik fungsi eksponensial
diskret persamaan 1. 4 dengan grafik fungsi eksponensial
kontinu persamaan 1.2
didapat beberapa perbedaan. P ada fungsi eksponensial kontinu terdapat 3 macam
perkembangan W t
berdasarkan batas nilai k, yaitu: k 0, k = 0, k 0. Fungsi
eksponensial diskret juga memiliki semua kasus dalam fungsi eksponensial kontinu,
namun terdapat beberapa kasus pada fungsi eksponensial diskret yang tidak terdapat pada
fungsi eksponensial kontinu.
Secara umum terdapat 7 kasus khusus perkembangan
x
n
berdasarkan batas nilai k pada fungsi eksponensial diskret persamaan
1. 4, yaitu: 1.
k 0, perkembangan
x
n
akan terus meningkat hingga menuju 8 seiring
berjalannya waktu n. Lihat Gambar 1 pada k = 0.2.
2. k = 0, perkembangan
x
n
akan selalu sama dengan nilai awalnya
x
untuk setiap n. Lihat G ambar 1 pada k = 0.
3. -1 k 0, perkembangan
x
n
akan terus menurun hingga mendekati 0 seiring
berjalannya waktu n. Lihat Gambar 1 pada k = -0.3.
4. k = -1, perkembangan
x
n
akan selalu berada pada
x
= 0 untuk setiap n. Lihat Gambar 1 pada k = -1.
5. -2 k -1, perkembangan
x
n
akan berosilasi dan
konvergen menuju 0 seiring berjalannya waktu n. Lihat
Gambar 1 pada k = -1.7. 6.
k = - 2, perkembangan
x
n
akan berubah secara periodik pada
x
= -2 pada n ganjil dan
x =
2 pada n genap. Lihat G ambar 1 pada k = -2.
7. k -2, perkembangan
x
n
akan berosilasi dan divergen seiring berjalannya waktu
n. Lihat G ambar 1 pada k = -2.2.
3.2 Diskretisasi Fungsi Logistik
