titik potong kedua pivot ini menunjukkan koefisien, yang disebut elemen pivot. Koefisien-koefisien baris pivot yang baru dicari dengan menggunakan rumus
sebagai berikut:
Nilai Baris Pivot Baru = Nilai Baris Pivot Lama : Elemen Pivot
Untuk menghitung nilai baris baru lainnya, dilakukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut:
Nilai Baris Baru = Nilai Baris Lama – Elemen Baris x Nilai Baris
Pivot Baru
Tahap 7. Pengecekan Optimalisasi Tabel Simpleks Iterasi Pertama
Pengecekan apakah tabel simpleks pada iterasi pertama telah atau belum optimal. Apabila
j j
C Z
untuk semua variabel bernilai nol atau positif, maka penyelesaian problema tersebut telah optimal. Apabila tidak, maka kembali pada
prosedur Tahap 4.
3.2 Metode Branch and Bound
Proses dari metode branch and bound dimulai dengan menyelesaikan program linier dengan mengabaikan persyaratan cacahnya. Misalnya diketahui problema
program bilangan cacah yang disebut dengan problema 0, yaitu:
Problema 0 Maks:
2 1
7 10
x x
f
10 3
4
2 1
x
x
2 1
2 1
, ,
, x
x x
x
integer
Universitas Sumatera Utara
Sekarang problema 0 dipandang sebagai problema program linier dan disebut problema 1:
Problema 1 Maks:
2 1
1
7 10
x x
f
10
3 4
2 1
x
x ,
2 1
x
x
Terlihat bahwa problema 1 akan lebih mudah di selesaikan dari problema 0 setelah syarat cacahnya dihilangkan.
Ada 2 hubungan antara problema 0 dan problema 1 yaitu: 1.
Hubungan batas Misalkan
f dan
1
f sebagai nilai fungsi tujuan untuk solusi feasible
optimum problema 0 dan problema 1, maka:
1
f f
Ini berarti bahwa nilai solusi optimum dari fungsi tujuan untuk problema
program integer problema 0 tidak boleh melebihi nilai solusi optimum dari fungsi tujuan problema program linier problema 1. Hubungan ini
disebut bounding.
2. Hubungan optimalitas
Jika solusi telah optimal untuk problema 1 dan feasible untuk problema 0, maka solusi juga optimal untuk problema 0.
Jika solusi optimal untuk problema 1 adalah juga feasible untuk problema 0 dengan syarat dimana
1
f f
dan karena
f tidak boleh lebih besar
dari
1
f
, maka hasil harus optimal untuk problema 0.
Akan tetapi, misalkan hasil optimum untuk problema 1 tidak feasible untuk problema 0 maka problema 1 diubah menjadi m problema baru yang
memenuhi syarat sebagai berikut: a
Solusi optimal untuk problema 1 tidak feasible untuk setiap problema dari m problema baru.
Universitas Sumatera Utara
b Sekurang-kurangnya terdapat satu nilai optimal untuk
problema 0 adalah feasible untuk salah satu solusi dari m problema baru.
Rumusan dari m problema baru disebut branching. Terdapat banyak cara untuk merumuskan m problema baru tersebut. Salah satu di antaranya yang paling
baik adalah cara dari R.J. Dakin dengan memisalkan salah satu dari
j
x adalah
solusi problema 1 yang mempunyai nilai bukan integer pada penyelesaian optimal program linier maka
1 ]
[ ]
[
j j
j
x x
x , di mana
] [
j
x dan
1 ]
[
j
x adalah dua
bilangan cacah yang berurutan. Dari syarat tersebut kemudian dibentuk dua program integer yang baru yang dikatakan problema 2 dan problema 3 sedemikian
sehingga:
Problema 2 = problema 1 ditambah kendala ]
[
j j
x x
Problema 3 = problema 1 ditambah kendala
1 ]
[
j j
x x
Dengan demikian syarat pertama a telah terpenuhi yaitu solusi optimum untuk problema 1 pasti tidak feasible untuk problema 2 maupun untuk problema
3. Pada saat yang sama, solusi optimum untuk problema 0 masih tetap dalam ruang solusi dari problema 2 dan problema 3, karena tidak ada solusi integer layak
yang terbuang dari ruang penyelesaian. Ini berarti bahwa syarat kedua b juga terpenuhi di mana solusi optimal untuk problema 0 masih tetap feasible untuk
salah satu dari problema 2 atau problema 3.
