Akibat adanya Momen M

Strain energy Energi regangan dU = P.dΔ U = ∫ P.dΔ Complimentary Energy Potensial energy = P.dP = ∫ Δ.dP Sebenarnya masih ada sesatan kecil bahwa U≠ atau = U + ΔU. τlek karena asumsi energy linier atau ΔU sangatlah kecil maka cukup U= III.1.2 Energi Regangan Strain Energy

a. Akibat adanya Momen M

Dimana M = k. dan k = Maka = MLEI U = ∫ M.d = M. β → Luas Segitiga = M.M.L 2EI = .L 2EI Bentuk Integralnya adalah : catatan analog untuk yang lain a. Akibat Momen. M → U = b. Akibat σormal. σ → U = c. Akibat Lintang. D → U = d. Akibat Torsi. T → U = Untuk suatu balok yang menerima momen lentur berlaku : EI. y” = Maka : U = = analog untuk yang lain, maka: a. Energi Lentur arah sb x-x : U = b. Energi Lentur arah sb y-y : U = c. Energi Torsi Warping : U = d. Energi Torsi Murni : U = III.1.3 Energi Potensial Potensial Energy a. Perpindahan Δb karena balok melentur oleh gaya aksial P dari gambar di atas nilai Δb = S-L Dari persamaan pytagoras: = = Kita integralkan persamaan kiri dan kanan didapat: S = Dari teori bentuk binomial : = + n b + + ……..+ = + . + …… dst Apabila suku dipangkatkan yang lebih besar lagi, maka hasilnya makin sangat kecil atau diabaikan saja. Maka panjang S adalah S = dan S-L = Karena Δb = S-L sehingga Δb = , sebut energy potensial adalah V dan ΔV = P.Δb atau = P. Maka Energi Potensial : V = b. Perpindahan y karena balok melentur oleh beban Tunggal P Energi Potensial adalah : V = P.y c. Perpindahan y karena balok melentur oleh beban merata q Energi Potensial adalah : V = q III.1.4 Fungsi Hampiran Shape Function Keakuratan hasil yang didapat dari analisa metode energy adalah sangat tergantung kepada ketepatan mengasumsikan pola kelengkungan fungsi hampiran dimana asumsi yang dilakukan harus memenuhi terhadap syarat-syarat batas yang harus ditetapkan. Fungsi hampiran akan sangat dipengaruhi posisi beban dan bentuk penampang, misalnya prismatis atau non prismatis. Boleh diasumsikan sebagai fungsi aljabar berpangkat atau juga fungsi trigonometric, power series atau trigonometric series. Dalam bahasan ini dicoba dengan fungsi aljabar. Syarat Batas: Untuk model kantilever ini berlaku syarat batas balok dengan tumpuan jepit bebas dimana pada z = 0; perpindahan lateral u, perpindahan vertical v dan perputaran penampang adalah : = = ‟ = ‟ = = ” = 0 Persamaan energi untuk tekuk lentur lateral torsi pada balok dalam keadaan elastic adalah : U + V = 0 Dimana: U adalah jumlah total energy regangan oleh lentur lateral, torsi warping dan torsi murni Vernant V adalah jumlah total energy potensial oleh gaya luar seperti beban tunggal, merata ataupun momen. Berarti: + E + GJ } + .β .u” = 0 Dimana : u = asumsi persamaan shape function lenturan lateral = asumsi persamaan shape function perputaran sudut twisting III.2 Tekuk Lateral pada Balok Kantilever I Tumpuan Jepit Bebas Fungsi hampiran Shape function u = 2 → u‟ = → u” = = 2 → ‟ = → ” = .u” = 2 . = -4 = = = = = = = = Dimana : 1. Total energy regangan U U = Ak. Lentur lateral + Ak. Torsi warping + Ak. Torsi Venant = + ] = + = [ + = [ + ] 2. Total Energi Potensial V Oleh beban P diujung balok = = } ] = } ] = [ = [ -4+4 ] = Persamaan energi untuk tekuk lentur lateral torsi pada balok dalam keadaan elastic adalah : U + V = 0 Penyelesaian dengan matrix → 1,47 = 1,47 Untuk meningkatkan akurasi dengan minor axis bending equation dari perhitungan Pcr maka kita masukkan u” = - 1. Total energy regangan U U = Ak. Lentur lateral + Ak. Torsi warping + Ak. Torsi Venant = + ] = + ] = + ] = [ + = [ + ] = [ + ] 2. Total Energi Potensial V Oleh beban