Analisis Transformasi Box Cox Untuk Mengatasi Heteroskedastisitas Dalam Model Regresi Linier Sederhana.

ANALISIS TRANSFORMASI BOX COX UNTUK MENGATASI
HETEROSKEDASTISITAS DALAM MODEL
REGRESI LINIER SEDERHANA

SKRIPSI

DESRI KRISTINA S
070803055

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

ANALISIS TRANSFORMASI BOX COX UNTUK MENGATASI
HETEROSKEDASTISITAS DALAM MODEL REGRESI LINIER SEDERHANA

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

DESRI KRISTINA S
070803055

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

PERSETUJUAN

Judul

Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas

: ANALISIS TRANSFORMASI BOX COX UNTUK
MENGATASI HETEROSKEDASTISITAS DALAM
MODEL REGRESI LINIER SEDERHANA
: SKRIPSI
: DESRI KRISTINA S
: 070803055
: SARJANA (S1) MATEMATIKA
: MATEMATIKA
: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA
UTARA

Diluluskan di
Medan, Juni 2011

Komisi Pembimbing

:

Pembimbing 2

Pembimbing 1

Drs. Rachmad Sitepu, M.Si
NIP. 19530418 198703 1 001

Drs. Open Darnius, M.Sc
NIP.19641014 199103 1 004

Diketahui/ Disetujui oleh:
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,

Prof. Dr. Tulus, M.Si.
NIP.196210901 198803 1 002

Universitas Sumatera Utara

PERNYATAAN

ANALISIS TRANSFORMASI BOX COX UNTUK MENGATASI
HETEROSKEDASTISITAS DALAM MODEL REGRESI LINIER SEDERHANA

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan,

Juni 2011

DESRI KRISTINA S
070803055

Universitas Sumatera Utara

PENGHARGAAN

Segala hormat dan pujian syukur hanya kepada Tuhan Yang Maha Kuasa karena
kasihNya yang sungguh besar yang senantiasa memberi pertolongan dan kekuatan,
tuntunan bagi penulis untuk mengerjakan skripsi ini sampai waktu yang telah
ditetapkan.
Dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih kepada Drs. Open
Darnius, M.Sc dan Drs. Rachmad Sitepu, M.Si sebagai dosen pembimbing yang telah
memberikan hati dan waktunya untuk mengarahkan dan memberikan masukan kepada
penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih
kepada Drs. Pangarapen Bangun, M.Si dan Drs. Ujian Sinulingga, M.Si selaku Dosen
penguji yang juga membantu penulis selama pengerjaan skripsi ini. Ucapan
terimakasih juga penulis tujukan kepada Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA
USU, Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU yaitu Prof. Dr.
Tulus, M.Si dan Dra. Mardiningsih, M.Si dan kepada Bapak Ibu dosen beserta semua
Staf Administrasi di FMIPA USU.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada kedua orang tua tercinta Bapak
M.Silalahi dan Ibu L.br.Situmorang atas semua dukungan dalam doa, motivasi, kasih
sayang, serta semua dukungan materil dan moril yang membantu penulis dalam
menyelesaikan skripsi ini. Juga kepada adik-adik yang saya kasihi Marno, Luri,
Wenny dan Mario. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada sahabat – sahabat
yang telah mendukung saya, terkhusus buat KTB Florence (K’Tiur, Dewi, Anita, Riris
dan Rolina) dan adik – adik tercinta KK Evangelium. Terima kasih atas semua doa
dan dukungannya. Tak lupa juga penulis mengucapkan terima kasih kepada semuanya
teman-teman di Math’07 (tidak muat jika disebutkan namanya satu per satu) atas
kebersamaan kita selama ini, atas doa dan saling mendukung diantara kita. Semangat
dan doa dari teman-teman juga sangat membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi
ini. Terimakasih juga buat teman-teman kost 24, juga teman-teman penulis di Sibolga
serta keluarga tulang di Helvetia, keluarga Namboru di Sidikalang atas kebaikan, doa
dan kasihnya.
Akhir kata penulis mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang belum
disebutkan namanya yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini,
biarlah kasih karunia Tuhan Yang Maha Esa yang menyertai kita semua. Semoga
tulisan ini bermanfaat bagi yang membacanya. Terima kasih.

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK

Analisis regresi adalah salah satu teknik statistika yang digunakan untuk menentukan
model hubungan satu variabel respon (Y) dengan satu atau lebih variabel bebas (X),
yang umumnya dinyatakan dalam persamaan matematik. Dalam statistika sebuah
model regresi dapat diperoleh dengan melakukan pendugaan terhadap parameter parameternya dengan menggunakan metode tertentu, salah satunya dengan Metode
Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Methods). Model regresi yang
diperoleh dikatakan baik atau cocok, jika dipenuhi asumsi-asumsi ideal (klasik). Salah
satu asumsi regresi linier yang harus dipenuhi adalah homogenitas varians (varian dari
error bersifat konstan) yang disebut juga asumsi homoskedastisitas. Kebalikannya,
jika ternyata varian dari kesalahan pengganggu tidak konstan misalnya membesar
atau mengecil pada nilai X yang lebih tinggi, maka kondisi tersebut dikatakan
mengalami heteroskedastisitas atau dituliskan dengan:
ar
, , ,
. Pada model regresi bila semua asumsi klasik dipenuhi, kecuali satu yaitu
terjadi heteroskedastisitas, maka estimator yang diperoleh masih tetap tak bias dan
konsisten, tetapi tidak efisien (varians membesar). Salah satu cara untuk mengatasi
heteroskedastisitas dalam model regresi yaitu dengan Transformasi Box Cox.
Transformasi Box Cox yaitu melakukan transformasi terhadap variabel respon Y yang
dipangkatkankan dengan parameter , sehingga menjadi
dan penduga parameter
yang diperoleh berada dikisaran (-2,2).

Universitas Sumatera Utara

ANALYSIS OF BOX COX TRANSFORMATION TO OVERCOME
HETEROSCEDASTICITY IN SIMPLE LINEAR REGRESSION MODEL

ABSTRACT

Regression analysis is one of statistic technics that used to determine the relation
model of one respon variable (Y) with one or more independent variable (X), what is
generally expressed in equation mathematic. In statistic, a regression model is
obtained by estimate of its parameter by using certain method, one of them is with the
Maximum Likelihood Methods. Regression model that obtained to be told is good or
fit, if fulfilled by the ideal assumption (classic). One of linear regression assumption
which must be fulfilled is homogeneity varian (variant from error have the character
of constant) so called also homoscedasticity. On the contrary, in reality if varian from
error is not constant for example big or minimize higher at value X, so the condition
told to heteroscedasticity or written down by: ar
, , ,
. In
regression model if all classic assumption were fulfilled, except one of them was the
heteroscedasticity, so estimator that obtained still unbiased and consistent, but
inefficient (big varian). One of way to overcome the heteroscedasticity in regression
model is by Box Cox Transformation. Box Cox Transformation that is do the
transformation to respon variable Y which be ranked with the parameter , so that
become
and estimator of parameter that obtained residing in gyration (-2,2).

Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI

Halaman
Persetujuan
Pernyataan
Penghargaan
Abstrak
Abstract
Daftar Isi
Daftar Tabel
Daftar Gambar

ii
iii
iv
v
vi
vii
ix
x

Bab 1 Pendahuluan
1.1 Latar Belakang
1.2 Identifikasi Masalah
1.3 Batasan Masalah
1.4 Tinjauan Pustaka
1.5 Tujuan Penelitian
1.6 Manfaat Penelitian
1.7 Metode Penelitian

1
3
3
3
5
5
6

Bab 2 Landasan Teori
2.1 Regresi Linier Sederhana
2.2 Estimasi Parameter
2.2.1 Pengertian Estimasi Parameter dan Estimator
2.2.2 Sifat – Sifat Estimator
2.2.3 Jenis – Jenis Pendugaan
2.3 Metode Kemungkinan Maksimum
2.3.1 Maksimum Likelihood dalam Regresi Linier Sederhana
2.4 Heteroskedastisitas
2.4.1 Pengertian Heteroskedastisitas
2.4.2 Konsekuensi atau Akibat Adanya Heteroskedastisitas
2.4.3 Pengujian Heteroskedastisitas
2.5 Transformasi Box Cox
2.5.1 Pendugaan Parameter Transformasi Box Cox
2.5.2 Selang Kepercayaan Parameter Pada Transformasi Box Cox
2.6 Pengujian Model Regresi

7
9
9
9
11
11
12
15
15
17
21
23
24
26
27

Bab 3 Pembahasan

29

Bab 4 Kesimpulan Dan Saran
4.1 Kesimpulan
4.2 Saran

35
35
35

Universitas Sumatera Utara

Halaman
Daftar Pustaka

36

Lampiran

38

Universitas Sumatera Utara

DAFTAR TABEL

Halaman
Tabel 2.1 Nilai dan Model Transformasinya
Tabel 3.1 Hasil pengujian Heteroskedastisitas dan Analisis Transformasi
Box Cox Pada Model Regresi Linier Sederhana
Tabel 3.2 Hasil Analisis Dalam Model Penentuan Regresi Linier Sederhana
Setelah Variabel Respon Ditransformasikan Sesuai dengan Model
Transformasi Box Cox

25
32

33

Universitas Sumatera Utara

DAFTAR GAMBAR

Halaman
Gambar 2.1 Asumsi Homoskedastisitas
Gambar 2.2 Asumsi Heteroskedastisitas

16
16

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK

Analisis regresi adalah salah satu teknik statistika yang digunakan untuk menentukan
model hubungan satu variabel respon (Y) dengan satu atau lebih variabel bebas (X),
yang umumnya dinyatakan dalam persamaan matematik. Dalam statistika sebuah
model regresi dapat diperoleh dengan melakukan pendugaan terhadap parameter parameternya dengan menggunakan metode tertentu, salah satunya dengan Metode
Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Methods). Model regresi yang
diperoleh dikatakan baik atau cocok, jika dipenuhi asumsi-asumsi ideal (klasik). Salah
satu asumsi regresi linier yang harus dipenuhi adalah homogenitas varians (varian dari
error bersifat konstan) yang disebut juga asumsi homoskedastisitas. Kebalikannya,
jika ternyata varian dari kesalahan pengganggu tidak konstan misalnya membesar
atau mengecil pada nilai X yang lebih tinggi, maka kondisi tersebut dikatakan
mengalami heteroskedastisitas atau dituliskan dengan:
ar
, , ,
. Pada model regresi bila semua asumsi klasik dipenuhi, kecuali satu yaitu
terjadi heteroskedastisitas, maka estimator yang diperoleh masih tetap tak bias dan
konsisten, tetapi tidak efisien (varians membesar). Salah satu cara untuk mengatasi
heteroskedastisitas dalam model regresi yaitu dengan Transformasi Box Cox.
Transformasi Box Cox yaitu melakukan transformasi terhadap variabel respon Y yang
dipangkatkankan dengan parameter , sehingga menjadi
dan penduga parameter
yang diperoleh berada dikisaran (-2,2).

Universitas Sumatera Utara

ANALYSIS OF BOX COX TRANSFORMATION TO OVERCOME
HETEROSCEDASTICITY IN SIMPLE LINEAR REGRESSION MODEL

ABSTRACT

Regression analysis is one of statistic technics that used to determine the relation
model of one respon variable (Y) with one or more independent variable (X), what is
generally expressed in equation mathematic. In statistic, a regression model is
obtained by estimate of its parameter by using certain method, one of them is with the
Maximum Likelihood Methods. Regression model that obtained to be told is good or
fit, if fulfilled by the ideal assumption (classic). One of linear regression assumption
which must be fulfilled is homogeneity varian (variant from error have the character
of constant) so called also homoscedasticity. On the contrary, in reality if varian from
error is not constant for example big or minimize higher at value X, so the condition
told to heteroscedasticity or written down by: ar
, , ,
. In
regression model if all classic assumption were fulfilled, except one of them was the
heteroscedasticity, so estimator that obtained still unbiased and consistent, but
inefficient (big varian). One of way to overcome the heteroscedasticity in regression
model is by Box Cox Transformation. Box Cox Transformation that is do the
transformation to respon variable Y which be ranked with the parameter , so that
become
and estimator of parameter that obtained residing in gyration (-2,2).

Universitas Sumatera Utara

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang

Analisis Regresi adalah analisis statistik yang mempelajari bagaimana memodelkan
sebuah model fungsional dari data untuk dapat menjelaskan ataupun meramalkan
suatu fenomena alami atas dasar fenomena lain. Analisis regresi juga merupakan salah
satu teknik statistika yang digunakan secara luas dalam ilmu pengetahuan terapan
dalam bidang sosial maupun eksakta.

Gujarati (2006) mendefenisikan analisis regresi sebagai kajian terhadap
hubungan satu variabel yang disebut sebagai variabel yang diterangkan (variabel tidak
bebas) dengan satu atau lebih variabel yang menerangkan (variabel bebas). Melalui
analisis regresi ini, model hubungan antar variabel dapat diketahui. Selain itu, analisis
regresi juga dapat dipergunakan sebagai peramalan. Model regresi linear sederhana
dapat dinyatakan sebagai berikut:
(1)
dengan:
Y adalah variabel tidak bebas;
adalah variabel bebas, dengan i = 1, 2, 3, ... , n;
dan

adalah parameter – parameter yang tidak diketahui;

adalah error (kesalahan penggangu).

Universitas Sumatera Utara

Model regresi linear sederhana tersebut dapat ditulis dengan menggunakan
persamaan matriks yaitu:

,

,

,

dan

dengan:
Y adalah vektor kolom berukuran
X adalah matriks berukuran
adalah vektor kolom berukuran

(n baris dan 1 kolom)
(n baris 2 kolom)
(2 baris dan 1 kolom)

adalah vektor kolom berukuran

dan

adalah parameter yang akan diduga dalam model regresi linier

sederhana. Pendugaan parameter tersebut baik dengan menggunakan Metode Kuadrat
Terkecil (Ordinary Least Square) maupun dengan Metode Kemungkinan Maksimum
(Maximum Likelihood Methods) harus memenuhi asumsi – asumsi model ideal

tertentu terhadap error . Salah satu asumsi yang penting dan harus dipenuhi adalah
asumsi homoskedastisitas atau disebut juga asumsi kehomogenan varian. Apabila
asumsi homoskedastisitas tidak dipenuhi, berarti varian dari setiap kesalahan
pengganggu

untuk variabel bebas yang diketahui tidak sama, sehingga keadaan ini

disebut heteroskedastisitas (keheterogenan ragam).