Secara umum, bentuk umum dari program integer adalah sebagai berikut:
Maks:
n j
j j
x c
Z
1
kendala: m
i b
x a
i n
j j
ij
, ,
2 ,
1 ;
1
j j
x x
,
integer
n j
,
2 ,
1
Universitas Sumatera Utara
Dengan demikian, diasumsikan penjabaran bentuk umum dari fungsi tujuan dan fungsi kendala program integer adalah sebagai berikut.
Maksimumkan:
n n
x c
x c
x c
z
2 2
1 1
maka,
n n
n n
x c
x c
x c
x x
x c
c c
2 2
1 1
2 1
2 1
n j
j j
n j
x c
1
, ,
2 ,
1 ;
Selanjutnya, asumsikan fungsi kendala program integer adalah sebagai berikut.
i n
mn m
m
b x
a x
a x
a
2 2
1 1
maka,
mn m
m n
n
a a
a a
a a
a a
a
2 1
2 22
21 1
12 11
n
x x
x
2 1
i
b
1 1
2 12
1 11
b x
a x
a x
a
n n
2 2
2 22
1 21
b x
a x
a x
a
n n
i n
mn m
m
b x
a x
a x
a
2 2
1 1
m
i b
x a
i n
j j
ij
, ,
2 ,
1 ;
1
Universitas Sumatera Utara
Langkah-langkah Metode Branch and Bound
Prosedur atau langkah-langkah metode branch and bound adalah sebagai berikut. 1.
Selesaikan masalah program linier dengan metode simpleks.
2. Teliti solusi optimumnya. Apabila variabel keputusan yang diharapkan
merupakan bilangan integer, maka solusi optimum integer telah tercapai. Apabila satu atau lebih variabel keputusan yang diharapkan ternyata bukan
bilangan integer, lanjutkan ke langkah 3. 3.
Jadikan solusi pada penyelesaian langkah 1 menjadi batas atas dan untuk batas bawahnya merupakan solusi yang variabel keputusannya telah diintegerkan
rounded – down.
4. Pilih variabel yang mempunyai nilai pecahan terbesar artinya bilangan
desimal terbesar dari masing-masing variabel untuk dijadikan pencabangan ke dalam sub-sub masalah. Tujuannya adalah untuk menghilangkan solusi yang
tidak memenuhi persyaratan integer dalam masalah itu. Pencabangan itu dilakukan secara mutually exclusive untuk memenuhi persyaratan integer
dengan jaminan tidak ada solusi feasible layak yang diikutsertakan.
5. Untuk setiap sub-masalah, nilai optimum fungsi tujuan ditetapkan sebagai
batas atas. Solusi optimum yang diintegerkan menjadi batas bawah solusi yang sebelumnya memiliki nilai tidak bulat kemudian bulatkan. Sub-sub
masalah yang memiliki batas atas kurang dari batas bawah yang ada, tidak diikutsertakan pada analisa selanjutnya. Suatu solusi integer feasible layak
adalah sama baik atau lebih baik dari batas atas untuk setiap sub masalah yang dicari. Jika solusi yang demikian terjadi, suatu sub masalah dengan batas atas
terbaik dipilih untuk dicabangkan. Kembali ke langkah 4 Winston, 2004.
Universitas Sumatera Utara
Langkah-langkah Metode Branch and Bound ANDOR
Prosedur atau langkah-langkah metode branch and bound ANDOR adalah sebagai berikut.
1. Selesaikan masalah program linier dengan metode simpleks.
2. Teliti solusi optimumnya. Apabila variabel keputusan yang diharapkan
merupakan bilangan integer, maka solusi optimum telah tercapai. Apabila satu atau lebih variabel keputusan yang diharapkan ternyata bukan
bilangan integer, lanjutkan ke langkah 3.
3. Jadikan solusi pada penyelesaian langkah 1 yang belum integer menjadi
batas atas dan batas bawah dengan solusi yang telah diintegerkan rounded-down.
4. Setelah melakukan langkah ketiga dan solusi optimum dengan nilai integer
telah tercapai, maka hentikan pencarian. Apabila variabel keputusan belum integer, maka dilakukan pencabangan seperti langkah tiga dengan
menambahkan kendala pada masing-masing batas atas dan batas bawah.