P diujung balok = = ] = ] = ] = = = 3. Total Energi = U+ V = 0 + + ] = 0 [ + ] 0,057143. = + + Pcr = = 1,33 III.3 In-Elastic buckling dan tegangan residu Persamaan energi tekuk lentur lateral torsi untuk mendapat beban kritis Pcr pada balok diturunkan dalam keadaan elastis murni, dimana material masih mengikuti Hukum HOOKE dan tegangan yang terjadi lebih kecil dari tegangan proporsional. Gambar 3.1 Elastic dan Inelastic Buckling Gambar 3.2 Lateral Buckling teoritis dan eksperimen biasanya Dalam eksperimen ternyata biasanya yang terjadi tidaklah demikian, apabila factor kelangsingan balok L Iy makin kecil maka baok akan mengarah pada kejadian lateral buckling pada tegangan inelastic, sehingga sudah diluar prinsip teori elastic. Semakin besar ketahanan lateral, semakin tinggi pula kekuatan yang memungkinkan kejadian lateral buckling terjadi pada zona inelastic Gambar 3.3 Tegangan residu profil hot rooled dan las Tidak sempurnanya rekayasa bahan uji yang membedakan dakta bahwa lenturan lateral segera terjadi dan jauh berbeda dari prinsip teoritis dimana tak terjadi lenturan sebelum beban P lebih besar sedikit dari Pcr, itu bisa saja diakibatkan adanya tegangan residu yang cukup besar dan factor elastisitas yang tidak merata diseluruh penampang, serta tebal las yang bervariasi pada profil las. III.4. Teori ANSYS Teknik sipil yang merupakan salah satu cabang ilmu teknik yang paling tua, yang merupakan suatu ilmu yang luas yang dapat mempersatukan banyak perbedaan dan aspek-aspek penting dari ilmu teknik, termasuk struktur, air, dan tanah mekanis. Hal ini membentuk suatu kunci masukan dalam perencanaan dan pembangunan suatu struktur yang berbeda-beda seperti sistem penyedia air, bangunan-bangunan, pembangkit listrik, jembatan dan terowongan. Para insinyur sipil menggunakan simulasi perangkat lunak dalam memandu perencanaan dan konstruksi sebaik mungkin dalam mengatasi masalah proyek yang luas seperti : Bangunan-bangunan Teknik lingkungan Teknik geoteknik Teknik hidrolik Mekanika bahan Analisa struktur Teknik transportasi Pelaksanaan dengan meningkatnya permintaan peraturan keamanan dibutuhkan oleh insinyur sipil dalam memperhitungkan faktor angka perkembangan dan fisik – dari suatu komponen tunggal sampai selesai bangunan termasuk sistem operasi pada lingkungan. Dengan menggunakan solusi yang multiphysic dan lengkap dari ANSYS, bangunan inovasi yang baru dapat di kerjakan lebih cepat. Material alternative baru dapat diperiksa dan pengaruh material tersebut pada konstruksi bangunan dan kenyamanan penghuni bangunan bersamaan dengan keamanan mereka dapat dianalisa sebelum konstruksi itu dimulai. ANSYS adalah suatu perangkat lunak simulasi teknik yang ditemukan oleh ahli perangkat luank yaitu John Swanson. ANSYS mengembangkan tujuan umum dari analisa elemen hingga dan komputasi cairan dinamis. Ketika ANSYS mengembangkan suatu produk penambahan komputer ilmu teknik CAE, perangkat lunak ini mungkin lebih dikenal dengan ANSYS mekanis dan ANSYS multiphysic. Tujuan utama dari elemen hingga dalam pemodelan untuk pemecahan masalah mekanik secara numeric, termasuk analisa struktur yang statis dan dinamis baik linear dan non linear, distribusi panas dan masalah cairan serta masalah bunyi dan elektromagnetik. Teknologi ANSYS mekanis mempersatukan struktur dan material yang bersifat non-linear. ANSYS multiphysic juga mengatasi masalah panas, struktur, elektromagnetik, dan ilmu bunyi. Program ANSYS dapat digunakan dalam teknik sipil, teknik listrik, fisika dan kimia. ANSYS merupakan tujuan utama dari paket permodelan elemen hingga untuk secara numeric memecahkan masalah mekanis yang berbagai macam. Masalah yang ada termasuk analisa struktur statis dan dinamis baik linear dan non-linear, distribusi panas dan masalah cairan, begitu juga dengan ilmu bunyi dan masalah elektromagnetik. Secara umum, suatu solusi elemen hingga dapat di pecahkan dengan mengikuti 3 tahap ini. Ini merupakan panduan umum yang dapat digunakan untuk menghitung analisis elemen hingga. 