I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
M odel matematik telah banyak digunakan pada bidang fisika dan biologi, terutama
dalam masalah dinamik. Pemodelan fenomena alam yang terjadi dalam kehidupan nyata
secara matematis dapat mempermudah para peneliti
untuk menjelajahi efek dari
perubahan–perubahan berbagai parameter
yang berpengaruh dengan lebih mudah, cepat dan murah
dibandingkan bila hany a
bereksperimen, selain tidak murah dan memakan waktu yang cukup lama, kadang
hasil yang didapat kan tidak fisibel. Sebagian besar model matematik yang
menggambarkan fenomena–fenomena alam dinyatakan dalam model kontinu. Namun,
sebagian besar dari fenomena tersebut hanya berubah pada waktu–waktu tertentu dan tidak
setiap saat, sehingga penggambaran secara kontinu terasa kurang tepat. Oleh karena itu
diperlukan sebuah model diskret untuk mengimplementasikan fenomena–fenomena
alam yang hanya berubah pada waktu–waktu tertentu, seperti proses kelahiran
atau kematian, penyebaran atau penyembuhan
penyakit, dan sebagainya. Meskipun begitu, terdapat beberapa model matematik yang telah
menggambarkan fenomena alam secara diskret. Namun, untuk memperoleh model
diskret dari sebuah model matematik yang menggambarkan fenomena alam secara
kontinu dilakukan dengan mentransformasi model kontinu menjadi model diskret.
Bagaimanapun juga, pembentuka n sec ara eksplisit pada model matematik dibuat dengan
analisis yang detail secara matematis melalui proses-proses yang lebih mudah dimengerti.
M odel kontinu telah banyak digunakan dalam pemodelan, namun dalam kehidupan nyata
sebagian kasus lebih berupa sistem diskret, sehingga akan lebih tepat bila menggunakan
model diskret untuk menggambarkan sebagian fenomena–fenomena alam dalam kehidupan
nyata. Dalam tulisan ini diperlihat kan cara memperoleh
proses transformasi untuk mendapatkan model diskret yang memadai
bagi sebuah sistem kontinu .
1.2 Tujuan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah
mempelajari proses transformasi
sebuah model kontinu dinamik menjadi sebuah model diskret.
1.3 Ruang Lingkup
Ruang lingkup penulisan karya ilmiah ini mencakup: 1 melakukan proses transformasi
fungsi kontinu menjadi fungsi diskret pada fungsi eksponensial dan fungsi logistik; 2
merekonstruksi jurnal Modelling AIDS
Epidemic and Treatment with Difference Equations oleh Tamizhmani et al, 2004.
II LANDASAN TEORI
2.1 Persamaan Beda Definisi 1 Persamaan Beda
Persamaan beda adalah suatu persamaan yang menghubungkan anggota–anggota yang
berbeda dari barisan bilangan
{ }
1 2
, ,
,..., ,...
n
y y y y
yang akan dicari dan ditentukan nilainya.
[Farlow, 1994]
Definisi 2 O rde Persamaan Beda
Orde persamaan beda adalah perbedaan antara indeks tertinggi dengan indeks terendah
yang muncul pada persamaan yang diberikan. Misal kan diberikan persamaan seperti di
bawah ini:
1 2
, ,
,...,
k n
k n
k n
k
y F k y
y y
+ + -
+ -
= Persamaan di atas adalah sebu ah persamaan
beda berorde n jika
k
y yang muncul dalam
fungsi F di sisi kanan adalah y dengan indeks ter endah di sisi kanan dan indeks
tertinggi di sisi kanan adalah n – 1. Contoh 1:
1
2
n n
y y
+
= +
, persamaan beda orde 1.
2 1
n n
n
y y
y
+ +
= +
, persamaan beda orde 2. dengan n = 0, 1, 2, 3, ...
[Farlow, 1994] Definisi 3 Persamaan Beda Linear
Sebuah persamaan beda dikatakan linear bila persamaan tersebut dapat diuraikan
menjadi
1 2
1 2
1 1
...
k n
k n
k n
n n
k k
k
y a k y
a k
y a
k y a
k y R
+ + -
+ - -
-
+ +
+ +
+ =
dengan
, 1 , 2 , 3 , . . . ,
i
a k
i n
=
dan
k
R merupakan fungsi terhadap k.
