e. Metode integral khusus Qx berbentuk yang sangat spesifik .
Integral khusus persamaan diferensial fDy = Qx dengan koefisien konstan dinyatakan dengan
1 x
Q D
F y
. Untuk bentuk-bentuk tertentu Qx dapat dipandang sebagai
1. Jika Qx = e
ax
maka
1 x
Q D
F y
=
, 1
1
a
F e
a F
e D
F
ax ax
2. Jika Qx = sinax+b atau Qx = cosax+b maka
, sin
1 sin
1
2 2
2
a
F b
ax a
F b
ax D
F y
maka
, cos
1 cos
1
2 2
2
a
F b
ax a
F b
ax D
F y
3. Jika Qx = x
n
maka maka
, ...
1
2 2
1
o n
n n
o n
a x
D a
D a
D a
a x
D F
y
Diperoleh dengan mengembangkan
1 D
F
dengan pangkat naik D dan menghilangkan semua suku di atas D
n
karena
m n
x D
4. Jika Qx = e
x V
ax
maka
V a
D F
e V
e D
F y
ax ax
1 1
5. Jika Qx = xVx maka
V D
F D
F V
D F
x xV
D F
y
2
1 1
4 Persamaan Tidak Homogen dengan Koefisien Variabel
Bentuk umunya dinyatakan dengan P
o n
n
dx y
d
+ P
1 1
1
n
n
dx y
d
+ P
2 2
2
n
n
dx y
d
+ P
3 3
3
n
n
dx y
d
+ ... + P
1
n
dx dy
+ P
n
y = Qx
Dimana P
o
0, P
1
, P
2
, P
3
, ... , P
1
n
, P
n
adalah fungsi, dan Qx
0. Contoh
37
1. x+2
2
2 2
dx y
d
- x+2
dx dy
+ y = 3x+4 2. x
3
D
3
+ 3x
2
D
2
- 2xD + 2 y = 1-x 3. x
3
D
3
+ 2xD - 2 y = x
2
Ln x + 3x
2.6 Transformasi Laplace
Definisi Misalkan Ft suatu fungsi t dan t 0, maka transformasi Laplace dari Ft
dinotasikan dengan L{Ft} yang didefinisikan oleh: L {{Ft} =
`
dt t
F e
st
= fs Karena L {Ft} adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingga
maka L {Ft} =
`
dt t
F e
st
=
p
st p
dt t
F e
Lim
Transformasi Laplace dari Ft dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk beberapa nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak ada.
Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya Wt, Gt, Yt dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf kecil
yang bersangkutan sehingga L {Wt} = ws, L {Gt} = gs, L {Yt} = ys dan seterusnya.
Teorema Jika Ft adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap interval 0
t N dan eksponensial berorde untuk t N, maka transformasi Laplace fs ada untuk setiap s
Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa fungsi sederhana.
Contoh
38
Tentukan transformasi Laplace fungsi berikut: 1. Ft = 1
L {Ft} = L{1} =
1 dt
e
st
=
p
st p
dt e
Lim
=
p st
p
e s
1 lim
=
1 1
lim se
se
p
= 0 +
s 1
=
s 1
= f s 2. Ft = t
L {Ft} =
st
e
t dt =
p
st p
t e
lim
dt
=
1 .
lim
st p
p
e d
s t
=
dt e
te s
p st
st p
lim 1
=
p st
st p
e s
te s
1 lim
1
=
s s
1 1
=
2
1 s
3. Ft = e
at
39
L {Ft} =
dt e
e
at st
=
dt e
Lim
p t
a s
p
=
p t
a s
p
e a
s lim
1
=
1 1
lim 1
a s
a s
p
e e
a s
=
a s
1
4. Ft = sin at L {Ft} =
dt e
st
at sin
=
p
st p
at d
a e
Lim cos
1
=
p st
st p
e atd
a e
at a
Lim cos
1 .
cos 1
=
p p
st st
p
dt e
at a
s e
at a
Lim .
cos .
cos 1
=
p st
st p
at d
a e
a s
e at
a Lim
sin 1
. .
cos 1
=
p p
st st
st p
e d
at at
e a
s e
at a
Lim
2
. sin
sin .
cos 1
=
p p
st st
st p
se at
at e
a s
e at
a Lim
2
. sin
sin .
cos 1
=
p p
st st
st p
se at
a s
at e
a s
e at
a Lim
2 2
2
. sin
sin .
cos 1
=
p st
st p
e at
a s
e at
a s
a a
Lim
2 2
2 2
. sin
. cos
1
=
st st
e a
at s
e a
at s
a a
. sin
. .
