Probabilitas Peubah Acak Variabel Random

harapan dalam jangka panjang, misalnya dari percobaan yang diulang berkali-kali. Nilai harapan variabel random X dilambangkan dengan EX. Definisi 2.6 Walpole dan Myers, 1995 Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang fx. Nilai harapan X adalah: � = . , . + ∞ −∞ , Sifat-sifat nilai harapan: Teorema 2.1 Walpole Myers, 1995: 113 Jika dan adalah konstanta, maka � + = � + 2.1 Bukti: Jika X diskrit: � + = + = + = + � + = � + bila X kontinu maka � + = + ∞ −∞ = ∞ −∞ + ∞ −∞ � + = aEX + b ▄ Teorema 2.2 Walpole Myers, 1995 Jika X dan Y adalah variabel random bebas, maka � = � � 2.2 Bila X diskrit Bukti: � = � � = , Karena X dan Y tidak saling bergantung maka probabilitas gabungannya adalah: , = sehingga � = = = � � ▄ bila X kontinu Bukti: � = , ∞ −∞ ∞ −∞ karena X dan Y bebas, maka dapat ditulis , = dengan dan menyatakan masing-masing distribusi X dan Y, maka � = , ∞ −∞ ∞ −∞ = ∞ −∞ ∞ −∞ = � � ▄ Teorema 2.3 Walpole Myers, 1995 Nilai harapan suatu konstanta adalah sama dengan konstanta itu sendiri, yaitu � = 2.3 Bukti: Akibat dari Teorema 2.1, jika = 0 maka � = = = � = bila kontinu � = ∞ −∞ = ∞ −∞ � = b ▄ Teorema 2.4 Walpole Myers, 1995 Jumlah nilai harapan atau selisih dua atau lebih fungsi suatu peubah acak X sama dengan jumlah atau selisih nilai harapan fungsi tersebut, yaitu � ± = � ± � 2.4 Bukti: Jika X diskrit maka � ± = ± = ± = � ± � Jika X kontinu maka � ± = ± ∞ −∞ = ∞ −∞ ± ∞ −∞ = � ± � ▄ Selain nilai harapan, variansi juga termasuk salah satu konsep yang berkaitan dengan variabel random. Definisi 2.7 Walpole Myers, 1995 Misalkan X peubah acak dengan distribusi peluang fx dan rataan . Variansi X adalah: � = � 2 = � − 2 = − 2 bila X diskrit � = � 2 = � − 2 = − 2 ∞ −∞ bila X kontinu Sifat-sifat Varians: Teorema 2.5 Walpole, 1995 Variansi variabel random X adalah: � 2 = � 2 − � 2 = � 2 − 2 2.5 Bukti: Berdasarkan Teorema 2.1 dan Definisi 2.7, maka � 2 = � − 2 = � 2 − 2 + 2 = � 2 − 2 � + 2 = � 2 − 2 2 + 2 = � 2 − 2 ▄ Teorema 2.6 Walpole, 1992 Jika a dan b adalah konstanta, maka + = 2 2.6 Bukti: Jika E = , maka � + = + . Oleh sebab itu, � + = � + − − 2 = � − 2 = 2 � − 2 = 2 ▄ Teorema 2.7 Walpole, 1995 Jika X dan Y adalah variabel random bebas, maka + = + 2.7 Bukti: Jika � = 1 dan � = 2 maka � + = 1 + 2 , oleh sebab itu Var X+Y = � + − 1 − 2 2 = � − 1 2 + − 2 2 + 2 − 1 − 2 = � + � + 2� − 1 − 2 Karena X dan Y bebas, maka � − 1 − 2 = � − 1 � − 2 = 1 − 1 2 − 2 = 0 Sehingga � + = � + � Definisi 2.8 Walpole dan Myers, 1995 Misalkan X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan fx,y. Kovariansi X dan Y adalah: bila X dan Y diskrit , = � − − = − − , bila X dan Y kontinu , = � − − = − − , ∞ −∞ ∞ −∞ Bila nilai X yang besar sering berkaitan dengan nilai Y yang besar atau nilai X yang kecil berkaitan dengan nilai Y yang kecil maka nilai − positif akan berkaitan dengan nilai − yang positif dan nilai negatif − akan berkaitan dengan nilai negatif − . Jadi − − cenderung positif. Jadi tanda kovariansi + atau - menunjukkan apakah hubungan antara dua variabel random yang berkaitan positif atau negarif. Kovarians bernilai positif jika rata-rata pada variabel random X dan Y bergerak dalam arah yang sama, dan bernilai negatif jika rata-rata variabel random X dan Y bergerak berlawanan arah. Bila X dan Y adalah bebas, maka kovariansnya nol. Distribusi normal termasuk dalam landasan teori karena berguna dalam pembahasan asumsi kenormalan pada regresi linier. Distribusi normal merupakan distribusi kontinu yang mensyaratkan variabel yang diukur harus kontinu . Probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi normal dari variabel acak kontinu ditunjukkan oleh daerah di bawah kurva normal. Pada suatu observasi, berapapun nilai rata-rata dan nilai standar deviasinya, luas seluruh daerah di bawah kurva normal adalah 1. Distribusi probabilitas normal untuk setiap nilai x yang membentuk kurva normal mempunyai persamaan umum: = 1 � 2� − 1 2 −µ � 2 µ = rata-rata populasi σ = simpangan baku populasi π = konstanta yang nilainya mendekati 3,14159 e = konstanta yang nilainya mendekati 2,7182 x = setiap nilai variabel acak kontinu yang besarnya - ∞ x +∞. Distribusi normal fx didefinisikan pada interval terbuka - ∞ x +∞. Distribusi normal dengan parameter µ dan σ 2 biasanya ditulis N µ , σ 2 . Dengan memperhatikan persamaan umum dan grafik distribusi normal fx, tampak bahwa bentuk kurva normal ditentukan oleh dua parameter, yaitu rata-rata µ dan simpangan baku σ. Bila nilai σ mengecil, bentuk kurva akan lebih rapat dan semakin runcing dan sebagian besar nilai x akan berkumpul atau mendekati rata- rata µ. Sebaliknya jika nilai σ semakin besar, bentuk kurva akan semakin besar, bentuk kurva akan semakin renggang dan tumpul dimana sebagian besar nilai- nilai x akan menjauhi nilai rata-rata µ. Sifat-sifat distribusi normal: a. Grafik simetri terhadap garis tegak x = µ b. Grafik selalu berada di atas sumbu x atau fx 0 c. Mempunyai 1 nilai modus d. Luas daerah di bawah kurva fx dan di atas sumbu x sama dengan 1 yaitu P - ∞ x +∞ = 1 � 2� − 1 2 −µ � 2 ∞ −∞ = 1 Distribusi normal jika digambarkan dalam grafik maka:

