2.4 Persamaan Diferensial
Perhatikan persamaan-persamaan di bawah ini: 1. 2x dx – 3 dy = 0
2.
x dx
dy 2
3
3.
x xy
dx dy
4 2
4.
2 2
dx y
d -
dx dy
- 2y = 0 5.
3 3
dx y
d
2 2
dx y
d
- 4
dx dy
+ 4y = 0 6. y’’
2
+ y’
3
+ 3y = x
2
7. y” = y’
3
+ y’ 8.
y
z x
z x
z
9.
2 2
x z
+
2 2
y z
= x
2
+ y 10. x
x z
+ y
y z
= z
Setiap persamaan pada contoh di atas, memuat tanda turunan atau diferensial. Oleh karenanya masing-masing persamaan dinamakan persamaan diferensial.
Definisi: Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang di dalamnya terdapat paling
sedikit satu turunan atau diferensial dari suatu fungsi yang belum diketahui. Jika dalam suatu persamaan diferensial, turunan yang muncul adalah turunan
biasa, misalnya
dx dy
maka persamaannya dinamakan persamaan diferensial biasa,
sebaliknya jika turunan yang muncul adalah turunan parsial, misalnya
x z
dan
y z
, maka persamaannya dinamakan persamaan diferensial parsial. Persamaan pada contoh 1-7 di atas dinamakan persamaan diferensial biasa, sedangkan persamaan
pada contoh 8-10 di atas dinamakan persamaan diferensial parsial.
24
Selain jenis persamaan diferensial biasa dan parsial, dalam persamaan diferensial dikenal pula istilah tingkat order dan derajat degree. Tingkat suatu
persamaan diferensial itentukan oleh turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan tersebut, sedangkan derajat persamaan diferensial ditentukan oleh pangkat
dari turunan tertinggi dalam persamaan diferensial yang diberikan. Perhatikan beberapa contoh persamaan dibawah ini.
1. 2x dx – 3 dy = 0 adalah persamaan diferensial tingkat satu derajat satu, karena turunan tertinggi dalam persamaan adalah turunan tingkat satu dan berpangkat
satu. Dengan cara yang sama dapat ditentukan tingkat dan derajat fungsi dibawah ini.
2.
dx dy
= 3 – 2x , persamaan tingkat satu derajat satu 1-1 3.
dx dy
+ 2xy = 4x, persamaan tingkat satu derajat satu 1-1 4.
2 2
dx y
d -
dx dy
- 2y = 0, persamaan tingkat dua derajat satu 2-1 5.
3 3
dx y
d
2 2
dx y
d
- 4
dx dy
+ 4y = 0, persamaan tingkat 3 derajat 1 3-1 6. y’’
2
+ y’
3
+ 3y = x
2
, persamaan tingkat dua derajat dua 2-2 7. y” = y’
3
+ y’, persamaan tingkat dua derajat satu 2-1 8.
x
z
z + x
y z
= 0, persamaan tingkat satu derajat satu 1-1 9.
2 2
x z
+
2 2
y z
= x
2
+ y, persamaan tingkat dua derajat satu 2-1 10. x
x z
+ y
y z
= z, persamaan tingkat satu derajat satu 1-1
Primitif suatu Persamaan Diferensial
Sebagaimana telah disebutkan dalam definisi persamaan diferensial, bahwa suatu persamaan diferensial memuat turunan dari suatu fungsi yang belum diketahui.
Dengan demikian jika diketahui suatu persamaan diferensial maka dapat ditentukan fungsi yang belum diketahui tersebut. Untuk menentukan fungsi yang belum
diketahui suatu persamaan diferensial terdapat beberapa cara, tergantung jenis persamaan, tingkat, dan derajatnya.
25
Sebelum dirincikan secara mendetail tentang cara menentukan fungsi yang belum diketahui suatu persamaan diferensial, maka yang perlu diperhatikan adalah
koefisien dari masing-masing diferensial apakah sudah sejenis. Perhatikan beberapa contoh berikut.
1.
dx dy
= 2 – x
2
dy
dx x
2 dy
dx x
R c
c y
x x
,
2 1
2
2
R c
c y
x x
,
2 4
2
Berdasarkan uraian di atas, maka fungsi yang belum diketahui dari persamaan diferensial
dx dy
= 2 – x, adalah 4x – x
2
– 2y = c. Selanjutnya 4x – x
2
– 2y = c dinamakan selesaian umum primitif. Selesaian umum persamaan diferensial juga disebut sebagai persamaan keluarga kurva.
