Probabilitas Peubah Acak Variabel Random
harapan dalam jangka panjang, misalnya dari percobaan yang diulang berkali-kali. Nilai harapan variabel random X dilambangkan dengan EX.
Definisi 2.6 Walpole dan Myers, 1995
Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang fx. Nilai harapan X adalah:
� = . ,
.
+ ∞
−∞
,
Sifat-sifat nilai harapan:
Teorema 2.1 Walpole Myers, 1995: 113
Jika dan adalah konstanta, maka �
+ = � +
2.1 Bukti:
Jika X diskrit: �
+ = +
= +
= +
� +
= � + bila X kontinu maka
� +
= +
∞ −∞
=
∞ −∞
+
∞ −∞
� +
= aEX + b ▄
Teorema 2.2 Walpole Myers, 1995
Jika X dan Y adalah variabel random bebas, maka � = � � 2.2
Bila X diskrit Bukti:
� = � � =
,
Karena X dan Y tidak saling bergantung maka probabilitas gabungannya adalah: , =
sehingga � =
=
= � � ▄
bila X kontinu Bukti:
� = ,
∞ −∞
∞ −∞
karena X dan Y bebas, maka dapat ditulis , =
dengan dan menyatakan masing-masing distribusi X dan Y, maka
� = ,
∞ −∞
∞ −∞
=
∞ −∞
∞ −∞
= � � ▄
Teorema 2.3 Walpole Myers, 1995
Nilai harapan suatu konstanta adalah sama dengan konstanta itu sendiri, yaitu � =
2.3 Bukti:
Akibat dari Teorema 2.1, jika = 0 maka
� =
= =
� =
bila kontinu � =
∞ −∞
=
∞ −∞
� = b ▄
Teorema 2.4 Walpole Myers, 1995
Jumlah nilai harapan atau selisih dua atau lebih fungsi suatu peubah acak X sama dengan jumlah atau selisih nilai harapan fungsi tersebut, yaitu
� ± = � ± � 2.4
Bukti: Jika X diskrit maka
� ± = ±
= ±
= � ± �
Jika X kontinu maka � ± = ±
∞ −∞
=
∞ −∞
±
∞ −∞
= � ± � ▄
Selain nilai harapan, variansi juga termasuk salah satu konsep yang berkaitan dengan variabel random.
Definisi 2.7 Walpole Myers, 1995
Misalkan X peubah acak dengan distribusi peluang fx dan rataan . Variansi X adalah:
� = �
2
= � −
2
= −
2
bila X diskrit
� = �
2
= � −
2
= −
2 ∞
−∞
bila X kontinu
Sifat-sifat Varians:
Teorema 2.5 Walpole, 1995
Variansi variabel random X adalah: �
2
= �
2
− �
2
= �
2
−
2
2.5 Bukti:
Berdasarkan Teorema 2.1 dan Definisi 2.7, maka �
2
= � −
2
= �
2
− 2 +
2
= �
2
− 2 � +
2
= �
2
− 2
2
+
2
= �
2
−
2
▄
Teorema 2.6 Walpole, 1992
Jika a dan b adalah konstanta, maka +
=
2
2.6 Bukti:
Jika E = , maka �
+ = + . Oleh sebab itu,
� +
= � +
− −
2
= �
−
2
=
2
� −
2
=
2
▄
Teorema 2.7 Walpole, 1995
Jika X dan Y adalah variabel random bebas, maka + =
+ 2.7
Bukti: Jika
� =
1
dan � =
2
maka � + =
1
+
2
, oleh sebab itu Var X+Y =
� + −
1
−
2 2
= � −
1 2
+ −
2 2
+ 2 −
1
−
2
= � + � + 2� −
1
−
2
Karena X dan Y bebas, maka � −
1
−
2
= � −
1
� −
2
=
1
−
1 2
−
2
= 0 Sehingga
� + = � + �
Definisi 2.8 Walpole dan Myers, 1995
Misalkan X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan fx,y. Kovariansi X dan Y adalah:
bila X dan Y diskrit , = � − − = − − ,
bila X dan Y kontinu
, = � − − = − − ,
∞ −∞
∞ −∞
Bila nilai X yang besar sering berkaitan dengan nilai Y yang besar atau nilai X yang kecil berkaitan dengan nilai Y yang kecil maka nilai
− positif akan berkaitan dengan nilai
− yang positif dan nilai negatif − akan berkaitan dengan nilai negatif
− . Jadi − − cenderung positif. Jadi tanda kovariansi + atau - menunjukkan apakah hubungan antara dua
variabel random yang berkaitan positif atau negarif. Kovarians bernilai positif jika rata-rata pada variabel random X dan Y bergerak dalam arah yang sama, dan
bernilai negatif jika rata-rata variabel random X dan Y bergerak berlawanan arah. Bila X dan Y adalah bebas, maka kovariansnya nol.
Distribusi normal termasuk dalam landasan teori karena berguna dalam pembahasan asumsi kenormalan pada regresi linier. Distribusi normal merupakan
distribusi kontinu yang mensyaratkan variabel yang diukur harus kontinu . Probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi normal dari variabel acak kontinu
ditunjukkan oleh daerah di bawah kurva normal. Pada suatu observasi, berapapun nilai rata-rata dan nilai standar deviasinya, luas seluruh daerah di bawah kurva
normal adalah 1. Distribusi probabilitas normal untuk setiap nilai x yang membentuk
kurva normal mempunyai persamaan umum: =
1 � 2�
− 1
2 −µ
�
2
µ = rata-rata populasi σ = simpangan baku populasi
π = konstanta yang nilainya mendekati 3,14159 e = konstanta yang nilainya mendekati 2,7182
x = setiap nilai variabel acak kontinu yang besarnya - ∞ x +∞.
Distribusi normal fx didefinisikan pada interval terbuka - ∞ x +∞.
Distribusi normal dengan parameter µ dan σ
2
biasanya ditulis N µ , σ
2
. Dengan memperhatikan persamaan umum dan grafik distribusi normal fx, tampak bahwa
bentuk kurva normal ditentukan oleh dua parameter, yaitu rata-rata µ dan simpangan baku σ. Bila nilai σ
mengecil, bentuk kurva akan lebih rapat dan semakin runcing dan sebagian besar nilai x akan berkumpul atau mendekati rata-
rata µ. Sebaliknya jika nilai σ semakin besar, bentuk kurva akan semakin besar,
bentuk kurva akan semakin renggang dan tumpul dimana sebagian besar nilai- nilai x akan menjauhi nilai rata-rata µ.
Sifat-sifat distribusi normal: a.
Grafik simetri terhadap garis tegak x = µ b.
Grafik selalu berada di atas sumbu x atau fx 0 c.
Mempunyai 1 nilai modus d.
Luas daerah di bawah kurva fx dan di atas sumbu x sama dengan 1 yaitu P -
∞ x +∞ =
1 � 2�
−
1 2
−µ �
2
∞ −∞
= 1
Distribusi normal jika digambarkan dalam grafik maka: