10
1,2,q
= konstanta; koefisien atau bobot weight e
t
= residual; error yang menjelaskan efek dari variabel yang tidak dijelaskan oleh model.
3. ARIMA
Bentuk umum model ini adalah Santoso, 2009:
2.3
Dimana : Y
t
= nilai series yang stasioner Y
t-1
, Y
t-2
= nilai lampau series yang bersangkutan e
t-1
, e
t-2
= variabel bebas yang merupakan lag dari residual ,
δ
1
,
δ
q
,
1
,
p
= koefisien model
2.4. ACF dan PACF
2.4.1. ACF Autocorrelation Function
Koefisien autokorelasi adalah derajat hubungan antara Y
t
dan Y
t-k.
Menurut Makridakis, et al. 1998 dengan persamaan
∑ ̅
∑ ̅
2.4 Dimana :
= Koefisen autokeralsi lag ke k, dimana k = 0,1,β,…,k = Data aktual pada orde ke t
̅ = Nilai rata-rata mean = Data aktual pada orde t dengan time lag k
Universitas Sumatera Utara
11
2.4.2. PACF Partial Autocorrelation Function
Fungsi Autokorelasi parsial digunakan untuk mengukur tingkat keeratan dan
. Apabila pengaruh dari selisih waktu pada lag 1,β,γ,…,k-1 dianggap terpisah. Nilai
koefisien autokorelasi parsial dapat dihitung dengan persamaan berikut: 2.5
Dimana : = Data aktual pada orde ke t
= Parameter autoregressive pada lag k = Data aktual pada orde t dengan time lag k
= Kesalahan ramalan
2.5. Tahapan Metode ARIMA
Langkah-langkah tahapan metode ARIMA adalah : 1.
Memeriksa kestasioneran data 2.
Identifikasi 3.
Estimasi 4.
Diagnosis 5.
Peramalan
Berikut diagram tahapan metode ARIMA dapat dilihat pada gambar 2.1 :
Universitas Sumatera Utara
12
Gambar 2.1.Diagram Tahapan-Tahapan Pada Model ARIMA
2.5.1. Konstan Stasioner
Yang terpenting dalam peramalan ARIMA adalah data yang konstan stasioner. Peramalan dapat dilakukan apabila kodisi data sudah konstan. Menurut Makridakis,
et al. 1998 stasioner adalah fluktuasi data yang rata-rata dan variansi dari fluktuasi tersebut relatif konstan dari satu periode ke periode selanjutnya.
2.5.1.1 Rata-rata Mean
Rata-rata Mean adalah nilai yang mewakili sekelompok data. Nilai ini diperoleh dengan menjumlahkan seluruh data , kemudian menbagi dengan jumlah individu.
̅
∑
…β.6 Dimana :
̅ = Rata-rata
Y = Nilai pada data
N = Jumlah keseluruhan data
Memeriksa kestasioneran data
Identifikasi model ARIMA
Estimasi parameter dari model yang dipilih
Uji diagnostik model tersebut
Lakukan peramalan dengan model tersebut
Universitas Sumatera Utara
13
2.5.1.2 Varians
Varians adalah ukuran disperse yang menggunakan selisih antara semua nilai data dengan rata-rata hitung.
∑ ̅̅̅
2.7 Dimana:
= Varians ̅
= Rata-rata Y = Nilai pada data
N = Jumlah keseluruhan data
2.5.1.3 Data Konstan dan Data Non-Konstan Dalam Mean
Menurut Makridakis, et al. 1998 nilai autokorelasi pada data konstan akan turun sampai nol sesudah lag kedua atau ketiga, sedangkan untuk data yang non-konstan,
nilai autokorelasi akan berbeda secara signifikan dari nol untuk beberapa periode waktu.
Suatu deret data yang tidak konstan dalam mean harus diubah menjadi data konstan dengan melakukan pembedaan. Yang dimaksud Pembedaan adalah
menghitung perubahan atau selisih nilai observasi. Notasi yang sangat bermanfaat adalah operator backward shift. Pembedaan ordo pertama dari data aktual dapat
dinyatakan sebagai berikut : B = Yt-Yt
-1
2.8 Dimana:
B = Pembeda ordo pertama
Y
t
= Nilai Y pada order ke t Y
t-1
= Nilai Y pada order ke t-1 Pembedaan ordo kedua dapat dinyatakan sebagai berikut :
B’ = 1-B
2
Y
t
2.9 Dimana:
B’ = Pembeda ordo kedua
Universitas Sumatera Utara
14
2.5.1.4 Data Konstan dan Data Non-Konstan Dalam Varians
Suatu time series dikatakan konstan dalam varians apabila mempunyai struktur data yang berfluktuasi tetap atau konstan dari waktu ke waktu.
Box Cox 1964 mengembangkan suatu prosedur transformasi data sehingga bisa mengatasi ketidak konstan data dalam varians. Dimana data yang konstan dalam
varians nilai lambda = 1 pada box cox plot. Jika lambda tidak sama dengan dengan 1, maka data akan ditransformasi sesuai lambda di tabel 2.1:
Tabel 2.1. Bentuk Transformasi
lambda -1
-0.5 0.5
1 transformation
1 1
√ ln
√ .