Dalam model regresi linier terdapat beberapa cara dalam mengatasi masalah
heteroskedastisitas. Menurut Greene (2004) untuk mengatasi heteroskedastisitas dapat
dilakukan dengan Metode Kuadrat Terkecil Tertimbang (Weighted Least Square),
penaksirannya melalui pembobotan yang juga dapat dikatakan kuadrat terkecil yang
diberlakukan secara umum atau disebut Kuadrat Terkecil Umum (General Least
Square). Selain itu, heteroskedastisitas juga dapat diatasi dengan mentransformasikan

variabel - variabelnya, baik variabel bebas, variabel tidak bebas maupun keduanya.
Dalam tulisan ini akan diuraikan bahwa Transformasi Box Cox dapat mengatasi

Universitas Sumatera Utara

masalah heteroskedastisitas karena mengingat salah satu tujuan dari transformasi Box
Cox adalah menghomogenkan varian.

1.2

Identifikasi Masalah

Heteroskedastisitas merupakan salah satu faktor yang menyebabkan model regresi
linier sederhana tidak efisien dan akurat, juga mengakibatkan penggunaan metode
kemungkinan maksimum dalam mengestimasi parameter (koefisien) regresi akan
terganggu. Masalah heteroskedastisitas harus diatasi, salah satunya dengan
Transformasi Box Cox yaitu transformasi pangkat berparameter tunggal

terhadap

variabel tidak bebas Y yang kisarannya pada interval (-2,2). Sehingga, dalam
penelitian ini akan menunjukkan secara simulasi bahwa parameter

pada

Transformasi Box Cox berada di kisaran (-2,2).

1.3

Batasan Masalah

Agar penyelesaian masalah tidak menyimpang dari pembahasan, maka dibuat
pembatasan masalah yaitu dengan menganggap bahwa model analisis regresinya tetap
memenuhi asumsi – asumsi klasik lainnya kecuali asumsi homoskedastisitas tidak
terpenuhi.

1.4

Tinjauan Pustaka

Kutner, M.H, Wassamen.W dan Neter J (1990) mengatakan bahwa bentuk fungsi
dari peluang distribusi dengan adanya istilah kesalahan pengganggu (error) yang
ditetapkan serta estimator dari parameter – parameter
dengan

dan

dan

yang dinotasikan

dapat diperoleh dengan menggunakan Metode Kemungkinan

Maksimum (Maximum Likelihood Methods). Metode ini menggunakan distribusi
gabungan dari sampel pengamatannya. Ketika gabungan distribusi ditunjukkan
sebagai fungsi dari parameternya, yang diberi dengan sampel pengamatan tertentu,

Universitas Sumatera Utara

inilah yang disebut sebagai fungsi kemungkinannya. Dengan memaksimumkan fungsi
kemungkinannya maka akan diperoleh estimator dari parameter – parameternya.
Supranto J (2004) mengatakan bahwa heteroskesdastisitas merupakan salah satu
pelanggaran terhadap salah satu asumsi model ideal tertentu terhadap galat

yang

diberlakukan dalam analisis regresi yaitu asumsi homoskedastisitas yang menyatakan
bahwa varian kesalahan pengganggu

pada setiap variabel bebas adalah sama

(konstan). Heteroskedastisitas adalah keadaan bahwa varian kesalahan pengganggu
tidak bersifat konstan atau disimbolkan dengan

ar

.

Gasperz,

Vincent

(1991)

mengatakan

bahwa

heteroskedastisitas

dapat

mengakibatkan pendugaan parameternya tidak efisien sehingga tidak mempunyai
ragam minimum. Karena pendugaan parameter dianggap efisien karena memiliki
ragam yang minimum, sehingga ragam galat

bersifat konstan atau disebut juga

bahwa asumsi homoskedastisitas terpenuhi. Salah satu usaha untuk mengatasi
heteroskedastisitas ini dapat dilakukan dengan mentransformasikan variabel –
variabelnya, baik variabel bebas, variabel tidak bebas maupun keduanya agar asumsi
homoskedastisitas terpenuhi.

Box, G. E. P. Dan D. R. Cox (1964) mengatakan bahwa Transformasi Box Cox
adalah transformasi yang mempertimbangkan kelas transformasi berparameter tunggal
yaitu

yang dipangkatkan pada variabel respon (variabel tidak bebas) Y yang

bertanda positif

, sehingga transformasinya menjadi

.

Dalam analisis

regresi apabila kenormalan data, kehomogenen ragam dan linieritas tak dipenuhi,
maka dapat dilakukan transformasi terhadap variabel responnya sesuai dengan
prosedur Transformasi Box Cox. Salah satu cara untuk mengatasi ketidakhomogenan
ragam yaitu dengan Transformasi Box Cox.

Drapper, N dan Smith, H (1992) mengatakan bahwa Transformasi Box Cox
diberlakukan kepada variabel respon, Y, yang harus bertanda positif, dinyatakan
dalam transformasi kuasa dengan persamaan berikut:

Universitas Sumatera Utara

ln

jika

0

jika

0

Famili transformasi kontinu ini bergantung pada satu parameter

yang akan diduga.

Salah satu metode pendugaan (penaksiran) yang dapat digunakan ialah dengan
menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum. Cara penaksiran agak berbeda
dengan cara penaksiran yang biasa dilakukan, yaitu dengan menentukan nilai

pada

kisaran tertentu

1.5 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah menggunakan prosedur

Transformasi Box Cox

untuk mengatasi masalah heteroskedastisitas antara variabel – variabel bebas,
sehingga diperoleh persamaan regresi linier sederhana yang lebih baik.

1.6

Manfaat Penelitian

Regresi adalah salah satu metode yang digunakan untuk menaksir suatu peubah tak
bebas dengan memperhatikan faktor – faktor penyebabnya. Dari penulisan ini, penulis
berharap dapat memberikan suatu solusi alternatif bagi pengguna analisis regresi linier
sederhana dalam masalah heteroskedastisitas yang terdapat pada data, sehingga model
regresi tersebut dapat diatasi dan menjadi model regresi yang benar.

Universitas Sumatera Utara

1.7

Metode Penelitian

Data yang digunakan untuk analisis ini adalah data simulasi. Data simulasi terdiri dari
dua variabel yaitu variabel bebas (X) dan variabel tak bebas (Y). Data simulasi yang
akan dianalisis merupakan data random yang dibangkitkan berdasarkan distribusi
yang telah ditentukan yaitu berdistribusi normal dengan menggunakan program
Minitab 16. Langkah – langkah yang digunakan untuk menganalisis data tersebut
adalah:
1.

Mengitung estimator

dan

dan membentuk model analisis regresi sederhana

dari data tersebut.
2.

Mendeteksi keberadaan heteroskedastisitas berdasarkan prosedur pada Uji
Korelasi Rank dari Spearmen yang digunakan.

3.

