http:olimattohir.blogspot.co.id 1
OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI
TINGKAT KABUPATEN KOTA TAHUN 2013
KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDID KAN DASAR
DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA BIDANG STUDI MATEMATIKA
WAKTU : 150 MENIT 9 Maret 2013
A. PILIHAN GANDA
1. Bentuk
x
4
– 1 mempunyai faktor sebanyak … a.
3 b.
4 c.
5 d.
6 e.
7
Pembahasan: Diketahui ada berapa banyakah faktor dari bentuk aljabar
x
4
– 1? Pada soal tersebut tidak diinformasikan tentang nilai
x
-nya: apakah nilai
x
tersebut termasuk semua jenis bilangan atau termasuk jenis bilangan tertentu
, akan tetapi karena soal ini muncul di jenjang SMP, maka nilai
x
tersebut termasuk bilangan real,
karena mata pelajaran matematika
di SMP masih terbatas pada bilangan real saja
, sehingga banyaknya faktor dari bentuk aljabar tersebut adalah:
x
4
– 1 =
x
2 2
– 1
2
=
x
2
+ 1
x
2
– 1 =
x
2
+ 1
x
+ 1
x
– 1 1
2 3
Jadi, bentuk
x
4
– 1 mempunyai faktor sebanyak 3
Catatan:
Seandainya soal tersebut muncul di jeanjang SMA atau perguruan tinggi, maka penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
Menurut informasi dari soal bahwa bentuk faktor dari
x
4
– 1 tidak dijelas harus bilangan real atau bukan, sehingga dikerjakan berdasarkan segala macam bilangan yang mungkin, yaitu
diantaranya termasuk bilangan imajiner, untk lebih jelasnya perhatikan uraian berikut:
http:olimattohir.blogspot.co.id 2
x
4
– 1 =
x
2 2
– 1
2
=
x
2
+ 1
x
2
– 1 =
x
2
+ 1
x
+ 1
x
– 1 =
1 1
1
2 2
x x
x
=
1 1
1 1
x x
x x
1 2
3 4
Jadi, bentuk
x
4
– 1 mempunyai faktor sebanyak 4
2. Jika
a, b, c
, dan
d
adalah bilangan bulat positip dibagi 13 berturut-turut bersisa 12, 9, 11, dan 7, maka 3
a
+ 4
b
– 3
c
+ 2
d
dibagi 13 akan bersisa … a.
b. 1
c. 7
d. 9
e. 11
Pembahasan:
Diketahui sisa nilai
a
= 12, sisa nilai
b
= 9, sisa nilai
c
= 11, dan sisa nilai
d
= 7. Karena yang ditanyakan juga merupakan nilai sisa dari hasil dibagi 13, maka cukup kita mencari
nilai sisa dari mensubstitusikan nilai siswa bilangan bulat positif tersebut kedalam bentuk aljabar: 3
a
+ 4
b
– 3
c
+ 2
d
, yakni sebagai berikut: 3a + 4b
– 3c + 2d = 212 + 49 – 311 + 27 = 53
dimana nilai sisa dari 53 dibagi 13 adalah 1
Jadi, bentuk 3
a
+ 4
b
– 3
c
+ 2
d
dibagi 13 akan bersisa 1
3. Nilai rata-rata kelas
A
adalah 73, sedangkan nilai rata-rata kelas
B
adalah 88. Jika jumlah siswa kedua kelas tersebut adalah 75 dan nilai rata-rata kedua kelas adalah 80, maka banyak siswa
kelas
A
adalah … orang a.
35 b.
38 c.
40 d.
42 e.
45
Pembahasan:
Misalkan nilai rata-rata kelas A:
a
x
= 73 nilai rata-rata kelas B:
b
x
= 88 jumlah siswa kedua kelas:
a
+
b
= 75
b
= 75 –
a
nilai rata-rata kedua kelas:
x
= 80 Menurut rata-rata hitung dalam ilmu statistik berlaku rumus:
x
=
b a
x b
x a
b a
.
.