1. Preprocessing ; langkah-langkah dalam preprocessing yaitu: Mendefinisikan titik point, garis, luas, volume Mendefinisikan jenis elemen dan bentuk materialgeometri Menghubungkan garis, luas, volume sesuai kebutuhan. 2. Solusi : menetapkan beban, perletakan dan menjalankan analisis ; beban yang ada berupa beban terpusat dan terbagi rata, perletakan translasi dan rotasi dan terakhir menjalankan analisisnya . 3. Postprocessing: proses lebih lanjut dan menampilkan hasil analisisnya ; dalam hal ini dapat ditampilkan : Tabel perpindahan nodal Tabel gaya dan momen Defleksi penurunan Diagram kontur tegangan dan regangan. III.5. Nonlinear Geometri dan Nonlinear Material Banyak variasi perilaku yang disebut “nonlinear” kata tersebut hanya menyatakan perilaku yang tidak. Hubungan tegangan-regangan bisa nonlinear baik secara bergantung waktu atau bebas waktu. Perpindahan bisa menyebabkan beban untuk mengubah distribusinya. Bagian yang berpasangan dapat saling tumbuk atau saling geser. Gap bisa terbuka atau tertutup. Nonlinearitas dapat ringan saja atau sangat dominan. Persoalan bisa static atau dinamik. Bermacam aturan solusi diusulkan, dan tidaklah mengherankan bila tidak satupun yang dianggap terbaik untuk segala persoalan. Persoalan sehari-hari biasanya dianggap sebagai linear. Bahan dan struktur digunakan dalam batas linear, dalam anggapan lendutan kecil. Nonlinearitas yang tidak dominan, yang kecil saja, masih bisa menerapkan basis desain linear. Analisa nonlinear lebih susah dimengerti dan lebih mahal. Namun demikian, analisis nonlinear semakin menjadi lebih umum disebabkan persyaratan desain yang ketat dan adanya metoda elemen hingga dan computer yang memungkinkan analisis nonlinear dilakukan secara praktis. Persoalan nonlinear biasanya diselesaikan dengan menggunakan sederetan tahapan linear. Dalam pengertian struktur, proses ini dijelaskan dengan menuliskan keseimbangan dalam bentuk incremental [K] {∆D} = {∆R}. disini matriks [K] adalah fungsi dari peralihan {D} disebabkan persoalan nonlinear. Pada saatnya, {D} yang terakhir adalah jumlah {∆D} sebelumnya. Matriks [K] disebut kekakuan tangent , yang digunakan untuk menghitung tahap berikutnya, {∆D}. kemudian mengubah {D}, ubah [K], dan siap untuk tahap berikutnya. Dengan cara ini kita mengaproksimasikan lengkung beban terhadap peralihan dengan sederetan segmen garis lurus. Dalam struktur , jenis-jenis nonlinearitas terdiri dari : Nonlinear material , di mana jenis dan bentuk material merupakan fungsi dari hubungan tegangan-regangan, termasuk nonlinear elastisitas, plastisitas dan rangkak. Nonlinear kontak , di mana suatu gap antara bagian berdekatan mungkin terbuka atau tertutup, area kontak antara bagian itu berubah seiring perubahan gaya kontak, atau ada kontak yang bergesekan dengan gaya gesek. Nonlinear geometri , di mana lendutannya cukup besar bahwa persamaan keseimbangan harus ditulis pada struktur geometri yang berdeformasi. Juga, beban akan berubah arah ketika beban meningkat. Pada bagian ini akan dibahas nonlinearitas geometri dan nonlinearitas material. Dalam membahas nonlinear geometri, kita mengabaikan