I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
M odel matematik telah banyak digunakan pada bidang fisika dan biologi, terutama
dalam masalah dinamik. Pemodelan fenomena alam yang terjadi dalam kehidupan nyata
secara matematis dapat mempermudah para peneliti
untuk menjelajahi efek dari
perubahan–perubahan berbagai parameter
yang berpengaruh dengan lebih mudah, cepat dan murah
dibandingkan bila hany a
bereksperimen, selain tidak murah dan memakan waktu yang cukup lama, kadang
hasil yang didapat kan tidak fisibel. Sebagian besar model matematik yang
menggambarkan fenomena–fenomena alam dinyatakan dalam model kontinu. Namun,
sebagian besar dari fenomena tersebut hanya berubah pada waktu–waktu tertentu dan tidak
setiap saat, sehingga penggambaran secara kontinu terasa kurang tepat. Oleh karena itu
diperlukan sebuah model diskret untuk mengimplementasikan fenomena–fenomena
alam yang hanya berubah pada waktu–waktu tertentu, seperti proses kelahiran
atau kematian, penyebaran atau penyembuhan
penyakit, dan sebagainya. Meskipun begitu, terdapat beberapa model matematik yang telah
menggambarkan fenomena alam secara diskret. Namun, untuk memperoleh model
diskret dari sebuah model matematik yang menggambarkan fenomena alam secara
kontinu dilakukan dengan mentransformasi model kontinu menjadi model diskret.
Bagaimanapun juga, pembentuka n sec ara eksplisit pada model matematik dibuat dengan
analisis yang detail secara matematis melalui proses-proses yang lebih mudah dimengerti.
M odel kontinu telah banyak digunakan dalam pemodelan, namun dalam kehidupan nyata
sebagian kasus lebih berupa sistem diskret, sehingga akan lebih tepat bila menggunakan
model diskret untuk menggambarkan sebagian fenomena–fenomena alam dalam kehidupan
nyata. Dalam tulisan ini diperlihat kan cara memperoleh
proses transformasi untuk mendapatkan model diskret yang memadai
bagi sebuah sistem kontinu .
1.2 Tujuan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah
mempelajari proses transformasi
sebuah model kontinu dinamik menjadi sebuah model diskret.
1.3 Ruang Lingkup
Ruang lingkup penulisan karya ilmiah ini mencakup: 1 melakukan proses transformasi
fungsi kontinu menjadi fungsi diskret pada fungsi eksponensial dan fungsi logistik; 2
merekonstruksi jurnal Modelling AIDS
Epidemic and Treatment with Difference Equations oleh Tamizhmani et al, 2004.
II LANDASAN TEORI
2.1 Persamaan Beda Definisi 1 Persamaan Beda
Persamaan beda adalah suatu persamaan yang menghubungkan anggota–anggota yang
berbeda dari barisan bilangan
{ }
1 2
, ,
,..., ,...
n
y y y y
yang akan dicari dan ditentukan nilainya.
[Farlow, 1994]
Definisi 2 O rde Persamaan Beda
Orde persamaan beda adalah perbedaan antara indeks tertinggi dengan indeks terendah
yang muncul pada persamaan yang diberikan. Misal kan diberikan persamaan seperti di
bawah ini:
1 2
, ,
,...,
k n
k n
k n
k
y F k y
y y
+ + -
+ -
= Persamaan di atas adalah sebu ah persamaan
beda berorde n jika
k
y yang muncul dalam
fungsi F di sisi kanan adalah y dengan indeks ter endah di sisi kanan dan indeks
tertinggi di sisi kanan adalah n – 1. Contoh 1:
1
2
n n
y y
+
= +
, persamaan beda orde 1.
2 1
n n
n
y y
y
+ +
= +
, persamaan beda orde 2. dengan n = 0, 1, 2, 3, ...
[Farlow, 1994] Definisi 3 Persamaan Beda Linear
Sebuah persamaan beda dikatakan linear bila persamaan tersebut dapat diuraikan
menjadi
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
M odel matematik telah banyak digunakan pada bidang fisika dan biologi, terutama
dalam masalah dinamik. Pemodelan fenomena alam yang terjadi dalam kehidupan nyata
secara matematis dapat mempermudah para peneliti
untuk menjelajahi efek dari
perubahan–perubahan berbagai parameter
yang berpengaruh dengan lebih mudah, cepat dan murah
dibandingkan bila hany a
bereksperimen, selain tidak murah dan memakan waktu yang cukup lama, kadang
hasil yang didapat kan tidak fisibel. Sebagian besar model matematik yang
menggambarkan fenomena–fenomena alam dinyatakan dalam model kontinu. Namun,
sebagian besar dari fenomena tersebut hanya berubah pada waktu–waktu tertentu dan tidak
setiap saat, sehingga penggambaran secara kontinu terasa kurang tepat. Oleh karena itu
diperlukan sebuah model diskret untuk mengimplementasikan fenomena–fenomena
alam yang hanya berubah pada waktu–waktu tertentu, seperti proses kelahiran
atau kematian, penyebaran atau penyembuhan
penyakit, dan sebagainya. Meskipun begitu, terdapat beberapa model matematik yang telah
menggambarkan fenomena alam secara diskret. Namun, untuk memperoleh model
diskret dari sebuah model matematik yang menggambarkan fenomena alam secara
kontinu dilakukan dengan mentransformasi model kontinu menjadi model diskret.
Bagaimanapun juga, pembentuka n sec ara eksplisit pada model matematik dibuat dengan
analisis yang detail secara matematis melalui proses-proses yang lebih mudah dimengerti.
M odel kontinu telah banyak digunakan dalam pemodelan, namun dalam kehidupan nyata
sebagian kasus lebih berupa sistem diskret, sehingga akan lebih tepat bila menggunakan
model diskret untuk menggambarkan sebagian fenomena–fenomena alam dalam kehidupan
nyata. Dalam tulisan ini diperlihat kan cara memperoleh
proses transformasi untuk mendapatkan model diskret yang memadai
bagi sebuah sistem kontinu .
1.2 Tujuan