80 =
75 88
. 75
73 .
a a
http:olimattohir.blogspot.co.id 3
80 =
75 88
75 .
88 73
a a
80 . 75 = 73
a
+ 88 . 75 – 88
a
88 – 73
a
= 88 – 8075
15
a
= 875
a
= 85
a
= 40
Jadi, Banyaknya siswa Kelas A adalah 40 siswa
4. Suatu hari perbandingan jumlah uang Netty dan Agit adalah 2 : 1. Sehari kemudian Netty
memberikan uangnya sejumlah Rp100.000,00 kepada Agit. Sekarang perbandingan uang Netty dan Agit adalah 1 : 3. Jumlah
uang Netty sekarang adalah Rp… a.
240.000,00 b.
180.000,00 c.
120.000,00 d.
100.000,00 e.
60.000,00
Pembahasan:
Perbandingan Uang Netty
N
: Uang Agit
A
= 2 : 1 Misalkan,
N
= 2
x
dan
A
=
x
, maka:
x x
A N
2
sehari kemudian uang
N
diberikan ke
A
sebesar 100.000,- perbandingan uang merikapun berubah manjadi dengan
N
:
A
= 1 : 3 3
1 000
. 100
000 .
100 2
x x
32
x
– 100.000 = 1
x
+ 100.000
x
= 80.000,- Sehingga Uang Netty Sekarang = 2
x
– 100000 = 280000
–100000 = 160000
– 100000 = 60000
Jadi, besar uang Netty sekarang adalah Rp. 60.000,-
5. Jika
f
adalah fungsi linier,
f
1 = 2000, dan
f x
+ 1 + 12 =
f x
, maka nilai
f
100 = … a.
762 b.
812 c.
832 d.
912 e.
1012
Pembahasan:
f
1 = 2000
sebagai suku pertama
http:olimattohir.blogspot.co.id 4
f x
+ 1 + 12 =
f
x untuk
x
= 1
f
1 + 1 + 12 =
f
1
f
2 + 12 =
f
1
f
2 =
f
1 – 12
f
2 = 2000 – 12
f
2 = 1988,
sebagai suku kedua dan seterusnya.....
Dengan menggunakan rumus deret aretmatika suku ke-
n
, maka besar nilai selisihnya didapat –
12, sehingga
b
= – 12 dan
f
100, dengan demikian:
n
= 100 dan
U
1
= 2000, U
2
= 1988
U
n
=
U
1
+
n
– 1
b U
100
= 2000 + 99 –12
= 812
Jadi,
f
100 = 812
6. Diketahui
H
= {
k
| x
2
– 1 x
2
+
k
2
x
+ 1, dengan
x
dan
k
bilangan bulat}. Banyaknya himpunan bagian dari himpunan
H
adalah … a.
4 b.
8 c.
16 d.
32 e.
64
Pembahasan:
Diketahui
H
= {
k
|
x
2
– 1
x
2
+
k
2
x
+ 1, dengan
x
dan
k
bilangan bulat} Kemudian, untuk mengetahui banyaknya himpunan bagian dai himpunan H, maka kita cari
terlebih dahulu nilai
k
yang mungkin, yaitu seperti uraian berikut:
x
2
– 1
x
2
+
k
2
x
+ 1
x
2
– 1
x
2
+
k
2
x
+ 2
x
2
– 1 –
x
2
k
2
x
+ 2 –
x
2
– 1
k
–
x
2
+ 2
x
+ 2 Sehingga untuk mengetahui kemungkinan nilai
k
tergantung pada nilai
x
bilangan yang disubstitusikan ke bentuk aljabar
–
x
2
+ 2
x
+ 2 dengann syarat nilai
k
-nya memenuhi dari pertidaksamaan dari
– 1
k
–
x
2
+ 2
x