Menduga parameter

pada Transformasi Box Cox dengan menggunakan Metode

Kemungkinan Maksimum. Dalam tulisan ini digunakan Program Minitab 16
dengan menjalankan perintah atau rangkaian perintah (command) yang
membentuk suatu fungsi tertentu dalam Minitab yang disebut dengan Macro
Minitab. Dengan menjalankan command tersebut akan diperoleh penduga

dan

selang kepercayaan .
4.

Menentukan model transformasinya sesuai dengan pendugaan parameter

yang

telah didapat.
5.

Mentransformasikan data menurut model transformasinya dan membentuk model
analisis regresi.

6.

Menguji signifikansi dari model regresi tersebut dan juga dilakukan pengujian
heteroskedastisitasnya.

Universitas Sumatera Utara

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1

Regresi Linier Sederhana

Dalam beberapa masalah terdapat dua atau lebih variabel yang hubungannya tidak
dapat dipisahkan karena perubahan nilai suatu variabel tidak selalu terjadi dengan
sendirinya, namun perubahan nilai variabel itu dapat pula disebabkan oleh berubahnya
variabel lain yang berhubungan dengan variabel tersebut. Hal tersebut biasanya
diselidiki sifat hubungannya yaitu dengan mengetahui pola nilai suatu variabel yang
disebabkan oleh variabel lain diperlukan alat analisis yang dapat membuat perkiraan
nilai variabel tersebut pada nilai tertentu variabel yang mempengaruhinya.

Teknik yang umum digunakan untuk menganalisis hubungan antara dua atau
lebih variabel dalam ilmu statistik adalah dengan analisis regresi. Analisis regresi
adalah teknik statistik yang berguna untuk memeriksa dan memodelkan hubungan
diantara variabel-variabel. Analisis regresi berguna untuk menelaah pola dan
mengukur hubungan statistika antara dua atau lebih variabel yang modelnya belum
diketahui dengan sempurna.

Persamaan matematik yang digunakan untuk melakukan peramalan mengenai
nilai – nilai suatu variabel tak bebas dari satu atau lebih variabel bebas disebut
persamaan regresi. Istilah regresi pertama kali diperkenalkan oleh Sir Francis Galton

Universitas Sumatera Utara

(1822 – 1911) yang berasal dari hasil pengamatan yang dilakukan terhadap manusia
yaitu membandingkan tinggi badan anak laki – laki dengan tinggi badan ayahnya.
Galton menyatakan bahwa tinggi badan anak laki – laki dari badan yang tinggi
pada beberapa generasi kemudian cenderung “mundur” (regressed) mendekati rata –
rata populasi. Dengan kata lain, anak laki – laki dari ayahnya yang mempunyai
badannya sangat tinggi cenderung lebih pendek dari ayahnya. Sedangkan anak laki –
laki dari ayah yang mempunyai badan sangat pendek cenderung lebih tinggi dari
ayahnya. Dari hasil penelitian ini istilah regresi pada mulanya bertujuan untuk
membuat perkiraan nilai suatu variabel (tinggi badan anak) terhadap suatu variabel
lain (tinggi badan ayah).

Pada perkembangan selanjutnya analisis regresi dapat digunakan sebagai alat
untuk membuat perkiraan ataupun peramalan nilai suatu variabel dengan
menggunakan variabel lain yang berhubungan dengan variabel tersebut. Dalam
analisis regresi, dikenal dua jenis variabel yaitu :
1.

Variabel Respon disebut juga variabel dependent yaitu variabel yang tidak bebas
yaitu keberadaannya dipengaruhi oleh variabel lainnya dan dinotasikan dengan Y.

2.

Variabel Prediktor disebut juga variabel independent yaitu variabel yang bebas
(tidak dipengaruhi oleh variabel lainnya) dan dinotasikan dengan X.

Analisis regresi yang melibatkan hubungan antara satu variabel respon (tidak
bebas) dengan satu variabel prediktor (bebas) diistilahkan dengan regresi linier
sederhana, dengan model persamaan:
(2.1)

Dimana intercept
sedangkan

dan slope

merupakan parameter yang tidak diketahui nilainya,

adalah error random dengan rata – rata nol dan varians

.

Misalkan ada n pasangan observasi, katakan
dengan y merupakan variabel tidak bebasnya atau variabel respon yang berhubungan
dengan n variabel bebas diukur dengan errornya dapat diabaikan sehingga nilai
harapan y untuk masing – masing x adalah:

Universitas Sumatera Utara

(2.2)

Tujuan utama dari analisis regresi adalah mendapatkan dugaan (estimation)
dari suatu variabel dengan menggunakan variabel lain yang diketahui.

2.2

Estimasi Parameter

2.2.1

Pengertian Estimasi Parameter dan Estimator

Estimasi (pendugaan) merupakan proses yang menggunakan sampel statistik untuk

menduga atau menaksir hubungan parameter populasi yang tidak diketahui.
Pendugaan merupakan suatu pernyataan mengenai parameter populasi yang diketahui
berdasarkan informasi dari sampel, dalam hal ini sampel random, yang diambil dari
populasi yang bersangkutan. Jadi dengan pendugaan ini, keadaan parameter populasi
dapat diketahui (Hasan 2002).

Menurut Hasan (2002), estimator adalah suatu statistik (harga sampel) yang
digunakan untuk menduga suatu parameter. Dengan penduga, dapat diketahui
seberapa jauh suatu parameter populasi yang tidak diketahui berada di sekitar sampel
(statistik sampel). Besaran sebagai hasil penerapan penduga terhadap data dari sesuatu
contoh disebut nilai duga (estimate). Secara umum, parameter diberi lambang

dan

penduganya diberi lambang .

2.2.2

Sifat – Sifat Estimator

Estimator yang diperoleh dalam mengestimasi parameter – parameter dikatakan
sebagai estimator yang baik apabila mempunyai sifat atau ciri – ciri sebagai berikut:

Universitas Sumatera Utara

1.

Estimator yang tidak bias

Estimator yang tidak bias apabila dapat menghasilkan estimasi yang mengandung nilai
parameter yang diestimasikan. Misalkan, estimator
bias jika rata – rata semua harga
dituliskan

2.

dikatakan estimator yang tidak

yang mungkin akan sama dengan , atau dapat

.

Estimator yang efisien

Estimator dikatakan efisien bagi parameternya apabila estimator tersebut memiliki
varians minimum. Apabila terdapat lebih dari satu penduga, penduga yang efisien
adalah penduga yang memiliki varians terkecil. Dua buah penduga dapat
dibandingkan dengan efisiensi relatif. Misalkan
estimator untuk , dimana varians penduga
maka

3.

dan

adalah sebagai dua

lebih kecil dibandingkan varians

relatif lebih efisien dibandingkan dengan

,

.

Estimator yang konsisten

Estimator dikatakan konsisten apabila nilai penduga
parameter

cenderung mendekati nilai

untuk n (jumlah sampel) yang semakin besar mendekati tak hingga. Jadi,

ukuran sampel yang besar cenderung memberikan penduga titik yang lebih baik
dibandingkan ukuran sampel kecil.