C. Matriks

Agar lebih mudah dalam penulisan dan pembahasan analisis regresi linier majemuk maka digunakanlah dasar-dasar aljabar matriks. Definisi 2.10 Gujarati, 2012 Matriks adalah kelompok bilangan real dan kompleks yang disusun dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang yang terdiri atas baris dan kolom. Matriks dapat dinotasikan dengan huruf kapital yang tercetak tebal, serta dalam penulisannya menggunakan kurung biasa atau kurung siku. Ordo matriks atau ukuran matriks merupakan banyaknya baris dan banyaknya kolom yang terdapat dalam matriks. Secara umum, matriks A yang berukuran × dituliskan: = = 11 12 … 1 21 22 … 2 1 1 … X � dimana adalah unsur yang muncul dalam baris ke I dan kolom ke j dari A dan adalah pernyataan secara ringkas untuk matriks A yang unsur khasnya adalah . Contoh 2.4 Beri contoh matriks A yang berukuran 3 x 4 Jawab: 3 4 = 11 13 22 25 4 7 12 34 8 18 9 17 Dalam penulisan ini, tipe-tipe matriks yang digunakan antara lain: a. Matriks persegi Matriks persegi merupakan matriks yang memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama. Contoh: = 1 3 4 2 = 1 5 7 3 8 9 11 4 66 b. Matriks diagonal Matriks diagonal merupakan matriks persegi dengan sekurang-kurangnya satu unsur tidak nol pada diagonal utama yaitu diagonal dari sudut atas kiri ke sudut kanan bawah dan nol untuk semua unsur lainnya. Contoh: = 13 2 = 1 8 66 c. Matriks skalar Matriks skalar adalah suatu matriks yang mempunyai ordo 1 × 1.. Contoh: = 32 d. Matriks identitas Matriks identitas merupakan matriks diagonal yang semua unsur diagonalnya adalah satu. Contoh: = 1 1 1 e. Matriks simetris Matriks simetris adalah suatu matriks persegi yang unsur-unsurnya di atas diagonal utama merupakan pencerminan dari unsur-unsur bawah diagonal utama. f. Matriks nol Matriks nol adalah suatu matriks yang semua unsurnya nol dan dinyatakan dengan 0. Dalam matriks juga terdapat operasi penjumlahan, pengurangan serta pembagian. Operasi matriks ini bermanfaat dalam mencari penaksir menggunakan OLS pada regresi linier majemuk.

1. Operasi penjumlahan dan pengurangan

Jika = dan = dua matriks yang mempunyai ordo yang sama × , maka jumlahnya didefinisikan sebagai matriks = berordo × , dengan setiap elemen C adalah jumlah elemen A dan B yang seletak. Sehingga + = + . Contoh: Jika = 1 2 3 1 4 dan = 2 3 −1 2 5 , maka tentukanlah + Jawab: + = 1 + 2 2 + 3 3 + 0 0 + −1 1 + 2 4 + 5 = 3 5 3 −1 3 9 .

2. Operasi Pengurangan

Misalkan = dan = dua matriks yang mempunyai ordo yang sama × , dapat didefinisikan pengurangan matriks = − dimana C adalah matriks yang berordo sama dengan A dan B, dan diperoleh sebagai = − untuk semua i dan j; yaitu C didapatkan dengan mengurangkan setiap elemen B dari elemen A yang seletak. Contoh: Jika diketahui matriks = 2 3 5 1 18 3 6 7 9 dan = 5 1 10 4 3 2 5 12 , maka − adalah? Jawab: − = 2 − 5 3 − 1 5 − 0 1 − 10 18 − 4 3 − 3 6 − 2 7 − 5 9 − 12 = −3 2 5 −9 14 4 2 −3

3. Operasi Perkalian a. Perkalian skalar

Jika sebuah matriks A dikalikan dengan suatu skal ar λ suatu bilangan real maka setiap elemen matrriks A dikalikan dengan λ, jadi = . Contoh: Misalkan matriks = 1 2 3 1 4 dan λ = 2, maka adalah? Jawab: = 2 1 2 3 1 4 = 2 4 6 2 8

b. Perkalian matriks

Misalkan A adalah matriks berordo × dan B berordo × , maka hasil kali AB didefinisikan sebagai suatu matriks C yang berordo × sedemikian rupa sehingga: = =1