+ 2, sebagai berikut: Perhatikan bentuk nilai
k
tertinggi, yaitu merupakan fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak yang bernilai maksimum baik pada nilai absisnya maupun nilia ordinatnya, sehingga
Untuk nilai
x
maksimum akan di dapat pada nilai absisnya, yaitu:
x
=
a b
2
=
1 2
2
= 1 , sehingga diperoleh
–
x
2
+ 2
x
+ 2 = – 1
2
+ 21 + 2 = 3 maka,
– 1
k
–
x
2
+ 2
x
+ 2 – 1
k
3 Dengan demkian anggota himpuan H adalah {0, 1, 2}
Jadi, Banyaknya himpunan bagian dari himpunan
H
adalah 2
3
= 8
http:olimattohir.blogspot.co.id 5
Misalkan, Kelereng
Awal Hari
Pertama Hari
Kedua Hari
Ketiga A
m
A
1
= A
m
– B
m
– C
m
A
2
= 2.A
1
A
3
= 2.A
2
B
m
B
1
= 2.B
m
B
2
= B
1
– A
1
– C
1
B
3
= 2.B
2
C
m
C
1
= 2.C
m
C
2
= 2.C
1
C
3
= C
2
–A
2
– B
2
7. Tiga orang
A, B
, dan
C
pinjam meminjam kelereng. Pada awalnya ketiga orang tersebut memiliki sejumlah kelereng tertentu dan selama pinjam meminjam mereka tidak melakukan penambahan
kelereng selain melalui pinjam meminjam diantara ketiga orang tersebut. Pada suatu hari
A
meminjami sejumlah kelereng kepada
B
dan
C
sehingga jumlah kelereng
B
dan
C
masing- masing menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Hari berikutnya
B
meminjami sejumlah kelereng kepada
A
dan
C
sehingga jumlah kelereng
A
dan
C
masing-masing menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Hari terakhir
C
meminjami sejumlah kelereng kepada
A
dan
B
sehingga jumlah kelereng
A
dan
B
masing-masing menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Setelah dihitung akhirnya masing-masing memiliki 16 kelereng. Banyak
kelereng
A
mula- mula adalah …
a. 8
b. 14
c. 26
d. 28
e. 32
Pembahasan: Dengan demikian, karena pada hari ketiga jumlah kelereng mereka sama, yaitu = 16
Maka:
A
2
=
2
3
A
= 2
16 = 8
B
2
=
2
3
B
=
2 16
= 8 Sehingga, C
2
= C
3
+ A
2
+ B
2
= 16 + 8 + 8 = 32 Kemudian
A
1
=
2
2
A
=
2 8
= 4 C
1
=
2
2
C
= 2
32 = 16
Sehingga, B
1
= B
2
+ A
1
+ C
1
= 8 + 4 + 16 = 28 Oleh karena itu:
B
m
=
2
1
B
= 2
28 14
C
m
=
2
1
C
=
2 16
= 8 Sehingga, A
m
= A
1
+ B
m
+ C
m
=4 + 14 + 8 = 26 Jadi, Banyak kelereng
A
mula-mula adalah 26
http:olimattohir.blogspot.co.id 6
8. Jika jumlah dua bilangan positip adalah 24, maka nilai terkecil dari jumlah kebalikan bilangan-
bilangan tersebut adalah … a.
1 b.
12 c.
13 d.
14 e.