Dalam analisis regresi, diperlukan suatu model yang digunakan untuk
mengetahui hubungan antara variabel tidak bebas (respon) dengan satu atau lebih
variabel bebas (prediktor) dan untuk melakukan peramalan terhadap variabel respon.
Model regresi dapat diperoleh dengan melakukan pendugaan terhadap parameter parameternya dengan menggunakan metode tertentu. Metode yang dapat digunakan
mengestimasi parameter model regresi, khususnya parameter model regresi linier
yaitu dengan Metode Kuadrat Terkecil (Ordinary Least Square) dan Metode
Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Methods), (Kutner et.all, 1990).

Universitas Sumatera Utara

2.3

Metode Kemungkinan Maksimum

Salah satu cara untuk mendapatkan estimator yang baik adalah dengan menggunakan
Metode

Kemungkinan

Maksimum

(Maximum

Likelihood

yang

Methods)

diperkenalkan oleh R. A. Fisher (1890 – 1962). Maksimum likelihood ini adalah
metode

yang

digunakan

untuk

menduga

parameter



parameter

dengan

memaksimumkan fungsi kemungkinannya yang dibentuk dari gabungan distribusi
pengamatan.

Misalkan X adalah variabel random berukuran n pengamatan dengan
maka fungsi kemungkinannya adalah:

(2.3)

Penduga kemungkinan dengan Metode Kemungkinan Maksimum dari
parameter tunggal
kemungkinan

adalah sebuah nilai

yang memaksimumkan fungsi

. Apabila variabel random dari populasi yang berdistribusi
, maka fungsi kemungkinannya didefinisikan sebagai berikut:

(

Jika fungsi kemungkinannya diturunkan terhadap
penyelesaian

atau

estimasi

parameter



)

, maka akan diperoleh

parameter

dengan

memaksimumkan persamaan (2.4) dan menyamakan dengan nol, diperoleh:
(

)

Universitas Sumatera Utara

Untuk lebih jelasnya, misalkan peubah acak X tersebut tersebar normal dengan
nilai tengah

dan varians

, dimana

dan

tidak diketahui sehingga fungsi

kemungkinannya adalah:
(

)

Tujuan utama dari analisis regresi adalah mendapatkan dugaan (estimation)
dari suatu variabel dengan menggunakan variabel lain yang diketahui.

2.3.1 Maksimum Likelihood dalam Regresi Linier Sederhana

Maksimum Likelihood adalah metode yang dapat digunakan untuk mengestimasi
suatu parameter dalam regresi.

Dalam model regresi linear sederhana, berdasarkan data
diasumsikan bahwa galat

dalam model regresi berdistribusi

dengan pengamatan – pengamatan
independen, dengan mean

dalam percobaan berdistribusi normal dan
dan variansnya

. Maka fungsi kemungkinan

nilai pertama Y adalah:
(2.7)

Kemudian kemungkinan nilai kedua Y sama dengan persamaan (2.7), kecuali angka
satu diganti dengan dua dan seterusnya untuk semua nilai Y amatan lainnya.

Untuk nilai Y bebas dengan mengalikan semua kemungkinan bersama, maka
fungsi probabilitas bersamanya adalah:

(
Dengan

menyatakan hasil kali n kemungkinan bersama untuk setiap nilai

)
i

yang

Universitas Sumatera Utara

penggunaannya dikenal untuk eksponensial, sehingga persamaan (2.8) dapat
diperlihatkan dengan penjumlahan eksponensial yaitu:

(

Mengingat

yang diberikan dipertimbangkan untuk berbagai nilai

)

dan

,

sehingga fungsi likelihoodnya yaitu:

(

0)

Estimator fungsi kemungkinan maksimum untuk parameter – parameter
dan

dinotasikan dengan

dan

diperoleh dengan memaksimumkan L,

sehingga:
(
ln maksimum bila

)

minimum, ini merupakan jumlah kuadrat error

Dengan mendifferensialkan fungsi kemungkinannya terhadap setiap parameter
dan estimator

harus memenuhi:

Penyelesaian dari persamaan tersebut adalah:
(2.12)
(

)

Universitas Sumatera Utara

dan

adalah estimator untuk intercept (titik potong) dan slope (kemiringan).

Sehingga diperoleh estimator model regresi linier sederhananya adalah:
(2.14)

Selain estimator

dan

, menurut Kutner, M.H (1990) estimasi

juga

dibutuhkan dalam uji hipotesis dan pembentukan estimasi yang berhubungan dengan
model regresi. Dengan mendifferensialkan fungsi kemungkinannya terhadap
parameter

dan estimator

juga harus memenuhi:

Maka, penyelesaian dari persamaan tersebut adalah:

Dengan

(

)

(

)

adalah standard error regresi atau dapat juga dituliskan:

SSE (Sum Square of Error) adalah jumlah kuadrat residual dan penduga ini bias .

Jumlah kuadrat residual mempunyai derajat kebebasan
derajat kebebasan adalah gabungan dari estimasi
pembentukan

Sehingga estimator tak bias dari

dan

, karena dua
yang terlibat dalam

adalah :
(

7

Pendugaan (estimasi) yang dilakukan dengan Metode Kemungkinan
Maksimum untuk memperoleh estimatornya, tentu saja tidak lepas dari kesalahan
(error) baik itu sedikit maupun banyak. Namun dengan metode kemungkinan
maksimum, kesalahan penduga dijamin yang terkecil karena estimasi dengan metode
ini akan meminimumkan jumlah kudrat errornya dengan ketentuan memenuhi beberapa
asumsi. Asumsi – asumsi tersebut biasanya disebut dengan asumsi klasik regresi linier.

Universitas Sumatera Utara

Dengan demikian dalam melakukan analisis regresi diberlakukan asumsi –

asumsi model ideal tertentu terhadap galat , yaitu:
1.

Nilai rata – rata kesalahan pengganggu nol, yaitu:

, untuk

.
adalah konstan untuk semua kesalahan pengganggu

2.

(asumsi homoskedastisitas).
3.

Tidak

ada

korelasi

serial

berarti kovarian
4.

antara

pengganggu

,

.

Peubah bebas

konstan dalam sampling yang terulang dan bebas

terhadap kesalahan pengganggu
5.

(autocorrelation)

.

Tidak ada multikolinearitas antar variabel bebas X.

2.4

2.4.1

Heteroskedastisitas

Pengertian Heteroskedastisitas

Salah satu asumsi penting dari model regresi linear klasik adalah varian error

pada

setiap nilai – nilai variabel bebas adalah sama (konstan), asumsi ini disebut juga
sebagai asumsi homoskedastisitas atau homogenitas varian yang disimbolkan dengan:
, ,
Apabila asumsi ini tidak dipenuhi dalam analisis regresi linier, maka didapatkan
keadaan bahwa varian tidak bersifat konstan. Keadaan ini disebut mengalami
heteroskedastisitas atau disimbolkan dengan:
, , ,

Secara diagram dalam regresi dua variabel, homoskedastisitas dapat
ditunjukkan pada Gambar (2.1) yang menunjukkan bahwa varian setiap rerata nolnya
tidak tergantung pada pada nilai variabel bebas. Jika varian dari

masih sama pada

Universitas Sumatera Utara

setiap titik atau untuk seluruh nilai X (variabel bebas) yang kecil maupun besar, maka
pola tertentu akan terbentuk bila sebaran Y diplot dengan sebaran X. Bila
digambarkan dalam tiga dimensi, polanya akan mendekati pola pada Gambar (2.1).