2. xy-x dx + xy + y dy = 0 Persamaan di atas diubah menjadi
1 1
dy
x y
dx y
x 1
1
dy y
y dx
x x
c
dy y
y dx
x x
1 1
dy y
dx x
1 1
1 1
1 1
= c
dy y
dy dx
x dx
1 1
1 1
1 1
= c
c y
y x
x
1 ln
1 ln
c x
y y
x
1 ln
1 ln
c x
y y
x
1
1 ln
26
1 1
y x
ce x
y
Berdasarkan uraian di atas, maka selesaian umum persamaan diferensial xy-x dx + xy + y dy = 0 adalah
1 1
y x
ce x
y
Masalah Nilai awal dan Syarat Batas
Setiap persamaan diferensial yang diberikan akan menimbulkan pertanyaan, apakah persamaan diferesial tersebut mempunyai selesaian?. Jika mempunyai
selesaian umum apakah selesaian tersebut tunggal?. Untuk menjawab pertanyaan tersebut perlu dijelaskan terlebih dahulu tentang pengertian masalah nilai awal.
Setiap selesaian persamaan differensial, banyak persoalan yang dapat dicantumkan jika diketahui n nilai-nilai yx
o
, y’x
o
, .... y
n-1
x
o
. Contoh
Persamaan diferensial
dx dy
= 2x mempunyai selesaian y = x
2
+ c, c
real. Karena c
real maka: 1. y = x
2
+ 3 memenuhi selesaian persamaan
dx dy
= 2x 2. y = x
2
– ½ memenuhi selesaian persamaan
dx dy
= 2x 3. y = x
2
– 100 juga memenuhi selesaian
dx dy
= 2x, dan seterusnya. Bentuk y = x
2
+ C dinamakan selesaian umum persamaan diferensial
dx dy
= 2x, sedangkan y = x
2
+ 3, y = x
2
– ½ dan y = x
2
– 100 dinamakan selesaian khusus particular solution. Nilai C sebagai konstanta real dapat ditentukan, jika dalam
persamaan diferensial yang diketahui diberikan syarat awalnya. Persamaaan diferensial yang mempunyai syarat awal dinamakan masalah nilai awal initial value
problems. Definisi
27
Masalah nilai awal adalah persamaan diferensial tingkat n bersama dengan n syarat awal pada suatu nilai yang dimungkinkan mempunyai nilai pada variabel bebas
yang sama. Bentuk yang lain definisi di atas dapat dinyatakan dengan pernyataan sebagai
berikut: Masalah nilai awal persamaan diferensial tingkat-n fx,y,y’, y’’, ... , y
n
= 0 yaitu menentukan selesaian persamaan diferensial pada interval I dan memenuhi n syarat
awal di x
o
I subset dari bilangan real. Bentuk umum masalah nilai awal dinyatakan dengan:
fx,y,y’,y’’, ... ,y
n-1
= 0 dengan yx
o
= y
o
, y’x
o
= y
1
, ... , y
n
x
o
=y
n-1
Atau
1
1
. .. . . . .. . . .. . . .. . .
,. .. ,
, ,
n o
n o
o o
n
y x
y y
x y
y x
y de
ngan y
y y
y x
f
dimana y
o
, y
1
, y
2
, ...y
n-1
adalah kontanta Berdasarkan definisi di atas, selesaian umum persamaan diferensial memuat
konstanta c, sedangkan pada persamaan diferensial dengan n syarat awal konstanta c tersebut diganti dengan bilangan real R yang memenuhi syarat awal.
Contoh Tentukan selesaian masalah nilai awal
1.
,1 y
dengan e
y
x
Jawab y’ = e
-x
y =
dx e
x
y = -e
-x
+ c selesaian umum Karena y0 = 1 maka 1 = -e
-0
+ c dan didapat c = 2 Sehingga selesaian khusus masalah nilai awal di atas adalah y = -e
-x
+ 2
28
2.
1 1
1
y dengan
x dx
dy
Jawab
dx dy
= x + 1 maka y =
1
x
dx = ½ x
2
+ x + c Karena y1 = 1 maka 1 =
2 1
1
2
+ 1 + c dan diperoleh c = -
2 1
sehingga selesaian khusus masalah nilai awal di atas adalah y = ½ x
2
+ x – ½ atau x
2
+ 2x – 2y -1 = 0
3. x
dx dy
+ y = 1 dengan y1 = 1 Jawab
x
dx dy
= 1- y
1
dx
y dy
x 1
x dx
y dy
1 x
dx y
dy
c x
y
ln 1
ln c
x y
1
ln
c x
y
1
Karena y1 = 1 maka 1-1=c1 atau c = 0 Sehingga selesaian khususnya adalah 1-yx = 0
2.5 Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi
Kategori