nonlinear material dan persoalam bergantung-waktu kecuali bila disebutkan. Keistimewaan penting nonlinearitas geometri adalah persamaan keseimbangan harus ditulis terhadap geometri yang terdeformasi – yang mana belum diketahui saat itu. Kecuali bila persoalan tersebut tidak berubah secara mendasar oleh deformasi kita namakan persoalan tersebut sebagai “linear” dan anggapan bahwa persamaan keseimbangan adalah mengacu pada konfigurasi awal. Persoalan peralihan-besar dapat dianalisis dalam koordinat Lagrangian atau koordinat Eulerian. Pendekatan lagrangian juga disebut “stationary Lagrangian” dan “total Lagrangian”. Definisinya adalah bahwa kerangka acuan orisinil tetap stasioner, dan seluruhnya mengacu padanya, tidak peduli berapa besar regangan atau rotasi yang bakal terjadi: peralihan, diferensiasi, dan integrasi seluruhnya mengacu pada kerangka orisinilnya. Dengan makin bertambahnya peralihan, semakin banyak faktor yang ditambahkan pada hubungan regangan-peralihan untuk memperhitungkan nonlinearitas. Dalam konteks elemen hingga hal ini berarti bahwa matriks kekakuan konvensional [K] ditambahi dengan matriks-matriks tambahan yang diperoleh dari faktor yang lebih tinggi : pertama oleh [K ] untuk merepresentasikan pengaruh kekakuan yang bergantung secara linear pada peralihan, kemudian oleh [K 2 ] untuk merepresentasikan pengaruh kekakuan yang bergantung pada kuadritas pada peralihan. Sebaliknya, pendekatan Eulerian melibatkan koordinat berpindah : suatu kerangka acuan yang berdeformasi bersama struktur sedemikian hingga koordinat terpindah dari sebuah titik tidak pernah berubah. Seperti pada kenyataannya, pendekatan Eulerian mengambil bentuk yang sering disebut sebagai pendekatan “updated Lagrangian”. Sebuah sistem koordinat lokal, yang disebut sistem korotasional, dikenakan pada setiap elemen. Sistem lokal bergerak bersama elemen dan dengan demikian terkena gerakan benda getar yang sama. Diferensiasi dan integrasi dilakukan dengan mengacu pada koordinat lokal. Keadaan deformasi yang sekarang digunakan sebagai acuan sebelum tahap solusi incremental berikutnya. Kemudian koordinat lokal disesuaikan untuk menghasilkan keadaan acuan yang baru. Koordinat lokal titik berubah , sehingga metode tidaklah murni Eulerian. Namun regangan dan rotasi pada sistem lokal biasanya cukup kecil sehingga [K 2 ], dan kadang- kadang [K ] bisa diabaikan. Nonlinearitas diperhitungkan dengan menelusuri orientasi beberapa sistem lokal. Persamaan yang terbentuk diekspresikan dalam faktor kenaikan peralihan. Untuk nonlinear material, dalam tahap pengenalan, formulasi dan solusi di mana hubungan tegangan regangan adalah nonlinear. Nonlinear geometri tidak termasuk. Namun kita akan melihat bahwa algoritma solusi sangat mirip, tak peduli pada macam nonlinearitasnya. Bila hubungan tegangan regangan linear, atau nonlinear elastic, padanya terdapat relasi yang unik antara tegangan dan regangan. Namun bila terdapat regangan plastis, hubungan tegangan regangan bergantung pada alur, tidak unik: keadaan tegangan yang diberikan dapat dihasilkan melalui bermacam prosedur peregangan. Selain itu, material yang berbeda memerlukan teori material yang berbeda pula. Persoalan komputasi yang penting dalam nonlinearitas material adalah bahwa persamaan keseimbangan harus ditulis menggunakan sifat bahan yang bergantung pada regangan, namun regangan itu belum diketahui. Pembahasan kita menitikberatkan pada plastisitas. Namun algoritma solusi tidaklah terlalu terbatas: dia bisa terapkan pada nonlinearitas material, tanpa meninjau asal mulanya. Kemudian, kita