cos
2 2
2 2
40
=
1
2 2
2
a
s a
a
=
a
s a
a 1
2 2
2
=
2 2
s a
a
5. Ft = cos at L {Ft} =
dt e
st
at cos
=
p
st p
at d
a e
Lim sin
1
=
p st
st p
e atd
a e
at a
Lim sin
1 .
sin 1
=
p p
st st
p
dt e
at a
s e
at a
Lim .
sin .
sin 1
=
p st
st p
at d
a e
a s
e at
a Lim
cos 1
. .
sin 1
=
p p
st st
st p
e d
at at
e a
s e
at a
Lim
2
. cos
cos .
sin 1
=
p p
st st
st p
dt se
at at
e a
s e
at a
Lim
2
. cos
cos .
sin 1
=
p p
st st
st p
e at
a s
at e
a s
e at
a Lim
2 2
2
. cos
cos .
sin 1
=
p st
st p
e at
a s
e at
a a
s a
Lim
2 2
2 2
. cos
. sin
1
=
st st
e a
at s
e a
at a
s a
. cos
. .
sin
2 2
2 2
=
2 2
2 2
a s
a s
a
=
2 2
2 2
a s
a s
a
41
=
2 2
a s
a
Syarat Cukup Transformasi Laplace Ada Jika Ft adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang
berhingga 0
N t
dan eksponensial berorde untuk t N, maka transformasi Laplacenya fs ada untuk semua s .
Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah CUKUP untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi transformasi
Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak dipenuhi.
Metode Transformasi Laplace
Untuk memudahkan bagi pengguna matematika, terdapat beberapa cara yang digunakan untuk menentukan transformasi Laplace. Cara tersebut adalah:
Metode langsung, berkaitan dengan definisi. Metode ini berkaitan langsung dengan definisi
L {Ft} =
dt t
F e
st
=
p
st p
dt t
F e
Lim
Contoh L {t}
=
st
e
t dt =
p
st p
tdt e
lim
=
1 .
lim
st p
p
e d
s t
=
dt e
te s
p st
st p
lim 1
=
p st
st p
e s
te s
1 lim
1
42
=
s s
1 1
=
2
1 s
Metode Deret Misal Ft mempunyai uraian deret pangkat yang diberikan oleh
Ft = a
...
3 3
2 2
1
t a
t a
t a
=
n n
n
t a
Maka transformasi Laplacenya dapat diperoleh dengan menjumlahkan transformasi setiap sukunya dalam deret, sehingga:
L {Ft} = L {a
... }
{ }
{ }
{ }
3 3
2 2
1
t a
L t
a L
t a
L
= ...
2
3 2
2 1
s
a s
a s
a
o
=
1
n n
n
s a
n
, syarat ini berlaku jika deretnya konvergen untuk s
Metode Persamaan differensial Metode ini menyangkut menemukan persaman differensial yang dipenuhi oleh
Ft dan kemudian menggunakan teorema-teorema di atas. Menurunkan terhadap parameter
Aneka ragam metode, misalnya dengan menggunakan teorema-teorema yang ada. Menggunakan tabel-tabel, melalui penelusuran rumus yang sudah ditetapkan.
Sifat-sifat Transformasi Laplace
Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, sifat-sifat tersebut antara lain:
Sifat linear
43
Jika c
1
dan c
2
adalah sebarang konstanta, sedangkan F
1
t
dan F
2
t
adalah fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace masing-masing
1
s f
dan
2
s f
, maka: L {c
1 1
t F
+c
2
t F
} = c
1 1
s f
+ c
2
s f
Bukti: L {c
1 1
t F
+c
2
t F
} =
2 2
1 1
} {
dt t
F c
t F
c e
st
=
2 1
1 1
dt t
F c
e dt
t F
c e
st st
=
2 2
1 1
dt t
F e
c dt
t F
e c
st p
st
=
2 2
1 1
s f
c s
f c
Contoh L {5t-3}
= L {5t} – L {3} = 5 L {t} – 3 L {1}
= 5
s s
1 3
1
2
=
s s
3 5
2
L {6 sin 2t – 5 cos 2t} = L {6 sin 2t} – L {5 cos 2t} = 6 L {sin 2t} – 5 L {cos 2t}
= 6
4 5
4 2
2 2
s
s s
=
4 5