16
Pembahasan: Misalkan dua bilangan positip tersebut adalah
x
dan
y
maka: Nili terkecil untuk
x
+
y
= 24 apabila
x
1
+
y 1
Sedangkan untuk mendapatkan nilai terkecil haruslah
2 24
= 12, yakni
x
= 12 dan
y
= 12 Sehingga
x
+
y
= 24
x
1
+
y 1
=
12 1
+
12 1
=
6 1
Jadi, nilai terkecil dari jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut adalah
6 1
9. Jika
7000 2013
ditulis dalam bentuk desimal, maka angka ke- 2013 di belakang koma adalah …
a. 1
b. 2
c. 4
d. 5
e. 8
Pembahasan:
7000 2013
= 0,287 | 571428 | 571428 | 571428 ⋯
3
tidak berulang, tetapi angka seterusnya merupakan
6
berulang
Sehingga : jika sisa pembaginya 1, maka angka dibelakang koma adalah 5 jika sisa pembaginya 2, maka angka dibelakang koma adalah 7
jika sisa pembaginya 3, maka angka dibelakang koma adalah 1 jika sisa pembaginya 4, maka angka dibelakang koma adalah 4
jika sisa pembaginya 5, maka angka dibelakang koma adalah 2 jika sisa pembaginya 6 atau 0, maka angka dibelakang koma adalah 8
2013 - 3
karena ada
3
angka tidak berulang
Oleh karena itu angka ke-2013 dibelakang koma dapat dicari dengan menentukan sisa pembagi 2010 oleh 6
Sisa pembagi 2010 oleh 6 ≡ 2010 mod 6
≡ 335 x 6 mod 6 ≡ 0 mod 6
Karena sisanya 0, maka Angka ke-2013 dibelakang koma adalah 8
Jadi, Angka ke-2013 dibelakang koma adalah 8
http:olimattohir.blogspot.co.id 7
10. Diberikan angka disusun sebagai berikut: 987654321. Berapa banyak tanda operasi penjumlahan
harus disisipkan di antara angka-angka tersebut agar menghasilkan jumlah 99? a.
3 b.
4 c.
5 d.
7 e.
8
Pembahasan:
Perhatikan bahwa 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45. Supaya mendapat jumlah 99 maka paling tidak terdapat satu bilangan puluhan.
Dimisalkan bilangan tersebut adalah 10
a
+
b
maka diperoleh, 45
–
a
+
b
+ 10
a
+
b
= 99 ⇔ 9
a
+ 45 = 99 ⇔ 9
a
= 54 ⇔
a
= 6, sehingga
b
= 5 Setelah dicek diperoleh 9 + 8 + 7 + 65 + 4 + 3 + 2 + 1 = 99.
Jadi, diperlukan 7 tanda operasi penjumlahan.
11. Jika barisan berikut adalah barisan bilangan bulat positip berurutan yang dihilangkan semua
bilangan kelipatan tiga: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, …., maka suku ke-67 barisan tersebut adalah …
a. 59
b. 62
c. 86
d. 92
e. 100
Pembahasan:
Barisan : 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, …..,
U
100
Karena semua bilangan kelipatan tiga dihlangkan, maka kita cukup mencati banyaknya kelipatan 3 dari bilangan 1 hingga bilangan 100, yakni sebagai berikut:
Angka kelipatan 3 yang harus dihilangkan sebanyak
3 99
= 33 angka. Dengan demikian, angka 100 merupakan suku ke 100
– 33 = 67 .
Jadi, suku ke 67 pada barisan tersebut adalah 100
12. Jika rata-rata 51 bilangan bulat berurutan adalah 10, maka bilangan terkecil dari semua bilangan
tersebut adalah … a.
5 b.
c. –5
d. –13
e. –15
Pembahasan: Misalkan, bilangan terkecilnya adalah
a
, dimana bilangannya terdiri dari 51 bilangan bulat berurutan, maka bilngan-bilangan yang dimaksud adalah
a
,
a
+ 1,
a
+ 2,........,
a
+ 50
http:olimattohir.blogspot.co.id 8
sehingga karena jumlah dari bilangan-bilangannya adalah 510, maka
a
+ a + 1 +
a
+ 2 +........ +
a
+ 50 = 510
a
+
a
+
a
+ ............+
a
+ 1 + 2 + 3 +........... + 50 = 510
a sebanyak 51 kali 50 +
1
sebanyak
25
kali
51
a
+ 51 x 25 = 510 51
a
+ 25 = 510
a
+ 25 = 10
a
= – 5
Jadi, suku terkecilnya adalah – 15
13. Sebuah kantong berisi 15 bola merah, 12 bola biru, dan 3 bola hijau. Diambil sebuah bola secara
acak sebanyak 2 kali tanpa pengembalian. Peluang bola yang terambil merah pada pengambilan pertama dan hijau p
ada pengambilan kedua adalah … a.
120 b.
358 c.
15 d.
329 e.