akan meringkaskan persamaan teori plastisitas von Mises. Ini adalah teori inkremental atau aliran : dia menghubungkan inkremen tegangan dengan inkremen regangan. teori deformasi, yang menghubungkan tegangan total dengan regangan total . Definisi rekayasa untuk regangan geser digunakan, misalnya xy = u ,x + v ,x . sesuai dengan teori von Mises, leleh berawal saat keadaan saat keadaan tegangan mana saja ketika terjadi tegangan efektif melebihi batas tertentu, dimana = [ t – v 2 + y – z 2 + z – x 2 + 6 2 xy + 2 xy + 2 xy ] 12 untuk tegangan uniaksial x , dan daerah plastis dimana rasio poisson adalah 0,5 , kita dapatkan = x III.6. Metode Analisa Elemen HIngga. III.6.1. Teori Metode Elemen Hingga FEM . FEM merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menghitung gaya- gaya dalam yang terjadi dalam suatu komponen struktur. Finite element methode juga dapat dipakai untuk perhitungan struktur, fluida, elektrik, static, dinamik, dan lain- lain. FEM juga dikenal sebagai metode kekakuan atau displacement methode karena yang didapat terlebih dahulu dari perhitungan adalah perpindahan baru kemudian mencari gaya batang. Dikarenakan perhitungan matematis yang kompleks, FEM secara utama dikembangkan untuk deformasi linear yang kecil dimana matriks kekakuan konstan. Pada kasus deformasi yang besar, matriks kekakuan dan gaya dalam menjadi fungsi dari perpindahan. Nonlinear FEM digunakan untuk memperbaiki parameter material dari pandangan pelat elastis yang tinggi. Suatu balok merupakan suatu batang, yang berarti satu dimensi lebih besar dari dua elemen struktur yang dapat menahan gaya transversal pada perletakan yang ada. Balok yang umum dapat digunakan sebagai struktur tersendiri atau dikombinasikan untuk membentuk struktur portal bangunan yang umum digunakan pada bangunan dan dapat digunakan pada varisai beban secara luas dengan berbagai arah. Karena kita bekerja pada gambaran struktur 2D , maka digunakan suatu balok sederhana yang membentuk suatu balok 3D di bawah pengaruh gaya yang dipakai pada balok . III.6.2. Deskripsi Model Matematis. Euler-Bernoulli beam EB teori secara luas digunakan untuk memodelkan deformasi yang kecil. Timoshenko beam TB teori memperluas persamaan EB untuk memperjelas untuk efek nonlinear seperti geser. Untuk lebih teliti, elemen kinematik pada balok dijelaskan dengan 3 dof per node yaitu perpindahan aksial pada sumbu X Ux, perpindahan transversal pada sumbu Y Uy dan rotasi pada penampang melintang θ. Teori EB mengasumsikan bahwa penampang melintang meninggalkan gaya normal untuk membentuk sumbu longitudinal, di mana TB menghapus kendala normal dengan memperkenalkan deformasi geser. Sebagai tambahan, kedua teori mengacuhkan perubahan dimensi dari bentuk penampang balok yang mengalami deformasi. Teori TB dapat digunakan untuk perilaku geometri nonlinear akibat perpindahan dan perputaran yang besar. walaupun lebih kompleks teori TB yang muncul agar lebih efisien dalam hal perhitungan FEM. Balok tersebut dibagi menjadi beberapa bagian elemen hingga . elemen- elemen balok lurus dan memiliki 2 node. Maka dikumpulkan semua nodal dof ke dalam sistem vektor dof yang dinamakan vektor tetap : U = [ x1 y1 θ1 . . . xn yn θn ] T Dalam hal ini, diasumsikan untuk mengetahui material properti dari model yang ada seperti E modulus elastisitas, G yaitu modulus geser. Materialnya masih tetap linear elastis . gaya-gaya yang ada bekerja pada node balok yang dikumpulkan untuk membentuk vektor gaya yaitu : f = [ fx1 fy1 f θ1 . . . fxn fyn f θn ] T dengan n adalh total jumlah node yang ada pada model