Densitas

Y

...

X
Gambar 2.1. Asumsi Homoskedastisitas

Sebaliknya, Gambar (2.2) menunjukkan varian kondisional dari
dengan naiknya X atau dikatakan bahwa varian dari

yaitu

naik

pada setiap variabel bebas X

tidak sama (tidak konstan).

Densitas

Y

...

X
Gambar 2.2. Asumsi Heteroskedastisitas

Universitas Sumatera Utara

2.4.2

Konsekuensi Atau Akibat Adanya Heteroskedastisitas

Dalam kenyataannya, asumsi homoskedastisitas dari kesalahan pengganggu
mungkin tidak bisa dipenuhi, dengan kata lain varian dari kesalahan pengganggu
bersifat heteroskedastisitas, yaitu

. Hal ini dapat dipahami jika

diperhitungkan faktor – faktor yang menjadi penyebab adanya kesalahan pengganggu
dalam model regresi. Faktor kesalahan pengganggu

dimasukkan ke dalam model

untuk dapat memperhitungkan kesalahan – kesalahan yang mungkin terjadi dalam
pengukuran dan kesalahan karena mengabaikan variabel – variabel tertentu. Dengan
memperhatikan kedua perhitungan itu, maka terdapat alasan untuk memperkirakan
bahwa varian

bervariasi secara sistematis dengan variabel bebas X.

Konsekuensi dari pelanggaran asumsi homoskedastisitas adalah sebagai
berikut:
1.

Penduga (estimator) yang diperoleh tetap memenuhi persyaratan tidak bias.
Diberikan estimator
Anggaplah bahwa:
Sehingga:

Dengan diketahui bahwa:

dan

Universitas Sumatera Utara

Dengan demikian:

Sehingga diperoleh:

Demikian juga untuk estimator parameter

(

)

(

)

yaitu

Diberikan estimator

Dengan mensubsitusikan

ke dalam persamaan (2.19), maka:

Sehingga akan diperoleh:

(2.20)

Dapat disimpulkan bahwa sifat ketidakbiasan tidak tergantung pada varian galat.
Jika dalam model regresi ada heteroskedastisitas, maka kita tetap memperoleh
nilai parameter yang tidak bias karena sebagai penduga tidak bias tidak
memerlukan asumsi bahwa varian galat harus konstan.
2.

Varian penduga yang diperoleh akan menjadi tidak efisien, artinya penduga
tersebut tidak memiliki varian terkecil diantara penduga – penduga tidak bias
lainnya.

Universitas Sumatera Utara

Dengan asumsi adanya homoskedastisitas, maka:
ar

i j

, dan

Karena
Sehingga diperoleh:

var

(

)

(

)

Apabila dengan adanya asumsi heteroskedastisitas maka:

var

Walaupun

dikatakan adalah unbiased, tetapi tidak efisien karena varian – variannya

lebih besar daripada yang diperlukan. Untuk melihat penggunaan persamaan (2.21)
dan (2.22), diuraikan sebagai berikut:

Universitas Sumatera Utara

Misalnya, dinyatakan bahwa varian dengan asumsi heteroskedastisitas proporsional
terhadap

dan

maka faktor proporsionalitasnya dinyatakan dengan persamaan:

Dengan mensubstitusikan nilai

ke dalam persamaan (2.22), diperoleh:

var

Sehingga diperoleh:
var

var

dengan asumsi homoskedastisitas

Dapat dikatakan bahwa, jika

(

dan

)

berkorelasi positif atau

mempunyai hubungan variabel yang positif dan jika komponen yang kedua dari
persamaan (2.23) lebih besar daripada satu atau dapat dituliskan:

Maka

ar

dengan asumsi heteroskedastisitas akan lebih besar daripada

dengan asumsi homoskedastisitas. Sebagai akibatnya, standar error dari

ar
terlalu

rendah (underestimated). Sebagaimana diketahui bahwa standart error ini memiliki peran
dalam pembentukan nilai t hitung yang berkaitan akan menjadi terlalu tinggi

(overestimated) yang mungkin selanjutnya menghasilkan kesimpulan bahwa dalam

kasus spesifik

adalah kelihatannya signifikan, walaupun sebenarnya tidak

Universitas Sumatera Utara

signifikan. Oleh karena itu jika asumsi homoskedastisitas tidak dipenuhi maka hasil uji t
tidak menentu.

Selain uji signifikan tidak dapat diterapkan, batas – batas kepercayaan juga
tidak dapat diterapkan. Artinya jika varian penaksir model tidak memenuhi asumsi
homoskedastisitas, maka inferensi dan prediksi mengenai koefisien – koefisien
populasinya akan keliru.

Dalam analisis model regresi linear apabila semua asumsi model regresi linear
klasik

terpenuhi

kecuali

asumsi

homoskedastisitas

yang

berarti

adanya

heteroskedastisitas, maka estimator dari paramater yang diperoleh masih tetap tak bias
dan konsisten tetapi estimatornya tidak efisien, baik untuk sampel kecil maupun
sampel besar.

2.4.3

Pengujian Heteroskedastisitas

Masalah heteroskedastisitas pada umumnya terjadi di dalam analisis data cross –
sectional. Data cross – sectional yaitu data yang diambil pada satu waktu saja, tetapi

dengan responden yang besar, misalnya jika melakukan survai. Data survai yang
didapatkan dari penelitian tersebut pada intinya adalah membandingkan kondisi satu
dan lain orang pada waktu yang sama. Gejala heteroskedastisitas terjadi akibat
ketidaksamaan data atau bervarisinya data yang diteliti.

Untuk mendeteksi masalah heteroskedastisitas dapat dilakukan dengan
metode formal dan informal. Metode formal dapat dilakukan dengan uji statistik
diantaranya Uji Park, Uji Glejser, Uji Korelasi Rank dari Spearmen dan Uji Goldfeld
– Quant. Sedangkan metode informal biasanya dilakukan dengan uji metode grafik
dengan memetakan

terhadap

dan melihat pola penyebaran yang terbentuk

sistematis atau acak. Dalam tulisan ini akan digunakan Uji Korelasi Rank dari
Spearmen dalam mendeteksi masalah heteroskedastisitas.

Universitas Sumatera Utara

Pengujian Korelasi Rank dari Spearmen
Sesuai dengan namanya, metode ini pertama kali diperkenalkan oleh Spearmen dan
. Koefisien Korelasi Rank dari Spearmen

menggunakan korelasi peringkat X dan
dirumuskan:

(
di mana

)

merupakan selisih rank yang ditempatkan untuk dua karakteristik yang

berbeda dari individu ke-i atau fenomena ke-i dan n adalah banyaknya individu atau
fenomena yang diberi rank.

Langkah – langkah pengujian heteroskedastisitas dengan menggunakan uji

Korelasi Rank dari Spearmen adalah sebagai berikut:
1.

Menentukan model regresi dengan meregresikan X dan Y dan didapatkan nilai
galat

2.

.

