Analisis Transformasi Box Cox Untuk Mengatasi Heteroskedastisitas Dalam Model Regresi Linier Sederhana.

(1)

ANALISIS TRANSFORMASI BOX COX UNTUK MENGATASI

HETEROSKEDASTISITAS DALAM MODEL

REGRESI LINIER SEDERHANA

SKRIPSI

DESRI KRISTINA S

070803055

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2011

(2)

ANALISIS TRANSFORMASI BOX COX UNTUK MENGATASI

HETEROSKEDASTISITAS DALAM MODEL REGRESI LINIER SEDERHANA

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

DESRI KRISTINA S 070803055

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2011

(3)

PERSETUJUAN

Judul : ANALISIS TRANSFORMASI BOX COX UNTUK MENGATASI HETEROSKEDASTISITAS DALAM MODEL REGRESI LINIER SEDERHANA

Kategori : SKRIPSI

Nama : DESRI KRISTINA S

Nomor Induk Mahasiswa : 070803055

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di Medan, Juni 2011

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Rachmad Sitepu, M.Si Drs. Open Darnius, M.Sc NIP. 19530418 198703 1 001 NIP.19641014 199103 1 004

Diketahui/ Disetujui oleh:

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Dr. Tulus, M.Si.

(4)

PERNYATAAN

ANALISIS TRANSFORMASI BOX COX UNTUK MENGATASI

HETEROSKEDASTISITAS DALAM MODEL REGRESI LINIER SEDERHANA

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juni 2011

DESRI KRISTINA S 070803055

(5)

PENGHARGAAN

Segala hormat dan pujian syukur hanya kepada Tuhan Yang Maha Kuasa karena kasihNya yang sungguh besar yang senantiasa memberi pertolongan dan kekuatan, tuntunan bagi penulis untuk mengerjakan skripsi ini sampai waktu yang telah ditetapkan.

Dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih kepada Drs. Open Darnius, M.Sc dan Drs. Rachmad Sitepu, M.Si sebagai dosen pembimbing yang telah memberikan hati dan waktunya untuk mengarahkan dan memberikan masukan kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Drs. Pangarapen Bangun, M.Si dan Drs. Ujian Sinulingga, M.Si selaku Dosen penguji yang juga membantu penulis selama pengerjaan skripsi ini. Ucapan terimakasih juga penulis tujukan kepada Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU, Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU yaitu Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Dra. Mardiningsih, M.Si dan kepada Bapak Ibu dosen beserta semua Staf Administrasi di FMIPA USU.

Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada kedua orang tua tercinta Bapak M.Silalahi dan Ibu L.br.Situmorang atas semua dukungan dalam doa, motivasi, kasih sayang, serta semua dukungan materil dan moril yang membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Juga kepada adik-adik yang saya kasihi Marno, Luri, Wenny dan Mario. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada sahabat – sahabat yang telah mendukung saya, terkhusus buat KTB Florence (K’Tiur, Dewi, Anita, Riris dan Rolina) dan adik – adik tercinta KK Evangelium. Terima kasih atas semua doa dan dukungannya. Tak lupa juga penulis mengucapkan terima kasih kepada semuanya teman-teman di Math’07 (tidak muat jika disebutkan namanya satu per satu) atas kebersamaan kita selama ini, atas doa dan saling mendukung diantara kita. Semangat dan doa dari teman-teman juga sangat membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Terimakasih juga buat teman-teman kost 24, juga teman-teman penulis di Sibolga serta keluarga tulang di Helvetia, keluarga Namboru di Sidikalang atas kebaikan, doa dan kasihnya.

Akhir kata penulis mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang belum disebutkan namanya yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini, biarlah kasih karunia Tuhan Yang Maha Esa yang menyertai kita semua. Semoga tulisan ini bermanfaat bagi yang membacanya. Terima kasih.

(6)

ABSTRAK

Analisis regresi adalah salah satu teknik statistika yang digunakan untuk menentukan model hubungan satu variabel respon (Y) dengan satu atau lebih variabel bebas (X), yang umumnya dinyatakan dalam persamaan matematik. Dalam statistika sebuah model regresi dapat diperoleh dengan melakukan pendugaan terhadap parameter - parameternya dengan menggunakan metode tertentu, salah satunya dengan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Methods). Model regresi yang diperoleh dikatakan baik atau cocok, jika dipenuhi asumsi-asumsi ideal (klasik). Salah satu asumsi regresi linier yang harus dipenuhi adalah homogenitas varians (varian dari error bersifat konstan) yang disebut juga asumsi homoskedastisitas. Kebalikannya, jika ternyata varian dari kesalahan pengganggu tidak konstan misalnya membesar atau mengecil pada nilai X yang lebih tinggi, maka kondisi tersebut dikatakan mengalami heteroskedastisitas atau dituliskan dengan: ar , , , . Pada model regresi bila semua asumsi klasik dipenuhi, kecuali satu yaitu terjadi heteroskedastisitas, maka estimator yang diperoleh masih tetap tak bias dan konsisten, tetapi tidak efisien (varians membesar). Salah satu cara untuk mengatasi heteroskedastisitas dalam model regresi yaitu dengan Transformasi Box Cox. Transformasi Box Cox yaitu melakukan transformasi terhadap variabel respon Y yang dipangkatkankan dengan parameter , sehingga menjadi dan penduga parameter yang diperoleh berada dikisaran (-2,2).