629 Pembahasan:
Diketahui terdapat 15 bola merah, 12 bola biru, dan 3 bola hijau. Sehingga jumlah seluruh bola ada sebanyak 30 bola
Karena yang ditanyakan peluang pengambilan ke-2 bola tersebut adalah bola merah dan bola hijau, maka yang dicari peluangnya bola merah dan hijau. Sedangkan untuk bola biru tidak
dicari, akan tetapi semestanya tetap jumlah banyaknya dari ketika bola tersebut. untuk leih jelasnya perhatikan berikut ini:
1
Banyaknya cara megambil 1 bola dari 15 bola merah pada pengambilan ke-1adalah
1
C
15
= 15 Peluang 1 bola yang terambil pada pengambilan ke-1 merah =
30 15
2 Banyaknya cara megambil 1 bola dari 3 bola hijau pada pengambilan ke-2 adalah
1
C
3
= 3 Peluang 1 bola yang terambil pada pengambilan ke-2 hijau =
1 30
3
=
29 3
Dikarenakan kejadian 1 dan 2 adalah saling berkaitan, maka Peluang terambilnya 1 bola merah pada pengambilan ke-1 dan 1 bola hijua pada pengambilan ke-2 adalah:
30 15
x 29
3 =
58 3
Jadi, Peluang bola yang terambil merah pada pengambilan pertama dan hijau pada pengambilan kedua adalah 358
14. Lima orang anak akan naik mobil dengan kapasitas enam tempat duduk, yakni dua di depan
termasuk pengemudi Sopir, dua di tengah, dan dua di belakang. Jika hanya ada dua orang yang bisa mengemudi, banyak cara mengatu
r tempat duduk mereka adalah … a.
120 b.
200 c.
220 d.
240 e.
280
http:olimattohir.blogspot.co.id 9
Pembahasan:
Karena 2 orang yang bisa nyetir, maka tempat duduk sopir kemungkinannya hanya dapat ditempati oleh 2 orang. Selanjutnya hitung banyaknya cara tersisa 5 tempat duduk kosong yang
dapat diisi oleh 4 orang. Persoalan ini merupakan permutasi 4 tempat duduk terisi dari 5 tempat duduk kosong.
5
P
4
. sehingga banyaknya cara duduk yang mungkin adalah 2 x
5 4
P
= 2 x 4
5 5
= 2 x 5 = 240
Jadi, banyak cara mengatur tempat duduk di dalam mobil adalah 240 cara
15. Jika diketahui panjang rusuk kubus
ABCD.EFGH
adalah 1 satuan, maka jarak titik
E
ke bidang datar
AFH
adalah … satuan a.
2 1
b.
2 2
c.
3 1
d.
3 3
e.
4 3
Pembahasan: Perhatikan ilustrasi gambarnya berikut
Panjang rusuk mubus ABCD.EFGH = 1 satuan AE = 1 satuan
AF = FH = EG = 2
satuan FS = ES =
2 1
. FH = 2
2 satuan
Perhatikan segitiga AFS: AS
=
2 2
FS AF
=
2 2
2 2
2
= 2
3
AS =
2 6
Perhatikan segitiga ASE Luas ASE =
2 1
.AE.ES
2 1
.AS.ET =
2 1
.AE.ES
2 1
.
2 6
. ET =
2 1
.1.
2 2
ET = 6
2 ET =
3 3
Jadi, jarak titik E ke bidang AFH adalah
3 3
A B
C E
F H
G
D T
S
http:olimattohir.blogspot.co.id 10
16. Diketahui sekelompok data memiliki sifat-sifat berikut:
i. Terdiri dari 5 data bilangan bulat positip dengan rataan = 7 ii. Median = modus = 9
Jika jangkauan didefinisikan sebagai selisih data terbesar dengan data terkecil, maka jangkauan terbesar yang
mungkin adalah … a.
11 b.
12 c.
13 d.
14 e.