Tanpa memperhatikan tanda dari

, yaitu ambil nilai mutlaknya yaitu

kemudian merangking kedua variabel

dan

,

sesuai dengan urutan yang

menaik ataupun menurun selanjutnya menghitung selisih rank keduanya.
3.

Menghitung koefisien

berdasarkan persamaan (2.24).

4.

Tingkat signifikansi koefisien korelasi

yang didapatkan dengan persamaan

(2.24) diuji dengan statistik uji t sebagai berikut:
(

dengan derajat bebas

)

.

5. Pengujian hipotesis:
: tidak ada heteroskedastisitas
: ada heteroskedastisitas
Dengan demikian, kaidah pengambilan keputusan untuk hipotesis di atas adalah
sebagai berikut:
Tolak

jika

. Dalam hal lain terima

.

Universitas Sumatera Utara

Apabila dalam model regresi mencakup lebih dari dua variabel bebas,
dihitung antara

dapat

dengan setiap variabel bebas X secara terpisah dan juga dapat diuji

untuk mengetahui signifikan tidaknya dengan uji t.

2.5

Transformasi Box Cox

Box dan Cox (1964) telah mengembangkan suatu prosedur dalam pemilihan suatu
transformasi dari suatu transformasi kuasa (power transformation) yang dikenal
dengan Transformasi Box Cox dengan memperhatikan secara sistematis transformasi
variabelnya.

Prosedur

Transformasi

Box

Cox

bertujuan

untuk

memeriksa

kecondongan dari distribusi bentuk galatnya atau dengan kata lain untuk menormalkan
data.

Selain

itu

prosedur

transformasi

ini

dapat

juga

digunakan

untuk

menghomogenkan varian dan melinierkan model regresinya.

Transformasi Box Cox merupakan transformasi pangkat pada variabel respon
dan mempertimbangkan kelas transformasi berparameter tunggal, yaitu

yang

dipangkatkan pada variabel respon Y. Dengan demikian, model transformasinya
menjadi

dan

adalah parameter yang perlu diduga.

Menurut Drapper S dan Harry S (1992) Transformasi Box Cox diberlakukan
pada variabel respon Y yang harus bertanda positif

, dinyatakan dalam

transformasi kuasa dengan persamaan berikut:
jika

(

jika

)

Setelah Y ditransformasikan menjadi W, maka model regresi liniernya dalam
persamaan matriks menjadi:
(2.27)
dengan
parameter transformasi

. Dengan demikian, prosedur utama Box Cox adalah menduga
dan dalam model regresi liniernya parameter

juga perlu

diduga.

Universitas Sumatera Utara

2.5.1 Pendugaan Parameter Transformasi Box Cox

Salah satu metode yang dapat digunakan dalam pendugaan parameter

pada

Transformasi Box Cox adalah dengan Metode Kemungkinan Maksimum. Cara
penaksiran ini sedikit berbeda dengan penaksiran yang biasa dilakukan yaitu
menentukan nilai

pada kisaran nilai tertentu.

Dari model regresi linier

diperoleh fungsi kemungkinannya,

yaitu:
(
Dengan mengalikan transformasi Jacobian dari variabel – variabel
dengan

)

sampai

terhadap fungsi kemungkinannya maka diperoleh:
(

)

(

0)

(

)

dengan:

Sehingga, fungsi kemungkinannya menjadi:

Penduga parameter

pada Transformasi Box Cox diperoleh dengan

memaksimumkan persamaan fungi kemungkinannya. Sehingga diperoleh:
(

Sehingga untuk nilai

)

yang telah ditetapkan, maka fungsi maksimum likelihoodnya

adalah:
(

)

Universitas Sumatera Utara

K ( umlah Kuadrat isa) setelah menduga model

Dengan

adalah

regresi dengan

yang ditentukan.

Penaksiran parameter
kisaran nilai tertentu. Biasanya

yang biasa dilakukan yaitu menentukan nilai

pada

yang dipakai yaitu dari kisaran (-2,2) atau bahkan (-

1,1). Sehingga untuk setiap tingkatan nilai

yang telah ditetapkan akan diperoleh nilai

– nilai maksimum likelihoodnya yaitu nilai

. Penduga parameter

dikatakan

sebagai penduga apabila memiliki nilai maksimum log – likelihoodnya
adalah maksimum terhadap
yang diperoleh dari
nilai

yang telah ditetapkan dari antara nilai - nilai

yang lainnya. Pada tabel 2.1 di bawah ini diberikan beberapa

dan model transformasinya.

Tabel 2.1 Nilai

Interval Lambda

dan Model Transformasinya

Lamda yang Terpilih

,

,

,

0,7

0,7

0,

0,

0,

0,

0

0,

0,7

0,5

0,7

,

1

,

,

2

Model Transformasi

Universitas Sumatera Utara

2.5.2

Selang Kepercayaan Parameter Pada Transformasi Box Cox

Pendugaan parameter sering dinyatakan dalam pembentukan selang kepercayaan,
karena hampir tidak pernah ditemukan nilai statistik yang tepat sama dengan nilai
parameternya. Menurut Hasan (2002), pendugaannya sering dinyatakan dalam suatu
daerah atau interval yang dibatasi oleh dua nilai dan digunakan tingkat kepecayaan
(confidence) terhadap daerah nilai sebenarnya atau parameternya berada, sehingga

disebut interval kepercayaan atau selang kepercayaan.

Demikian halnya dalam pendugaan parameter
dinyatakan juga dalam selang kepercayaan terhadap

pada Transformasi Box Cox
, atas nilai – nilai

yang

memenuhi pertidaksamaan berikut:
(2.34)

Dengan

adalah titik persentase sebaran khi-kuadrat dengan satu derajat

bebas yang luas wilayah di sebelah kanannya sebesar

. Sebagian nilai – nilai itu

adalah:

0,10

0,05

0,025

0,01

0,005

2,71

3,841

5,024

6,635

7,879

Untuk menggambarkan persaman (2.34) yaitu dengan menarik garis mendatar
setinggi,

pada tebaran

dengan

pada setiap

perhitungan yang telah diperoleh. Sehingga garis yang terbentuk akan memotong
kurva pada dua nilai
parameter

, dan ini merupakan titik – titik ujung selang kepercayaan

yang terbentuk.

Universitas Sumatera Utara

2.6

Pengujian Hipotesis dalam Model Regresi Linier Sederhana

Model regresi yang baik diperoleh akan diperiksa setelah variabel respon Y
ditransformasikan sesuai dengan model transformasi. Pemeriksaan ini ditempuh
melalui pengujian hipotesis.

Jika pada percobaan akan dilakukan pengujian terhadap
sebuah konstanta misalkan

yang sama dengan

, maka pada umumnya hipotesis tersebut dirumuskan

sebagai berikut:

Dan akan diduga alternatifnya dua arah, maka satistik uji yang digunakan pada
pengujian hipotesis ini adalah:
(

)

Kaidah pengambilan keputusan untuk pengujian hipotesis ini adalah sebagai berikut:
. Dalam hal lain terima

ditolak jika

.

Dengan cara yang sama dapat juga digunakan untuk menguji intercept

, dan

hipotesisnya adalah sebagai berikut:

Statistik ujinya adalah:
(

)

Kaidah pengambilan keputusan untuk pengujian hipotesis ini adalah sebagai berikut:
. Dalam hal lain terima

ditolak jika
Nilai

.

dapat diperoleh dari tabel t dengan menggunakan

dengan derajat

kebebasan (n-2).

