BAB 3
PEMBAHASAN
Pada bab ini, akan dijelaskan metode-metode yang penulis gunakan dalam pembahasan. Adapun metode yang akan digunakan adalah metode simpleks dan
metode branch and bound.
3.1 Metode Simpleks
Metode simpleks adalah prosedur pemecahan program linier yang lebih efisien daripada metode grafik. Meskipun problem program linier dapat diselesaikan
secara grafik, akan tetapi hampir seluruh problem program linier sesungguhnya tidak dapat diselesaikan dengan cara ini, karena pada umumnya program linier
mempunyai lebih dari 3 variabel.
Secara umum, bentuk umum dari program linier dapat dimodelkan sebagai berikut:
MaksMin:
n n
x c
x c
x c
Z
2 2
1 1
kendala:
1 1
2 12
1 11
b x
a x
a x
a
n n
2 2
2 22
1 21
b x
a x
a x
a
n n
m n
mn m
m
b x
a x
a x
a
2 2
1 1
,
, ,
2 1
n
x x
x
Universitas Sumatera Utara
Prosedur tahap proses untuk menyelesaikan program linier dengan menggunakan metode simpleks adalah sebagai berikut:
Tahap 1. Merumuskan problema ke dalam model simpleks. Tahap 2. Menyusun tabel simpleks iterasi awal dengan penambahan slack variabel
Tahap 3. Mengecek nilai optimal tabel simpleks dengan cara sebagai berikut: a.
Kalau sudah optimal, tafsirkan hasil penyelesaian. b.
Kalau belum optimal, teruskan penyelesaian pada tahap berikutnya. Tahap 4. Mengidentifikasi variabel yang akan masuk dalam tabel.
Tahap 5. Mengidentifikasi variabel yang akan dikeluarkan dalam tabel. Tahap 6. Menyusun tabel simpleks baru.
Tahap 7. Mengecek nilai optimal tabel simpleks baru tersebut: a.
Kalau sudah optimal, tafsirkan hasil penyelesaian. b.
Kalau belum optimal, kembali kepada prosedur tahap 4.
Tahap 1. Perumusan Model Simpleks
Untuk menyusun rumusan program linier ke dalam model matematika simpleks, perlu mengubah bentuk tanda ketidaksamaan kendala ke dalam bentuk tanda sama
dengan = agar persamaan kendala dalam keadaan seimbang. Bentuk ini biasanya dikatakan sebagai bentuk standar, sehingga bentuk standarnya dapat dirumuskan
sebagai berikut: Asums ikan untuk permasalahannya menggunakan tanda ≤.
MaksMin:
n n
x c
x c
x c
Z
2 2
1 1
kendala:
1 1
1 2
12 1
11
b s
x a
x a
x a
n n
2 2
2 2
22 1
21
b s
x a
x a
x a
n n
m m
n mn
m m
b s
x a
x a
x a
2 2
1 1
, ,
,
2 1
n
x x
x
Universitas Sumatera Utara
m
s s
s ,
, ,
2 1
adalah slack variabel Pada permasalahan dalam penelitian ini, tanda ketidaksamaan kendala
adalah lebih kecil atau sama dengan ≤, diubah menjadi tanda sama dengan = dengan syarat menambah variabel slack
i
s pada sisi bagian kiri persamaan
kendala. Slack variabel perlu ditambahkan agar persamaan garis kendala memenuhi persyaratan penyelesaian pada daerah kelayakan feasible.
Tahap 2. Menyusun Tabel Simpleks
Ada beberapa macam format tabel simpleks. Salah satu format yang akan penulis gunakan dapat dilihat pada Tabel 3.1.
Tabel 3.1. Format Tabel Simpleks Basis C
1
c
2
c
n
c
B
1
x
2
x
n
x
1
s
2
s
n
s
1
s
2
s
n
s
j j
C Z
Penjelasan tabel simpleks di atas: 1.
C = Nilai kontribusi setiap variabel basis dalam proses iterasi.
2. Basis = Variabel basis dalam proses iterasi nilainya tidak sama dengan
nol. 3.
B = Nilai variabel basis dalam proses iterasi.
4.
j j
C Z
= Nilai kontribusi dalam problema meminimalkan dari setiap variabel dalam proses iterasi.
Universitas Sumatera Utara
Tahap 3. Pengecekan Optimalisasi Tabel Simpleks Iterasi Awal
Pengecekan apakah tabel simplek pada iterasi awal telah atau belum optimal dilakukan dengan cara melihat nilai
j j
C Z
masing-masing variabel fungsi tujuan. Apabila
j j
C Z
untuk semua variabel bernilai nol atau positif, maka penyelesaian problema tersebut telah optimal. Apabila tidak, maka dilakukan
tahap proses selanjutnya.
Tahap 4. Identifikasi Variabel yang Akan Masuk
Untuk menentukan variabel yang mana akan masuk dalam pertimbangan untuk diproses pada iterasi berikutnya adalah variabel keputusan variabel non-basis
yang mempunyai nilai
j j
C Z
terbesar. Variabel non-basis dimasukkan untuk proses iterasi berikutnya karena variabel
n
s s
s ,
, ,
2 1
telah masuk dalam proses
iterasi awal. Nilai
j j
C Z
terbesar yang memiliki nilai terbesar diyakini dapat meningkatkan hasil yang diperoleh dalam proses iterasi selanjutnya.
Tahap 5. Identifikasi Variabel yang Akan Keluar
Dengan adanya variabel yang masuk ke dalam tabel simpleks, maka salah satu dari variabel basis harus keluar dari tabel simpleks tersebut agar diperoleh
peningkatan nilai tujuan maksimum. Cara mengidentifikasi variabel yang akan ke luar adalah dengan mencari hasil bagi antara nilai solusi dan nilai substitusi
marjinal yang terkecil dan bilangan tersebut bernilai non-negatif.
Tahap 6. Penyusunan Tabel Simpleks Iterasi Pertama
Untuk menyusun tabel simpleks iterasi pertama, harus mencari koefisien elemen pivot dari tabel simpleks sebelumnya. Koefisien elemen pivot dapat dicari dengan
cara menghubungkan kolom pivot dengan baris pivot sedemikian rupa sehingga
Universitas Sumatera Utara
titik potong kedua pivot ini menunjukkan koefisien, yang disebut elemen pivot. Koefisien-koefisien baris pivot yang baru dicari dengan menggunakan rumus
sebagai berikut:
Nilai Baris Pivot Baru = Nilai Baris Pivot Lama : Elemen Pivot
Untuk menghitung nilai baris baru lainnya, dilakukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut:
Nilai Baris Baru = Nilai Baris Lama – Elemen Baris x Nilai Baris
Pivot Baru
Tahap 7. Pengecekan Optimalisasi Tabel Simpleks Iterasi Pertama
Pengecekan apakah tabel simpleks pada iterasi pertama telah atau belum optimal. Apabila
j j
C Z
untuk semua variabel bernilai nol atau positif, maka penyelesaian problema tersebut telah optimal. Apabila tidak, maka kembali pada
prosedur Tahap 4.
3.2 Metode Branch and Bound