15
Pembahasan:
Misalkan 5 bilangan bulatnya adalah a, b, c, d, dan e
7 5
e
d c
b a
a + b + c + d + e = 35,
karena modusnya adalah 9, maka:dua bilangan terakhir dianggap adalah 9
a + b + c + 9 + 9 = 35 a + b + c + = 17
bilangan a, b, dan c yang paling mungkin adalah 1 + 2 + 14 = 17 sehingga, bilangan terbesarnya adalah 14 dan bilangan terkecilnya adalah 1,
maka: selisihnya 14 – 1 = 13
Jadi, jangkauan terbesar yang mungkin adalah 13
17. Di dalam suatu keranjang terdapat 12 apel Malang, dua diantaranya diketahui busuk. Jika
diambil 3 apel secara acak random, maka peluang tepat sa tu di antaranya busuk adalah …
a. 22
9 b.
11 5
c.
11 4
d. 44
9 e.
22 5
Pembahasan:
Banyaknya apel = 12 Banyaknya apel busuk K = 2
Banyaknya apel baik B = 10
Peluang tepat satu di antaranya busuk kemungkinannya:
http:olimattohir.blogspot.co.id 11
Kasus I : PBBK =
10 2
. 11
9 .
12 10
=
66 9
=
22 3
Kasus II : PBKB = 10
9 .
11 2
. 12
10 =
22 3
ada
3
kasus yang terjadi
Kasus III : PKBB =
10 9
. 11
10 .
12 2
=
22 3
Jadi, Peluang tepat satu di antaranya busuk adalah = 3
x
22 3
=
22 9
18. Sebuah silinder tegak diletakkan di dalam kubus ABCD.EFGH dengan panjang sisi kubus 2m.
Selanjutnya silinder dipancung oleh bidang miring yang melalui titik A, B, dan T dimana T adalah titik perpotongan diagonal bidang CDHG. Volume terbesa
r silinder terpancung ini adalah … m
3
.
a.
2 3
b.
2 4
c.
2 5
d.
3 5
e. 5
7
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambarnya berikut: Volume Tabung =
r
2
t = 2
Silinder dengan volume terbesar adalah silinder yang menyinggung semua sisi kubus, dengan jari-jari 1m.
Karena Volume bagian bawahnya adalah
4 1
Volume Tabung, maka Silinder dengan volume terbesar =
4 3
Volume Tabung =
4 3
x 2
=
2 3
m
3
Jadi, volume terbesar silinder terpancung ini adalah
2 3
m
3
19. Jika gambar di bawah adalah segi delapan beraturan, maka perbandingan luas antara daerah yang
diarsir dan luas segi del apan beraturan adalah …
a. 1 : 3
b. 1 : 4
c. 2 : 5
d. 3 : 8
e. 3 : 7
A B
C D
E F
H G
T
http:olimattohir.blogspot.co.id 12
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut ini
a
=
2 2
, Luas segitiga =
4 1
Luas yang di arsir = Luas Trapesium =
2 1
. 2
2 1
. 2
2 1
2 2
1 1
1
=
2 2
1
panjang sisi persegi = 1 + 2
, Luasnya = 1 + 2
2
= 3 + 2
2 ,
sehingga luas segi-8 = 3 + 2
2 – 4 x Luas segitiga
= 3 + 2
2 – 4 x
4 1
= 3 + 2
2 – 1
= 2 + 2
2
8 .
. L
arsir L
=
2 2
2 2
2 1
=
2 1
2 2
2 1
=
2 1
2 .
2 2
1
=
4 1
Jadi, luas antara daerah yang diarsir dan luas segi delapan beraturan adalah 1 : 4
20. Beberapa bilangan empat angka memiliki angka-angka penyusun tak nol yang saling berbeda
dan berjumlah 10. Banyak b ilangan yang dimaksud adalah …
a. 24
b. 22
c. 20
d. 18
e. 16
Pembahasan: Misalkan empat angka yang dimaksud adalah
a
,
b
,
c
, dan
d a
b c
d
=10 1
2 3
4 =10
Karena angkanya ada 4, maka banyaknya bilangan empat angka yang bisa disusun sesuai kriteria soal adalah 4 = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
Jadi, banyaknya bilangan yang dimaksud adalah 24
a
a
http:olimattohir.blogspot.co.id 13
B. ISIAN SINGKAT