Contoh 2: 1
1
2
n n
y y
+
= +
2
2 1
sin
3
n n
n
n
y y
y
p
+ +
=
+ +
dengan n = 0, 1, 2, 3, ... [Farlow, 1994]
Definisi 4 Solusi Persamaan Beda
Solusi persamaan beda adalah fungsi yang merupakan barisan bilangan dari variabel
bersangkutan, misalkan
n
x atau
n
y , yang memenuhi persamaan beda yang diberikan
untuk setiap n, dengan n = 0, 1, 2, ... [Farlow, 1994]
Definisi 5 Sistem Persamaan Beda Linear SPBL
Misalkan sebuah persamaan beda linear orde satu dinyatakan sebagai berikut:
1
.........1
n n
n
y x y
+
+ =
Misalkan terdapat fungsi
n
g di luar persamaan 1 tetapi sangat mempengaruhi persamaan
1, dengan
n
g merupakan sebuah persamaan beda linear,
misalkan:
1 n
n
x a x
+
+ =
, dengan a adalah konstanta. Hubungan kedua
persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:
1 1
,
0 ........2
n n
n n
n
y x y
x a x
+ +
+ =
+ =
dengan n = 0, 1, 2, .... Persamaan 2 disebut Sistem P ersamaan
Beda Linear SPBL. [Farlow, 1994]
Definisi 6 Solusi Sistem Persamaan Beda Linear
Solusi s istem p ersamaan beda linear adalah fungsi yang merupakan barisan
bilangan dari setiap variabel bersangkutan, misalkan
n
x dan
n
y , yang memenuhi sistem persamaan beda linear yang diberikan untuk
setiap n, dengan n = 0, 1, 2, ... [Farlow, 1994]
Definisi 7 Titik Tetap
Misal kan diberikan sistem persamaan beda sebagai berikut:
1 2
, ,...,
k n
k n
k n
k
y f
y y
y
+ + -
+ -
= dengan
n
y merupakan sebuah nilai anggota barisan bilangan dari persamaan di atas,
dengan n = 0, 1, 2, ... Titik tetap y diperoleh dari nilai yang
memenuhi hubungan berikut:
1 1
...
n n
n
y y
y y
+ -
= =
= =
[Kaplan, 1995] 2.2 Analisis Kestabilan Titik Tetap pada
Orde Tiga atau Lebih pada
Persamaan Beda
Diberikan sistem persamaan beda sebagai berikut:
1 1
1 2
1
, ,...,
, ,...,
, ,...,
...
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n
x
z
f x
y z
y f
x y
z f
x y
z
+ +
+
= =
= Dapat diperoleh matriks
Jacobi sebagai berikut:
1 1
1 2
2 2
n n
n
f f
f x
y z
f f
f x
y z
f f
f x
y z
J
¶ ¶
¶ ¶
¶ ¶
¶ ¶
¶ ¶
¶ ¶
¶ ¶
¶ ¶
¶ ¶
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
= ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
L L
M M O
M L
sehingga diperoleh persamaan polinomial nilai eigen l dari persamaan karakterist ik
J I
l -
= , yaitu:
1 1
1
...
n n
n n
P a
a a
l l
l l
- -
= +
+ +
+ Agar titik tetap stabil, dip enuhi:
1.
1 2
1
1 1
...
n n
P a
a a
a
-
= +
+ +
+ +
2.
1 1
1 1
1
1 1
[
n n
n n
P
a
-
- -
-
- = -
+
1
1
...
]
n n
a a
-
-
+ +
+
[Kaplan, 1995]
2.3 Metode Rekursif untuk Mencari Solusi Persamaan Beda
Misalkan diketahui sebuah persamaan
beda berorde 1 sebagai berikut:
1 n
n
k
y y
+
+
+ =
,
dengan
k
merupakan konstanta. Untuk mendapatkan nilai
1 n
y
+
maka harus diketahui nilai dari
n
y .
Misalkan diketahui persamaan beda orde 2 sebagai berikut:
2 1
n n
n
k
y y
y
+ +
+
+ +
= Untuk mendapatkan nilai
2 n
y
+
maka harus diketahui nilai dari
1 n
y
+
dan
n
y . Misalkan diketahui persamaan beda orde 3
sebagai berikut:
3 2
1 n
n n
n
k
y y
y y
+ +
+
+
+ +
+ =
Untuk mendapatkan nilai
3 n
y
+
maka harus diketahui nilai dari
2 n
y
+
,
1 n
y
+
dan
n
y . Misalkan diketahui persamaan beda orde m ,
sebagai berikut:
1 1
...
n m n m
n n
k
y y
y y
+ + -
+
+
+ +
+ +
= Untuk mendapatkan nilai
n m
y
+
maka harus diketahui nilai dari
1 n m
y
+ -
,
2 n m
y
+ -
, ...,
1 n
y
+
dan
n
y . D apat
disimpulkan bahwa untuk
mendapatkan nilai dari
n
y harus diketahui n nilai y sebelumnya, yaitu dari nilai
y hingga nilai
1 n
y
-
, dengan n = 1, 2, 3, ... Proses di atas disebut metode rekursif untuk
memperoleh solusi persamaan beda. [Farlow, 1994]
2.4 Model Kermack – McKendrick Model Kermack-McKendrick terdiri atas
sebuah sistem dari 3 persamaan diferensial biasa taklinear, sebagai berikut:
dS SI
dt β
= − dI
SI I
dt β
γ =
− dR
I dt
γ =
dengan t adalah waktu, S t adalah bany aknya orang sehat yang rentan, I t adalah
banyaknya orang yang terinfeksi, R t adalah banyaknya orang yang telah sembuh dan
berkembang menjadi imun terhadap infeksi,
β adalah tingkat infeksi, dan
γ adalah
tingkat penyembuhan. [Weisstein EW dan Weissten T, 2004]
III PEMBAHASAN
3.1 Diskretisasi Fungsi Eksponensial
Kategori