(7)

ANALYSIS OF BOX COX TRANSFORMATION TO OVERCOME HETEROSCEDASTICITY IN SIMPLE LINEAR REGRESSION MODEL

ABSTRACT

Regression analysis is one of statistic technics that used to determine the relation model of one respon variable (Y) with one or more independent variable (X), what is generally expressed in equation mathematic. In statistic, a regression model is obtained by estimate of its parameter by using certain method, one of them is with the Maximum Likelihood Methods. Regression model that obtained to be told is good or fit, if fulfilled by the ideal assumption (classic). One of linear regression assumption which must be fulfilled is homogeneity varian (variant from error have the character of constant) so called also homoscedasticity. On the contrary, in reality if varian from error is not constant for example big or minimize higher at value X, so the condition told to heteroscedasticity or written down by: ar , , , . In regression model if all classic assumption were fulfilled, except one of them was the heteroscedasticity, so estimator that obtained still unbiased and consistent, but inefficient (big varian). One of way to overcome the heteroscedasticity in regression model is by Box Cox Transformation. Box Cox Transformation that is do the transformation to respon variable Y which be ranked with the parameter , so that become and estimator of parameter that obtained residing in gyration (-2,2).

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak v

Abstract vi

Daftar Isi vii

Daftar Tabel ix

Daftar Gambar x

Bab 1 Pendahuluan

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Identifikasi Masalah 3

1.3 Batasan Masalah 3

1.4 Tinjauan Pustaka 3

1.5 Tujuan Penelitian 5

1.6 Manfaat Penelitian 5

1.7 Metode Penelitian 6

Bab 2 Landasan Teori

2.1 Regresi Linier Sederhana 7

2.2 Estimasi Parameter 9

2.2.1 Pengertian Estimasi Parameter dan Estimator 9

2.2.2 Sifat – Sifat Estimator 9

2.2.3 Jenis – Jenis Pendugaan 11

2.3 Metode Kemungkinan Maksimum 11

2.3.1 Maksimum Likelihood dalam Regresi Linier Sederhana 12

2.4 Heteroskedastisitas 15

2.4.1 Pengertian Heteroskedastisitas 15 2.4.2 Konsekuensi atau Akibat Adanya Heteroskedastisitas 17 2.4.3 Pengujian Heteroskedastisitas 21

2.5 Transformasi Box Cox 23

2.5.1 Pendugaan Parameter Transformasi Box Cox 24 2.5.2 Selang Kepercayaan Parameter Pada Transformasi Box Cox 26

2.6 Pengujian Model Regresi 27

Bab 3 Pembahasan 29

Bab 4 Kesimpulan Dan Saran 35

4.1 Kesimpulan 35

(9)

Halaman

Daftar Pustaka 36

(10)

DAFTAR TABEL

Halaman Tabel 2.1 Nilai dan Model Transformasinya 25 Tabel 3.1 Hasil pengujian Heteroskedastisitas dan Analisis Transformasi

Box Cox Pada Model Regresi Linier Sederhana 32 Tabel 3.2 Hasil Analisis Dalam Model Penentuan Regresi Linier Sederhana

Setelah Variabel Respon Ditransformasikan Sesuai dengan Model

(11)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Asumsi Homoskedastisitas 16

(12)

ABSTRAK

(13)

ANALYSIS OF BOX COX TRANSFORMATION TO OVERCOME HETEROSCEDASTICITY IN SIMPLE LINEAR REGRESSION MODEL

ABSTRACT

(14)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Analisis Regresi adalah analisis statistik yang mempelajari bagaimana memodelkan sebuah model fungsional dari data untuk dapat menjelaskan ataupun meramalkan suatu fenomena alami atas dasar fenomena lain. Analisis regresi juga merupakan salah satu teknik statistika yang digunakan secara luas dalam ilmu pengetahuan terapan dalam bidang sosial maupun eksakta.

Gujarati (2006) mendefenisikan analisis regresi sebagai kajian terhadap hubungan satu variabel yang disebut sebagai variabel yang diterangkan (variabel tidak bebas) dengan satu atau lebih variabel yang menerangkan (variabel bebas). Melalui analisis regresi ini, model hubungan antar variabel dapat diketahui. Selain itu, analisis regresi juga dapat dipergunakan sebagai peramalan. Model regresi linear sederhana dapat dinyatakan sebagai berikut:

(1)

dengan:

Y adalah variabel tidak bebas;

adalah variabel bebas, dengan i = 1, 2, 3, ... , n;

dan adalah parameter – parameter yang tidak diketahui; adalah error (kesalahan penggangu).