5. Apabila solusi optimum telah tercapai, lakukan pencabangan pada langkah
1 dengan menambahkan kendala pada langkah 4. Ini yang membedakan branch and bound
dengan ANDOR, branch and bound menganggap solusi yang dilakukan pada langkah 1 ditambahkan dengan langkah 3
kemudian langkah 4 lebih memenuhi syarat sehingga tidak lagi dilakukan penyelesaian langkah 1 dengan kendala 4. Sedangkan pada ANDOR
langkah 1 dengan kendala 4 juga diperhitungkan karena dianggap dapat mengatasi celah-celah yang diabaikan dan juga memperkuat solusi
optimumnya.
6. Jika terdapat kendala pada pencabangan branch and bound berikutnya,
maka ambil kendala tersebut untuk jadikan kendala pada langkah 1.
Universitas Sumatera Utara
Berlanjut untuk seterusnya sampai hasil dari ANDOR dapat lebih optimum atau dapat memperkuat hasil yang didapatkan pada branch and
bound .
Contoh penyelesaian soal dengan metode ANDOR diambil dari buku Hamdy A Taha, Operations Research edisi 8:
Lima item diletakkan pada sebuah kapal dengan berat
i
w , volume
i
v , dan harga
i
r untuk setiap item i pada table berikut.
Item i Berat unit,
i
w tons Volume unit,
i
v
3
yd
Harga unit,
i
r 100
1 5
1 4
2 8
8 7
3 3
6 6
4 2
5 5
5 7
4 4
Berat dan volume kargo yang maksimum adalah 112 tons dan 109
3
yd
masing- masing. Rumuskan dengan model persamaan linier yang integer dan tentukan
harga kargo yang paling maksimal.
Penyelesaian:
a. Ubah ke bentuk model persamaan program linier.
Misalkan: Item 1:
1
x Item 2:
2
x Item 3:
3
x Item 4:
4
x Item 5:
5
x
Universitas Sumatera Utara
Bentuk persamaan linier menjadi: 109
4 5
6 8
112 7
2 3
8 5
5 4
3 2
1 5
4 3
2 1
x x
x x
x x
x x
x x
Dengan memaksimalkan fungsi
5 4
3 2
1
4 5
6 7
4 x
x x
x x
Z
b. Jadikan model persamaan program linier di atas menjadi bentuk keadaan
standar dengan menambahkan variabel slack
i
s Maks:
5 4
3 2
1
4 5
6 7
4 x
x x
x x
Z
kendala: 109
4 5
6 8
112 7
2 3
8 5
2 5
4 3
2 1
1 5
4 3
2 1
s x
x x
x x
s x
x x
x x
c. Selesaikan masalah program linier dengan metode simpleks.
Iterasi 0
BasisC 4
7 6
5 4
B
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
1
s
2
s
1
s
5 8
3 2
7 1
112
2
s
1 8
6 5
4 1
109
Cj Zj
-4 -7
-6 -5
-4
Iterasi 1
BasisC 4
7 6
5 4
B
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
1
s
2
s
1
s
4 -3
-3 3
1 -1
3
2
x
7 0,12
1 0,75
0,62 0,5
0,12 13,62
Cj Zj
-3,12 -0,75
-0,62 -0,5
0,88 95,38
Iterasi 2
BasisC 4
7 6
5 4
B
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
1
s
2
s
1
x
4 1
-0,75 -0,75
0,75 0,25
-0,25 0,75
2
x
7 1
0,84 0,72
0,41 -0,03
0,16 13,53
Cj Zj
-3,09 -2,97
1,84 0,78
0,09 97,72
Universitas Sumatera Utara
Iterasi 3
BasisC 4
7 6
5 4
B
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
1
s
2
s
1
x
4 1
0,89 -0,11
1,11 0,22
0,11 12,78
3
x
6 1,19
1 0,85
0,48 -0,04
0,19 16,04
Cj Zj
3,67 -0,33
3,33 0,67
0,67 147,33
Iterasi 4
BasisC 4
7 6
5 4
B
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
1
s
2
s
1
x
4 1
1,04 0,13
1,17 0,22
-0,09 14,87
4
x
5 1,39
1,17 1
0,57 -0,04
0,22 18,83
Cj Zj
4,13 0,39
3,52 0,65
0,74 153,61
Hasil yang didapatkan adalah
61 ,
153 ;
83 ,
18 ;
87 ,
14
4 1
Z
x x
d. Teliti solusi optimumnya. Apabila variabel keputusan yang diharapkan
merupakan bilangan integer, maka solusi optimum integer telah tercapai. Apabila satu atau lebih variabel keputusan yang diharapkan ternyata bukan
bilangan integer, lanjutkan ke langkah 3 dengan menambahkan kendala ]
[
j j
x x
pada batas bawah dan kendala
1 ]
[
j j
x x
pada batas atas. 1
] [
] [
j j
j
x x
x , dimana
] [
j
x dan
1 ]
[
j
x adalah dua bilangan cacah
yang berurutan. Namun terlebih dahulu pada persamaan program linier di tambahkan satu syarat yaitu:
j
x integer dimana
n j
,
3 ,
2 ,
1
.