12
2
s s
L {t
2 2
1
} = L {t
}1 2
2 4
t
= L {
}1 {
} 2{
}
2 4
L t
L t
= L {t
}
4
+ 2 L {
}
2
t
+ L {1} =
s s
s 1
2 2
4
1 2
1 4
44
=
s s
s 1
4 24
3 5
L {4e
} 2
cos 2
4 sin
3 6
2 5
t t
t
t
= L {4e
} 2
cos 2
{ }
4 sin
3{ }
6{ }
2 5
t L
t L
t L
t
= 4L{e
} 2
{cos 2
} 4
{sin 3
} {6
}
2 5
t L
t L
t
t
= 4
4 2
4 4
3 2
6 5
1
2 2
3
s s
s s
s
=
4 2
16 12
12 5
4
2 2
3
s s
s s
s
Sifat translasi atau pergeseran pertama
Jika L {Ft} = fs maka L {e
} t
F
at
= fs-a Bukti
Karena L {Ft} =
dt t
F e
st
= fs, maka L {e
} t
F
at
=
dt t
F e
e
at st
=
p t
a s
dt t
F e
= fs-a Contoh:
1. Tentukan L { e
-3t
Ft}, jika L {Ft} = fs Menurut sifat 2 di atas, L{e
} t
F
at
= fs-a Maka L {{e
-3t
Ft} = fs--3 = fs+3
2. Tentukan L { { e
2t
Ft}, jika L {{Ft} = fsa Menurut sifat 2 di atas, L{{e
} t
F
at
= fs-a Maka L {{e
2t
Ft} = fs-2a
45
= f
2 a
a s
3. Tentukan L{e
} 2
cos t
t
. Karena L {{cos 2t} =
4
2
s
s
= fs, maka L{e
} 2
cos t
t
= fs+1 =
4 1
1
2
s
s
=
5 2
1
2
s
s s
= fs 4. Tentukan L {{e
} 6
sin 5
6 cos
3
2
t t
t
Menurut sifat linear,
L {{e
} 6
sin 5
6 cos
3
2
t t
t
= L {{e
6sin5 {}
6cos3
2 2
t eLt
t t
}
= 3 L {{e
} 6
sin {
5 }
6 cos
2 2
t e
L t
t t
} Karena L{cos 6t} =
36
2
s
s
= fs, dan L{sin 6t} =
36 6
2
s
= fs maka menurut sifat translasi
3L{e
2 3
}6 cos
2
sf t
t
= 3
36 2
2
2
s
s
, dan 5L{e
} 6
sin
2
t
t
= 5fs+2 = 5
36 2
6
2
s
, sehingga L{e
} 6
sin 5
6 cos
3
2
t t
t
= 3
36 2
2
2
s
s
- 5
36 2
6
2
s
=
40 4
24 3
2
s
s s
46
Sifat translasi atau pergeseran kedua
Jika L{Ft} = fs dan Gt =
a t
a t
a t
F ,0
,
maka
L{Gt} = e
s f
as
Bukti L{Gt} =
dt t
G e
st
=
a a
st st
dt t
G e
dt t
G e
=
a a
st st
dt a
t F
e dt
e
=
a st
dt a
t F
e
Misal u = t-a maka t = u+a dan du = dt, sehingga
a st
dt a
t F
e
=
du u
F e
a u
s
= e
du u
F e
su as
= e
s f
as
Contoh
Carilah L{Ft} jika Ft =
3 2
,0 3
2 ,
3 2
cos
t t
t
Menurut definisi transformasi Laplace L{Ft} =
dt t
F e
st
47
=
dt t
e dt
e
st st
3 2
cos
3 2
3 2
=
3
2
cos udu e
u s
= e
udu e
su s
cos
3 2
=
1
2 3
2
s se
s
Sifat pengubahan skala
Jika L{Ft} = fs, maka L{Fat} =
a s
f a
1
Karena L{Ft} =
dt t
F e
st
maka L{Fat} =
dt at
F e
st
Misal u = at, du = a dt atau dt =
a du
Sehinga L{Fat} =
dt at
F e
st
=
a du
u F
e
a s
u
=
du u
F e
a
a s
u
1
=
a s
f a
1
Contoh: 1. Jika L{Ft} =
3
2 6
s
= fs maka L{F3t} =
3 3
1 s
f
=
3
2 3
6 3
1
s
48
=
3
6 9
. 6
s
Transformasi Laplace dari turunan-turunan
Jika L{Ft} = fs maka L{F’t} = sfs – F0 Karena Karena L{Ft} =
dt t
F e
st
= fs, maka L{F’t} =
dt t
F e
st
=
t dF
e
st
=
p st
st
e d
t F
t F
e
= -F0 + s
st
e
Ftdt = sfs – F0
Jika L{F’t} = sfs – F0 maka L{F’’t} = s
2
s F
sF s
f
Bukti
L{F”t} =
dt t
F e
st
=
t F
d e
st
=
st
st
e d
t F
t F
e
=
dt e
t F
s t
F e
st st
=
] [
F s
sf s
t F
e
st
= s
2
F sF
s f
Dengan cara yang sama diperoleh
49
L{F’’’t} =
dt t
F e
st
=
t F
d e
st
=
st
st
e d
t F
t F
e
=
dt t
F e
s t
F e
st st
= e
s t
F
st
st
st
e d
t F
t F
e
= s
2 3
F sF
F s
s f
Akhirnya dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa, jika L{Ft} = fs
maka L{F
} t
n
= s
...