balok. Regangan merupakan suatu ukuran untuk mengubah bentuk objek, dalam hal ini yaitu panjang, sebelum dan sesudah terjadi deformasi yang diakibatkan beberapa beban yang ada. Tegangan adalah distribusi gaya-gaya dalam per satuan luas yang seimbang dan bereaksi terhadap gaya luar yang terjadi pada balok. Dalam kasus teori TB , ada tiga perbedaan komponen tegangan per elemen balok : regangan aksial yang diukur berdasarkan besar ukuran balok e , regangan geser yang diukur berdasarkan perubahan sudut antara dua garis pada balok sebelum dan sesudah deformasi γ , dan ukuran perubahan kurva k . Dari hal di atas , dapat dikumpulkan menjadi suatu vektor regangan balok secara umum : h T = [ e 1 γ 1 k 1 . . . e n- 1 γ n- 1 k n- 1 ]. Resultan tegangan pada teori TB ditentukan gaya aksial N , gaya lintang V dan momen lentur M per satuan luas dari penampang melintang. Resultan tegangan secara umum : z = [ N 1 V 1 M 1 . . . N n- 1 V n- 1 M n- 1 ]. Di mana n -1 adalah jumlah dari elemen balok. Energi regangan dalam model sepanjang balok dapat ditulis sebagai integral panjang : U = h d X Di mana L adalah panjang balok. Vektor gaya dalam bisa didapat dengan mengambil variasi pertama dari energi regangan sehubungan dengan perpindahan nodal : P = = uz d X Persamaan ini dievaluasi dengan penggabungan satu titik Gauss. B adalah matrik regangan-perpindahan . akhirnya, variasi pertama pada gaya dalam mendefinisikan matriks kekakuan tangensial : K T = = d X = K M + K G Di mana KT adalah kekakuan material dan KG adalah kekakuan geometri. Kekakuan material adalah konstan dan identik dengan matriks kekakuan linear pada balok Euler-Bernoulli C1 . kekakuan geometri mendatangkan variasi dari B dimana resultan tegangan tetap dan membawa balok nonlinear pada deformasi geometri yang besar. III.6.3 Pengenalan Elemen Elemen adalah formulasi matematik yang digunakan metode elemen hingga sebagai representasi problem yang ditinjau dalam suatu diskritisasi. Sebagian besar permasalahan rekayasa dalam konstruksi bangunan gedung maupun jembatan dapat diselesaikan dengan pendekatan stuktur rangka model struktur berbentuk garis atau elemen satu dimensi . Hal tersebut juga dibuktikan dengan materi analisa struktur yang diajarkan ditingkat sarjana, yang sebagian besar masih terbatas untuk struktur rangka saja. adapun materi analisis non-rangka seperti pelat dan cangkang elemen dua dimensi sebagian besar hanya diberikan di tingkat pascasarjana. Oleh karena itu pulalah, penggunaan elemen frame pada suatu progam seperti ANSYS sangat popular disbanding elemen-elemen lain yang tersedia pada progam tersebut. Selain elemen frame yang merupakan elemen satu dimensi, juga terdapat elemen lain, yaitu :  Elemen shell , yaitu elemen bidang untuk memodelkan struktur shell cangkang , pelat, dan membrane, sebagai model 2D atau 3D.  Elemen plane , yaitu elemen bidang untuk memodelkan struktur padat solid dengan perilaku plane-stress maupun plane strain .  Elemen asolid , yaitu elemen bidang untuk memodelkan struktur solid axisymetric dengan pembebanan axisymetric pula.  Elemen solid, yaitu untuk memodelkan struktur padat solid tiga dimensi.  Elemen Nllink, yaitu elemen khusus yang dapat digunakan untuk memodelkan bagian tertentu struktur yang bersifat non-linear seperti gap celah , peredam, isolator, dan semacamnya. Elemen ini dapat digunakan jika Anda berkeinginan melakukan analisa struktur non-linear. BAB IV PERBANDINGAN BEBAN KRITIS SECARA TEORITIS, EXSPERIMEN DENGAN PROGRAM ANSYS

IV.1 Perhitungan Beban Kritis Pcr pada Balok Kantiler dengan Program Ansys