Maks:
5 4
3 2
1
4 5
6 7
4 x
x x
x x
Z
kendala: 109
4 5
6 8
112 7
2 3
8 5
5 4
3 2
1 5
4 3
2 1
x x
x x
x x
x x
x x
j
x integer dimana
Universitas Sumatera Utara
Penghitungan persamaan dan kendala awal dilakukan kembali dengan menambahkan kendala
14
1
x
dan 15
1
x
.
Iterasi
00
Iterasi 002 Iterasi 003
Iterasi 001
Iterasi 004 Iterasi 005
Iterasi 006 Iterasi 007
Iterasi 008 Iterasi 009
Iterasi 010 Iterasi 011
Universitas Sumatera Utara
Iterasi
00
Iterasi 012 Iterasi 013
Iterasi 011
Iterasi 014 Iterasi 015
Iterasi 016 Iterasi 017
Iterasi 018 Iterasi 019
Iterasi 020 No Feasible Solution
Iterasi 021 Iterasi 022
Universitas Sumatera Utara
Iterasi
00
Iterasi 023 No Feasible Solution
Iterasi 022
Iterasi 024 No Feasible Solution
Iterasi 025 No Feasible Solution
Iterasi 026 Iterasi 027
Iterasi 028 No Feasible Solution
Iterasi 029 Iterasi 030
Universitas Sumatera Utara
Iterasi 031 No Feasible Solution
Iterasi 030
Iterasi 032 No Feasible Solution
Iterasi 033 Iterasi 034
Iterasi 035 Iterasi 036
Iterasi 013
Iterasi 037 Iterasi 038
Iterasi 039 Iterasi 040
Universitas Sumatera Utara
Iterasi 041 No Feasible Solution
Iterasi 040
Iterasi 042 No Feasible Solution
Iterasi 043 No Feasible Solution
Iterasi 044 No Feasible Solution
Iterasi 015
Iterasi 045 Iterasi 046
Universitas Sumatera Utara
Iterasi 051 Iterasi 052
Iterasi 009
Iterasi 053 Iterasi 054
Iterasi 055 Iterasi 056
Iterasi 057 Iterasi 058
Iterasi 047 Iterasi 048
Iterasi 019
Iterasi 049 Iterasi 050
Universitas Sumatera Utara
Dari hasil penghitungan diatas, didapatkan beberapa solusi optimal yaitu:
Iterasi 010:
147 ;
1 ;
11 ;
6 ;
13
5 4
3 1
Z
x x
x x
Iterasi 016:
143 ;
9 ;
6 ;
2 ;
12
4 3
2 1
Z
x x
x x
Iterasi 021:
142 ;
10 ;
5 ;
2 ;
12
4 3
2 1
Z
x x
x x
Iterasi 026:
133 ;
2 ;
10 ;
3 ;
3 ;
9
5 4
3 2
1
Z x
x x
x x
Iterasi 029:
133 ;
1 ;
10 ;
3 ;
3 ;
10
5 4
3 2
1
Z x
x x
x x
Iterasi 032:
125 ;
2 ;
10 ;
1 ;
3 ;
10
5 4
3 2
1
Z x
x x
x x
Iterasi 034:
138 ;
11 ;
6 ;
1 ;
10
4 3
2 1
Z
x x
x x
Iterasi 059 No Feasible Solution
Iterasi 003
Iterasi 060 Iterasi 061
Iterasi 062 Iterasi 063
Iterasi 064 Iterasi 065
Iterasi 066 Iterasi 067
Universitas Sumatera Utara
Iterasi 035:
144 ;
1 ;
11 ;
5 ;
1 ;
12
5 4
3 2
1
Z x
x x
x x
Iterasi 038:
139 ;
11 ;
3 ;
2 ;
13
4 3
2 1
Z
x x
x x