Universitas Sumatera Utara

Dalam persamaan (2.35) dan (2.36) di atas

dapat dinyatakan dengan persamaan

berikut:
(
Dengan

7

adalah koreksi atau perbaikan jumlah kuadrat X.

Pengujian hipotesis dalam model regresi tersebut dilakukan secara parsial yang
bertujuan untuk menguji signifikansi pengaruh variabel bebas terhadap variabel
respon. Sehingga, masalah khusus dari pengujian hipotesis dalam model regresi linier
sederhana adalah:

Apabila hipotesis

ditolak, maka variabel bebas X berpengaruh terhadap variabel

respon Y. Dengan demikian, model analisis regresi signifikan dan layak digunakan
untuk mengestimasi atau memprediksi nilai Y.

Universitas Sumatera Utara

BAB 3

PEMBAHASAN

3.1 Transformasi Box Cox Untuk Mengatasi Heteroskedastisitas

Apabila asumsi homoskedastisitas tidak terpenuhi atau terdapat heteroskedastisitas
maka tidak akan mempengaruhi ketakbiasan dan konsistensi dari penduga parameter,
tetapi penduga tersebut menjadi tidak efisien karena tidak memiliki varian yang
minimum, dengan demikian tidak lagi merupakan penduga tak bias linier terbaik atau
disebut juga Best Linear Unbiased Estimator (BLUE). Akibat tidak memiliki varian
yang minimum, maka akan mempengaruhi pengujian hipotesis terhadap parameter
baik menggunakan pendekatan uji signifikan maupun pendekatan selang kepercayaan.
Oleh karena itu tindakan perbaikan perlu dilakukan yaitu dengan mengatasi masalah
heteroskedastisitas. Salah satunya yaitu dengan Transformasi Box Cox yang
mentransformasikan

variabel

responnya

transformasi berparameter tunggal, yaitu

dengan

mempertimbangkan

kelas

yang dipangkatkan pada variabel respon

Y. Dengan demikian, model transformasinya menjadi

.

Dengan mentransformasikan variabel responnya sesuai dengan model
transformasinya, maka akan diperoleh model regresi yang baik dengan memenuhi
asumsi homoskedastisitas yaitu masalah heteroskedastisitas akan teratasi. Model
transformasi akan terbentuk, apabila penduga parameter
menghitung nilai maksimum likelihoodnya yaitu nilai

diperoleh dengan

, dengan persamaan:

Universitas Sumatera Utara

(

)

(

)

(

)

Persamaan (3.1) dapat juga dituliskan menjadi:

Jika persamaan (3.1) direduksi terhadap konstanta, maka:

Sehingga memaksimalkan nilai

yang ditetapkan sama dengan meminimalkan

,

yaitu meminimalkan Jumlah Kuadrat Sesatan yang diperoleh dari pengepasan model
regresinya.

Misalnya apabila diperoleh penduga parameter
mendekati 0 (nol) atau berada pada interval -0,
transformasinya adalah

pada Transformasi Box Cox
0,

, maka model

. Dengan mentranformasikan variabel responnya sesuai

model transformasi yang telah diperoleh maka akan memperkecil skala pengukuran
variabel – variabel yang asli. Oleh karena itu mampu mengurangi perbedaan di antara
nilai – nilai. Contohnya, apabila terdapat nilai asli 10 dan 100; dimana diketahui
bahwa 100 adalah sepuluh kali dari nilai 10 tetapi melalui transformasi logaritma
natural akan menjadi: ln 00

, 0

hanya sekitar dua kali dari ln 0

, 0

.

Untuk memperjelas prosedur Transformasi Box Cox dalam mengatasi masalah
heteroskedastisitas pada variabel – variabel bebas, maka dalam penelitian ini
digunakan data simulasi dengan membangkitkan bilangan acak dengan menggunakan
program Minitab 16. Dan data yang dibangkitkan berdasarkan distribusi yang telah
ditentukan yaitu berdistribusi normal.

Universitas Sumatera Utara

Data simulasi ini terdiri dari dua variabel yaitu variabel bebas X dan variabel
respon (Y). Dan dengan menggunakan program Minitab 16 akan dibahas setiap data
simulasi berdasarkan distribusi normal dengan parameter rata – rata dan standard
deviasi yang telah ditentukan. Kemudian dilakukan analisis regresi untuk
mendapatkan estimator dari model regresi dan dilakukan pengujian adanya
heteroskedastisitas. Dengan adanya masalah heteroskedastisitas dalam model regresi
maka akan diatasi dengan menggunakan Transformasi Box Cox yang dapat dianalisis
dengan menggunakan program Minitab 16.

Universitas Sumatera Utara

Tabel 3.1 Hasil Pengujian Heteroskedastisitas dan Analisis Transformasi Box Cox
Pada Model Regresi Linier Sederhana

Estimator

Pengujian Heteroskedastisitas

Analisis Transformasi Box Cox

No

n

1

20

-1,0

0,119

0,609

3,25

Tolak

2

0,

2

20

12,5

-0,115

0,683

3,969

Tolak

2

,

3

20

-6,27

0,226

0,485

2,353

Tolak

-0,99

4

20

11,4

0,00418

0,54

2,72

Tolak

-0,48

5

20

10,7

-0,00161

0,5323

2,622

Tolak

-0,17

,

,

6

20

9,4

0,0094

0,5041

2,475

Tolak

0,17

0,7

,

7

20

37,4

0,00793

2,692

4,066

Tolak

-0,18

,

0,

8

20

51,0

-0,00016

0,505

2,483

Tolak

1,95

0,

9

20

84,8

0,0167

0,672

3,853

Tolak

0,64

0,

,

10

20

80,5

0,0115

0,647

2,742

Tolak

0,45

0,

,

Kesimpulan

Interval Kepercayaan

,

Universitas Sumatera Utara

Tabel 3.2 Hasil Analisis Dalam Model Penentuan Regresi Linier Sederhana Setelah Variabel Respon
Ditransformasikan Sesuai dengan Model Transformasi Box Cox

No

Model Transformasi

Estimator Model Regresi

Box Cox

Pengujian

Pengujian Heteroskedastisitas

Hipotesis

Kesimpulan

1

-10,4

0,308

Tolak

0,3023

1,346

Terima

2

8,65

-0,0770

Tolak

0,1744

0,751

Terima

3

-5,29

0,206

Tolak

-0,14

-0,399

Terima

4

11,3

0,00293

Tolak

0,28

1,23

Terima

5

10,6

-0,00426

Tolak

-0,26

-1,142

Terima

6

9,67

0,00383

Tolak

0,155

0,6656

Terima

7

36,6

0,00431

Tolak

0,2812

1,243

Terima

8

51,5

83,0

Tolak

-0,308

-1,374

Terima

9

83

0,0102

Tolak

0,226

0,984

Terima

10

77,9

0,00771

Tolak

0,0086

0,03687

Terima

Universitas Sumatera Utara

Hasil analisis Transfo

Dokumen yang terkait

Dokumen baru