2.5.2. Identifikasi
Pada proses ini ialah menentukan nilai p, d, dan q di mana p ialah jumlah proses autoregressive
AR, d merupakan jumlah Pembedaan agar suatu data time series bisa konstan, dan q ialah jumlah proses moving average MA. Berdasarkan plot data
aktual dapat diketahui apakah data sudah konstan. Jika belum konstan maka data harus di konstankan terlebih dahulu. Menentukan kombinasi model ARIMA yang
mungkin. Dari plot autokorelasi tentukan nilai AR p, dan nilai MA q dari autokorelasi parsial.
Model AR dan MA dari suatu time series dapat di identifikasi dengan melihat pola grafik ACF Autocorrelation Function dan PACF Partial Autocorrelation
Function . Dapat dilihat pada tabel 2.2.
Tabel 2.2.Pola ACF dan PACF
Model Pola ACF
Pola PACF AR p
Menurun secara eksponensialbertahap
Menurun drastis pada lag tertentu
Universitas Sumatera Utara
15
Tabel 2.2.Pola ACF dan PACF Lanjutan
Model Pola ACF
Pola PACF MA q
Menurun drastis pada lag tertentu
Menurun secara eksponensialbertahap
ARMA p,q Menurun secara
eksponensialbertahap Menurun secara
eksponensialbertahap
2.5.3. Estimasi
Setelah berhasil mendapatkan p,d,q, selanjutnya adalah memperkirakan parameter dari model untuk diuji agar mendapatkan model terbaik. Untuk itu dilakukan pemeriksaan
terhadap :
2.5.3.1 Residu
Model yang telah diperkirakan akan memperlihatkan perbedaan residu antara nilai- nilai data time series dan nilai-nilai estimasi dari model yang sangat kecil. Residu
dapat diperoleh dari persamaan berikut : 2.10
Dimana : = Kesalahan peramalan
= Nilai Y pada order ke t = Nilai peramalan
2.5.3.2. Pemeriksaan Kesalahan Standar Residu
Nilai Standar Error dari
adalah :
√
2.11 Dimana :
= Koefisen autokorelasi la g ke k, dimana k = 0,1,β,…,k
= Banyaknya data
Universitas Sumatera Utara
16
Suatu derek akan bersifat acak apabila koefisien korelasinya berada dalam batas interval:
2.12
2.5.4. Diagnosis
Setelah model ditentukan, kemudian kita cek apakah model cocok dengan data dan memenuhi persyaratan model peramalan yang baik. Jika estimasi residualnya white
noise maka model cocok, namun jika tidak maka harus dilakukan pengecekan
kembali. Model dikatakan memadai jika asumsi dari error memenuhi proses white noise
dan berdistribusi normal.
2.5.4.1. Ljung-Box
Untuk memeriksa apakah autokorelasi nilai-nilai sisa residu berpola acak bersifat white noise
, digunakan ljung-box adapun persamaannnya : ∑
2.13
Dimana : = Hasil perhitungan ljung-box chi-square
= Jumlah lag autokorelasi residu = N
– d -SD = Jumlah keseluruhan data
= Ordo pembedaan bukan musiman = Ordo pembedaan musiman
= Jumlah periode per musim = Koefisen autokoeralsi lag ke k, dimana k = 0,1,β,…,k
Universitas Sumatera Utara
17
2.5.5. Peramalan
Menurut Linda, 2013 Setelah parameter-parameter model ARIMA telah di diagnostik, maka selanjutnya adalah menggunakan model tersebut untuk peramalan.
Sebagai contoh, pertama-tama ditetapkan model ARIMA 1,1,1 dengan persamaan regresi biasa :
2.14
Untuk meramalkan satu periode kedepannya, maka dapat ditambahkan didepannya :
2.15
Untuk meramalkan h periode kedepannya yaitu maka :
2.16
Pada kenyataannya hasil peramalan tidak pernah akurat 100 persen benar. Oleh karena itu diperlukan suatu metode untuk menghitung tingkat kesalahan error dalam suatu
peramalan.Semakin kecil kesalahan yang didapatkan, maka semakin baik peramalan tersebut. Berikut ini beberapa cara untuk menghitung tingkat kesalahan dari
peramalan: 1.
Rata-rata kuadrat kesalahan Mean Squared Error MSE MSE adalah metode penghitung kesalahan peramalan dengan cara mengkuadratkan
masih-masih kesalahan kemudian dijumlahkan dan dibagi dengan jumlah data periode. Rumus MSE adalah sebagai berikut:
∑ ̂
2.17 Dimana :
= Data aktual ̂
= Data hasil ramalan N = Jumlah data
Universitas Sumatera Utara
18
2. Akar rata-rata kuadrat kesalahan Root Mean Squared Error RMSE
RMSE adalah akar kuadrat rata-rata kuadrat kesalahan. Rumus RMSE adalah sebagai berikut:
√
∑ ̂
2.18 Dimana :
= Data aktual ̂
= Data hasil ramalan N = Jumlah data
3. Rata-rata presentase kesalahan mutlak Mean Absolute Percent Error MAPE
MAPE adalah metode perhitungan kesalahan yang dihitung dengan mencari presentase kesalahan dari setiap periode peramalan kemudian membaginya dengan
jumlah data periode yang digunakan. Rumus MAPE adalah sebagai berikut: ∑
| |
2.19 Dimana :
= Data aktual = Data hasil ramalan
N = Jumlah data
2.6. SAS