Iterasi 039:
139 ;
11 ;
3 ;
2 ;
13
4 3
2 1
Z
x x
x x
Iterasi 043:
125 ;
1 ;
11 ;
2 ;
13
5 4
2 1
Z
x x
x x
Iterasi 045:
145 ;
10 ;
6 ;
1 ;
13
4 3
2 1
Z
x x
x x
Iterasi 046:
137 ;
1 ;
10 ;
4 ;
1 ;
13
5 4
3 2
1
Z x
x x
x x
Iterasi 048:
141 ;
1 ;
10 ;
6 ;
1 ;
11
5 4
3 2
1
Z x
x x
x x
Iterasi 049:
141 ;
10 ;
6 ;
1 ;
12
4 3
2 1
Z
x x
x x
Iterasi 050:
128 ;
10 ;
6 ;
2 ;
7
4 3
2 1
Z
x x
x x
Iterasi 052:
142 ;
11 ;
4 ;
1 ;
14
4 3
2 1
Z
x x
x x
Iterasi 053:
147 ;
11 ;
6 ;
14
4 3
1
Z x
x x
Iterasi 056:
140 ;
1 ;
10 ;
5 ;
14
5 4
3 1
Z
x x
x x
Iterasi 057:
139 ;
1 ;
11 ;
4 ;
14
5 4
3 1
Z
x x
x x
Iterasi 058:
131 ;
2 ;
11 ;
2 ;
14
5 4
3 1
Z
x x
x x
Iterasi 061:
151 ;
17 ;
1 ;
15
4 3
1
Z x
x x
Iterasi 065: 144
; 16
; 16
4 1
Z
x x
Iterasi 066: 150
; 18
; 15
4 1
Z
x x
Iterasi 067:
139 ;
1 ;
15 ;
15
5 4
1
Z x
x x
Maka hasil optimal yang paling maksimum adalah hasil dari iterasi 061:
151 ;
17 ;
1 ;
15
4 3
1
Z x
x x
Universitas Sumatera Utara
Langkah-langkah ANDOR
Iterasi 001 dicabangkan dengan kendala-kendala yang terdapat pada penghitungan branch and bound yaitu:
9
1
x
, 10
1
x
, 11
1
x
, 12
1
x
, 13
1
x
, 15
1
x
, 10
1
x
, 11
1
x
, 12
1
x
, 13
1
x
, 14
1
x
, 16
1
x
,
2
x
, 1
2
x
, 2
2
x
, 3
2
x
, 1
2
x
, 2
2
x
, 3
2
x
, 4
2
x
,
3
x
, 1
3
x
,
3
3
x
,
4
3
x
,
5
3
x
,
6
3
x
, 14
3
x
, 1
3
x
,
2
3
x
,
4
3
x
,
5
3
x
,
6
3
x
,
7
3
x
, 15
3
x
, 9
4
x
, 10
4
x
, 11
4
x
, 18
4
x
, 10
4
x
, 11
4
x
, 12
4
x
, 19
4
x
,
5
x
, 1
5
x
, 2
5
x
, 1
5
x
, 2
5
x
,
3
5
x
Dari kendala diatas, di dapatkan beberapa hasil yang optimal yaitu: 9
1
x
:
132 ;
3 ;
14 ;
9
5 3
1
Z x
x x
10
1
x
:
135 ;
1 ;
14 ;
1 ;
10
5 3
2 1
Z
x x
x x
11
1
x
:
138 ;
1 ;
15 ;
13
5 3
1
Z x
x x
12
1
x
:
142 ;
1 ;
15 ;
12
5 3
1
Z x
x x
13
1
x
:
144 ;
1 ;
14 ;
1 ;
12
4 3
2 1
Z
x x
x x
15
1
x
:
147 ;
1 ;
11 ;
6 ;
13
5 4
3 1
Z
x x
x x
10
1
x
:
147 ;
1 ;
11 ;
6 ;
13
5 4
3 1
Z
x x
x x
11
1
x
:
147 ;
1 ;
11 ;
6 ;
13
5 4
3 1
Z
x x
x x
12
1
x
:
147 ;
1 ;
11 ;
6 ;
13
5 4
3 1
Z
x x
x x
13
1
x
:
147 ;
1 ;
11 ;
6 ;
13
5 4
3 1
Z
x x
x x
14
1
x
:
144 ;
1 ;
6 ;
14
4 3
1
Z x
x x
16
1
x
: 144
; 16
; 16
4 1
Z
x x
Universitas Sumatera Utara
2
x
:
147 ;
11 ;
6 ;
14
4 3
1
Z x
x x
1
2
x
:
147 ;
1 ;
11 ;
6 ;
13
5 4
3 1
Z
x x
x x
2
2
x
:
147 ;
1 ;
11 ;
6 ;
13
5 4
3 1
Z
x x
x x
3
2
x
:
147 ;
