Berdasarkan contoh fungsi eksplisit dan implisit tersebut di atas, tampak bahwa jika suatu fungsi ditulis dalam bentuk eksplisit maka dengan mudah dapat ke
dalam bentuk implisit. Akan tetapi jika fungsi ditulis dalam bentuk implisit maka tidak semuanya dapat diubah menjadi bentuk eksplisit.
Contoh 1. Bentuk implisit
4 5
2
x
x y
adalah
4 5
2
x x
y
2. Bentuk implisit
x x
x y
adalah
7 8
x y
3. Bentuk ekplisit dari
25
2 2
y x
adalah
2
25 x
y
4. Bentuk eksplisit dari
1 2
2 2
y
x y
x
adalah y =
2
1 5
5 1
2 1
x
5.
2
2 2
xy
y x
adalah bentuk implisit yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit.
6.
1 cos
xy
adalah bentuk implisit yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit.
Untuk pengembangan lebih lanjut pembaca dapat membuat beberapa contoh fungsi dengan mengelompokkannya kedalam bentuk eksplisit atau implisit. Selain itu
pembaca dapat membuat contoh lain fungsi implisit yang dapat diubah menjadi fungsi eksplisit atau fungsi implisit yang tidak dapat diubah menjadi fungsi eksplisit.
Pada prinsipnya dalam fungsi eksplisit y = fx, x disebut peubah bebas independen, sedangkan y disebut peubah tak bebas dependen. Bentuk fx,y = 0
jika dapat diubah dalam bentuk ekplisit, x, dan y secara berturut juga dinamakan peubah bebas dan tak bebas. Akan tetapi jika tidak dapat diubah dalam bentuk
ekplisit, maka tidak ada peubah bebas dan tak bebas dalam fungsi tersebut.
2.2 Turunan Fungsi
Definisi Turunan fungsi y = fx adalah fungsi lain yang dinotasikan dengan f’x dan
didefinisikan oleh f’x =
x x
f x
x f
x
lim
, asalkan limitnya ada. Misal x+
x
= t , maka
x
= t – x Karena
x
maka
x t
12
Sehingga definisi turunan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk: f’x =
x x
f x
x f
x
lim
, asalkan limitnya ada.
x t
x f
t f
x t
lim
, asalkan limitnya ada. Notasi lain untuk turunan y = fx dinyatakan dengan notasi
, x
f D
dx dy
x
,
dx x
df
. Jika fungsi yang diketahui dinyatakan dalam bentuk implisit, maka
turunannya dapat dilakukan dengan menggunakan kaidah diferensial yaitu dengan cara mendiferensialkan masing-masing variabel dalam fugsi tersebut. Berikut ini
diberikan beberapa contoh menentukan turunan fungsi eksplisit dan implisit. Contoh
Tentukan
dx dy
fungsi-fungsi berikut. 1. y =
x
+ c Berdasarkan definisi di atas diperoleh
x x
f x
x f
dx dy
x
lim
=
x c
x c
x x
x
lim
=
x x
x x
x
lim
=
x x
x x
x
lim
.
x x
x x
x x
= lim
x
} {
x x
xx x
x x
=
x x
x x
x
x
lim
=
x x
x
x
1 lim
13
=
x 2
1
2. y =
1 3
x
Berdasarkan definisi di atas diperoleh
x x
f x
x f
dx dy
x
lim
=
x x
x x
x
1 3
1 3
lim
=
} 1
1 {
1 3
1 3
lim x
x x
x x
x x
x
=
1 1
1 3
lim x
x
x
=
2
1 3
x
Fungsi-fungsi yang mempunyai turunan sebagaimana dijelaskan pada contoh di atas disebut fungsi yang differensiable. .
Dengan cara yang sama, jika y = x
n
maka turunannya ditentukan oleh:
x x
f x
x f
dx dy
x
lim
=
x x
x x
Lim
n n
x
=
x x
x x
x n
n n
x x
n n
x nx
x
n n
n n
n n
x
... 3
2 1
2 1
lim
3 3
2 2
1
=
x x
x x
n n
n x
x n
n x
nx
n n
n n
x
.... 3
2 1
2 1
lim
3 3
2 2
1
14
=
] ....
3 2
1 2
1 [
lim
1 2
3 2
1
n n
n n
x
x x
x n
n n
x x
n n
nx
= nx
1
n
Berikut ini diberikan beberapa rumus dasar tentang turunan fungsi. Misal u,v, dan w adalah fungsi-fungsi dalam x dan c sebarang bilangan real. yang masing-masing
mempunyai turunan maka: 1.
c
dx d
2.
1
x dx
d
3.
1
n n
nx x
dx d
4.
dx du
nu u
dx d
n n
1
5.
dx dv
dx du
v u
dx d
6.
dx dv
dx du
v u
dx d
7.
dx dw
dx dv
dx du
w v
u dx
d
8.
dx du
c cu
dx d
9.
dx dv
u dx
du v
dx du
v dx
dv u
uv dx
d
10.
dx dw
vw dx
dv uw
dx dw
uv uvw
dx d
11.
2
v dx
dv u
dx du
v v
u dx
d
12.
x x
dx d
cos sin
13.
x x
dx d
sin cos
14.
x x
dx d
2
sec tan
15
15.
x x
dx d
2
csc cot
16.
x x
x dx
d tan
sec sec
17.
x x
x dx
d cot
csc csc
Rumus-rumus di atas berlaku untuk fungsi eksplisit, sedangkan turunan fungsi implisit ditentukan dengan menggunakan kaidah diferensial, yaitu dengan cara
mendiferensialkan masing-masing bagian fungsi tersebut. Contoh
1 Tentukan
dx dy
fungsi-fungsi x
25
2 2
y
Dengan mendiferensialkan masing-masing bagian, diperoleh: dx
2
+ dy
2
- d25 = d0
2 2
ydy
xdx
x + y
dx dy
= 0
y x
dx dy
2 Tentukan
dx dy
dari
2
2 2
xy
y x
Jawab Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel fungsi diperoleh
2
2 2
d d
xy d
y x
d
2 2
2 2
dx y
dy xy
dx xy
dy x
2 2
2 2
dy
xy x
dx y
xy 2
2
2 2
dy xy
x dx
y xy
diperoleh
xy x
y xy
dx dy
2 2
2 2
3 Tentukan
dx dy
dari
x x
x y
16
Untuk menentukan
dx dy
dari fungsi di atas, maka bentuk fungsinya diubah terlebih dahulu menjadi bentuk implisit, dan diperoleh:
x x
x y
x x
x y
2
x x
x y
2 4
x x
y
2 3
8
7 8
x
y
Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel diperoleh
7 8
d x
d y
d
7
8
6 7
dx
x dy
y dx
x dy
y
6 7
7 8
Sehingga
7 6
8 7
y x
dx dy
2.3 Antiturunan