1 2
2 1
n n
n n
n
F sF
F s
F s
s f
Contoh soal Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turuan, tunjukkan
bahwa L{sin at} =
2 2
a s
a
= fs Misal Ft = sin at diperoleh F’t = a cos at, F’’t = -a
at sin
2
Sehingga L{sin at} = -
2
1 a
L{F’’t}. Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turunan diperoleh
L{sin at}=
2
1 a
s
2
F sF
s f
=
a s
a s
a s
a 1
2 2
2 2
=
a
a s
as a
2 2
2 2
1
50
=
2 2
3 2
2 2
1 a
s a
as as
a
=
2 2
a s
a
Tansformasi Laplace dari integral-integral
Jika L{Ft} = fs maka L
s s
f du
u F
t
Bukti: Misal Gt =
t
du u
F
maka G’t = Ft dan G0 = 0 Dengan mentransformasikan Laplace pada kedua pihak, diperoleh:
L{G’t} = L{Ft}
s L{Gt}-G{0} = fs
s L{Gt} = fs
L{Gt} =
s s
f
Jadi diperoleh L{
t
du u
F
} =
s s
f
Contoh Carilah L
t
du u
u sin
Misal Ft =
t t
sin
Maka L{Ft} = arc tan
s 1
Sehingga menurut sifat transformasi di atas L
t
du u
u sin
=
s s
f
=
s s
1 arctan
1
Buktikan L
t
du u
u sin
=
s s
1 arctan
1
51
Bukti: Misal Ft =
du u
u
t
sin
maka F0 = 0 F’t =
t t
sin
dan t F’t = sin t. Dengan mengambil transformasi Laplace kedua bagian
L{tF’t} = L{sint} atau
1
1
F s
sf ds
d
=
1 1
2
s
1 1
2
s s
sf ds
d
ds s
s sf
1 1
2
C s
s sf
arctan
Menurut teorema harga awal, lim
F t
F s
sf Lim
t s
Sehingga diperoleh c =
2
. Jadi sfs =
s s
1 arctan
1
Buktikan L
t
du u
u cos
=
s s
2 1
ln
2
Bukti: Misal Ft =
du u
u
t
cos
maka F’t =
t t
cos
atau tF’t = - cos t L
}
{ t
tF
L{-cos t} -1
F s
sf ds
d
=
1
2
s s
atau
ds d
sfs =
1
2
s
s
sfs =
c s
1 ln
2 1
2
Menurut teorema harga akhir, ,
lim lim
t F
s sf
t s
sehingga c = 0. Jadi sfs =
1 ln
2 1
2
s
atau fs =
s s
2 1
ln
2
52
Perkalian dengan t
n
Jika L{Ft} = fs maka L{t
} t
F
n
= -1
s f
ds d
n n
n
= -1f
s
n
Bukti. Karena fs =
dt t
F e
st
maka menurut aturan Leibnitz untuk menurunkan dibawah tanda integral, diperoleh:
ds df
= f’s =
ds d
dt t
F e
st
=
dt t
F e
s
st
=
dt
t F
te
st
= -
} {
dt t
tF e
st
= -L{tFt} Jadi L{tFt} = -
s f
ds df
Contoh 1. Tentukan L{t sin at}
Jawab L{sin at} =
2 2
a s
a
, maka menurut sifat perkalian dari pangkat t
n
diperoleh L{t Ft} = -1
n n
n
ds s
f d
, sehingga L{ t sin at} = -1
2 2
a s
a ds
d
=
2 2
2
2 a
s as
2. Tentukan L{t
} cos
2
at
53
Menurut sifat di atas, L{t
} cos
2
at
= -1
2
2 2
2 2
a s
s ds
d
=
2 2
2 2
2
a s
s a
ds d
=
3 2
2 2
3
6 2
a s
s a
s
Sifat pembagian oleh t
Jika L{Ft} = fs maka L
du
u f
t t
F
Bukti: Misal Gt =
t t
F
maka Ft = t Gt. Dengan menggunakan definis transformasi Laplace untuk kedua bagian, maka
diperoleh bentuk L{Ft} = L{t Gt} atau fs = -
} {
t G
L ds
d
atau fs = -
ds dg
. Selanjutnya dengan mengintegralkan diperoleh
fs =
-
ds dg
. gs = -
s
du u
f
=
s
du u
f
Jadi L
t
t F
s
du u
f
2.7 Transformasi Laplace Invers
Kategori