1 ;
11 ;
6 ;
13
5 4
3 1
Z
x x
x x
1
2
x
:
143 ;
9 ;
6 ;
2 ;
12
4 3
2 1
Z
x x
x x
2
2
x
:
143 ;
; 9
; 6
; 2
; 12
4 3
2 1
Z
x x
x x
3
2
x
:
135 ;
1 ;
8 ;
5 ;
3 ;
10
5 4
3 2
1
Z x
x x
x x
4
2
x
:
131 ;
6 ;
5 ;
5 ;
9
4 3
2 1
Z
x x
x x
3
x
: 146
; 18
; 14
4 1
Z
x x
1
3
x
:
147 ;
17 ;
1 ;
14
4 3
1
Z x
x x
3
3
x
:
149 ;
15 ;
3 ;
14
4 3
1
Z x
x x
4
3
x
:
145 ;
1 ;
13 ;
4 ;
13
5 4
3 1
Z
x x
x x
5
3
x
:
146 ;
1 ;
12 ;
5 ;
13
5 4
3 1
Z
x x
x x
6
3
x
:
147 ;
1 ;
11 ;
6 ;
13
5 4
3 1
Z
x x
x x
14
3
x
:
147 ;
1 ;
11 ;
6 ;
13
5 4
3 1
Z
x x
x x
1
3
x
:
147 ;
1 ;
11 ;
6 ;
13
5 4
3 1
Z
x x
x x
2
3
x
:
148 ;
16 ;
2 ;
14
4 3
1
Z x
x x
4
3
x
:
147 ;
1 ;
11 ;
6 ;
13
5 4
3 1
Z
x x
x x
5
3
x
:
147 ;
1 ;
11 ;
6 ;
13
5 4
3 1
Z
x x
x x
Universitas Sumatera Utara
6
3
x
:
147 ;
1 ;
11 ;
6 ;
13
5 4
3 1
Z
x x
x x
7
3
x
:
139 ;
1 ;
14 ;
1 ;
11
5 3
2 1
Z
x x
x x
15
3
x
:
142 ;
1 ;
15 ;
12
5 3
1
Z x
x x
9
4
x
:
145 ;
1 ;
3 ;
13 ;
12
5 4
3 1
Z
x x
x x
10
4
x
:
144 ;
1 ;
14 ;
1 ;
12
5 4
2 1
Z
x x
x x
11
4
x
: 130
; 11
; 5
; 10
4 2
1
Z x
x x
18
4
x
:
147 ;
1 ;
11 ;
6 ;
13
5 4
3 1
Z
x x
x x
10
4
x
:
147 ;
1 ;
11 ;
6 ;
13
5 4
3 1
Z
x x
x x
11
4
x
:
147 ;
1 ;
11 ;
6 ;
13
5 4
3 1
Z
x x
x x
12
4
x
:
146 ;
1 ;
12 ;
5 ;
13
5 4
3 1
Z
x x
x x
19
4
x
: 151
; 19
; 14
4 1
Z
x x
5
x
:
143 ;
11 ;
6 ;
13
4 3
1
Z x
x x
1
5
x
:
147 ;
1 ;
11 ;
6 ;
13
5 4
3 1
Z
x x
x x
2
5
x
:
147 ;
1 ;
11 ;
6 ;
13
5 4
3 1
Z
x x
x x
1
5
x
:
144 ;
1 ;
11 ;
5 ;
1 ;
12
5 4
3 2
1
Z x
x x
x x
2
5
x
:
145 ;
2 ;
13 ;
4 ;
12
5 4
3 1
Z
x x
x x
3
5
x
:
138 ;
4 ;
14 ;
2 ;
10
5 4
3 1
Z
x x
x x
Maka hasil optimal yang paling maksimal adalah pada penghitungan iterasi awal dengan kendala
19
4
x
yaitu: 151
; 19
; 14
4 1
Z
x x
Universitas Sumatera Utara
Hasil Z maksimal dari penghitungan branch and bound sama dengan ANDOR Branch and Bound yaitu 151. Tetapi nilai variabel
n
x yang didapatkan berbeda.
Hal ini dapat terjadi pada beberapa kasus tertentu dan hasil yang akan digunakan tergantung manfaat dan kegunaan. Variabel yang bernilai nol bukan berarti mati
atau tidak berguna lagi tetapi jika variabel tersebut terisi tidak memberikan banyak manfaat dibandingkan dengan variabel lain yang terisi.
Universitas Sumatera Utara
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1. Kesimpulan
