khusus yang tidak terjadi pada fungsi logistik kontinu. Secara umum perkembangan
x
n
pada fungsi logistik diskret
dapat dikelompokkan dalam beberapa kasus
berdasarkan batas r, sebagai berikut: 1.
r = 0, perkembangan
x
n
akan selalu berada pada
x
untuk s et iap n. Lihat Gambar 2 pada r = 0.
2. 0 r 1.2, perkembangan
x
n
akan terus meningkat hingga mendekati K, lihat
Gambar 2 pada r = 0.7. 3.
1.2 = r 2.1, perkembangan
x
n
akan berosilasi dan konvergen mendekati nilai
K seiring berjalannya waktu n , lihat Gambar 2 pada r = 1.8 dan r = 2.
4. 2.1 = r 2.4, perkembangan
x
n
akan berubah berpola periodik.
x
n
berada disekitar K pada n genap dan
x
n
berada disekitar 0 pada n ganjil dan terus
berkembang dengan pola yang sama. Lihat G ambar 2 pada r = 2.3.
5. 2.4 = r = 2.6, perkembangan
x
n
akan berubah berpola periodik pada nilai
x
n
tertentu saat n tertentu yang disebut dengan pola periodik stabil periode 2.
Lihat G ambar 2 pada r = 2.5. 6.
2.6 r = 2.85, perkembangan
x
n
akan berubah berpola periodik pada nilai
x
n
tertentu saat n tertentu yang disebut dengan pola periodik stabil periode 4.
Lihat G ambar 2 pada r = 2.74. 7.
2.85 r = 3, perkembangan
x
n
akan berubah berpola acak yang disebut
dengan chaos. Kasus ini merupakan kasus unik pada fungsi logistik diskret. Lihat
Gambar 2 pada r = 3.
8. r 3, perkembangan
x
n
akan berkembang terus menurun dan divergen
menuju -8 . Lihat G ambar 2 pada r = 3.5. Dapat disimpulakan bahwa, fungsi
logistik diskret memiliki semua kasus dalam fungsi logistik kontinu, namun terdapat
beberapa kasus pada fungsi logistik diskret yang tidak terdapat pada fungsi logistik
kontinu. 3.3
Diskretisasi Sistem Persamaan Diferensial
3.3.1 Model kontinu wabah penyakit
AIDS : Model SIA
Titik pangkal model in i adalah model SIR, yang diperkenalkan pa da t ahun 1927 oleh
Kermack dan McKendrick Weisstein EW dan Weissten T , 2004 . Pada model tersebut,
populasi N dikelompokkan menjadi 3 bagi an, yaitu populasi individu
rentan terserang infeksi S, populasi individu
terinfeksi dan dapat menginfeksi individu lain I, dan pop ulasi individu yang telah pulih dari
infeksi atau meninggal R. Namun,
berdasarkan model di atas, yang digunakan pada model kali ini adalah model SIA yang
juga membagi populasi N menjadi 3 bagian, yaitu: Pertama, populasi individu sehat tapi
rentan terserang infeksi, S. Kedua, populasi indiv idu positif terinfeksi
HIV, masih berinteraksi dengan individu populasi pertama
dan dapat menginfeksi individu populasi tersebut, I. Ketiga, populasi individu
terinfeksi HIV namun tidak dapat menginfeksi individu lainnya termasuk individu yang
telah meninggal A, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.
Peningkatan jumlah individu dalam populasi terinfeksi I dan meninggal A
bergantung pada kuantitas interaksi populasi terinfeksi dengan individu populasi rentan,
sehingga dibutuhkan pembatas antara populasi yang satu dengan yang lainnya. Untuk
mendapatkan pembatas populasi yang lebih baik, dipengaruhi beberapa asumsi yang tepat,
guna membangun model yang lebih baik dan seseder hana mungkin. Asumsi-asumsi yang
digunakan adalah:
1. Jumlah awal populasi individu rentan
adalah tetap dan akan terus menurun dengan bertambahnya waktu.
2. Efek kematian alami ketiga populasi
tersebut dapat diabaikan. Hubungan ketiga populasi tersebut dapat
dituliskan sebagai berikut :
, ,
.. 3.1 dS
dI dA
SI SI
I I
A dt
dt dt
m m
l = -
= -
= -
dengan: m= tingkat kematian individu penderita AIDS
l = tingkat kesembuh an individu penderita AIDS
ยต
S I
A
Gambar 3 Model penyebaran AIDS.
?
interaksi
dengan l
m disebabkan
karena evolusi terhadap
kematian lebih cepat daripada daya tahan leukosit seropositivity
dalam menghadapi virus HIV. Tamizhmani et al, 2004
Model kontinu yang diberikan pada persamaan 3.1 dapat dinyatakan juga
sebagai berikut :
S I
I m
+ = -
......3.2
S I
A A
l +
+ = -
......3.3 lihat Lampiran 4
3.3.2 Diskretisasi Model Kontinu