(15)

Model regresi linear sederhana tersebut dapat ditulis dengan menggunakan persamaan matriks yaitu:

, , dan

dengan:

Y adalah vektor kolom berukuran (n baris dan 1 kolom) X adalah matriks berukuran (n baris 2 kolom)

adalah vektor kolom berukuran (2 baris dan 1 kolom) adalah vektor kolom berukuran

dan adalah parameter yang akan diduga dalam model regresi linier sederhana. Pendugaan parameter tersebut baik dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil (Ordinary Least Square) maupun dengan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Methods) harus memenuhi asumsi – asumsi model ideal tertentu terhadap error . Salah satu asumsi yang penting dan harus dipenuhi adalah asumsi homoskedastisitas atau disebut juga asumsi kehomogenan varian. Apabila asumsi homoskedastisitas tidak dipenuhi, berarti varian dari setiap kesalahan pengganggu untuk variabel bebas yang diketahui tidak sama, sehingga keadaan ini disebut heteroskedastisitas (keheterogenan ragam).

Dalam model regresi linier terdapat beberapa cara dalam mengatasi masalah heteroskedastisitas. Menurut Greene (2004) untuk mengatasi heteroskedastisitas dapat dilakukan dengan Metode Kuadrat Terkecil Tertimbang (Weighted Least Square), penaksirannya melalui pembobotan yang juga dapat dikatakan kuadrat terkecil yang diberlakukan secara umum atau disebut Kuadrat Terkecil Umum (General Least Square). Selain itu, heteroskedastisitas juga dapat diatasi dengan mentransformasikan variabel - variabelnya, baik variabel bebas, variabel tidak bebas maupun keduanya. Dalam tulisan ini akan diuraikan bahwa Transformasi Box Cox dapat mengatasi

(16)

masalah heteroskedastisitas karena mengingat salah satu tujuan dari transformasi Box Cox adalah menghomogenkan varian.

1.2 Identifikasi Masalah

Heteroskedastisitas merupakan salah satu faktor yang menyebabkan model regresi linier sederhana tidak efisien dan akurat, juga mengakibatkan penggunaan metode kemungkinan maksimum dalam mengestimasi parameter (koefisien) regresi akan terganggu. Masalah heteroskedastisitas harus diatasi, salah satunya dengan Transformasi Box Cox yaitu transformasi pangkat berparameter tunggal terhadap variabel tidak bebas Y yang kisarannya pada interval (-2,2). Sehingga, dalam penelitian ini akan menunjukkan secara simulasi bahwa parameter pada Transformasi Box Cox berada di kisaran (-2,2).

1.3 Batasan Masalah

Agar penyelesaian masalah tidak menyimpang dari pembahasan, maka dibuat pembatasan masalah yaitu dengan menganggap bahwa model analisis regresinya tetap memenuhi asumsi – asumsi klasik lainnya kecuali asumsi homoskedastisitas tidak terpenuhi.

1.4 Tinjauan Pustaka

Kutner, M.H, Wassamen.W dan Neter J (1990) mengatakan bahwa bentuk fungsi

dari peluang distribusi dengan adanya istilah kesalahan pengganggu (error) yang ditetapkan serta estimator dari parameter – parameter dan yang dinotasikan dengan dan dapat diperoleh dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Methods). Metode ini menggunakan distribusi gabungan dari sampel pengamatannya. Ketika gabungan distribusi ditunjukkan sebagai fungsi dari parameternya, yang diberi dengan sampel pengamatan tertentu,

(17)

inilah yang disebut sebagai fungsi kemungkinannya. Dengan memaksimumkan fungsi kemungkinannya maka akan diperoleh estimator dari parameter – parameternya.

Supranto J (2004) mengatakan bahwa heteroskesdastisitas merupakan salah satu

pelanggaran terhadap salah satu asumsi model ideal tertentu terhadap galat yang diberlakukan dalam analisis regresi yaitu asumsi homoskedastisitas yang menyatakan bahwa varian kesalahan pengganggu pada setiap variabel bebas adalah sama (konstan). Heteroskedastisitas adalah keadaan bahwa varian kesalahan pengganggu tidak bersifat konstan atau disimbolkan dengan ar .

Gasperz, Vincent (1991) mengatakan bahwa heteroskedastisitas dapat mengakibatkan pendugaan parameternya tidak efisien sehingga tidak mempunyai ragam minimum. Karena pendugaan parameter dianggap efisien karena memiliki ragam yang minimum, sehingga ragam galat bersifat konstan atau disebut juga bahwa asumsi homoskedastisitas terpenuhi. Salah satu usaha untuk mengatasi heteroskedastisitas ini dapat dilakukan dengan mentransformasikan variabel – variabelnya, baik variabel bebas, variabel tidak bebas maupun keduanya agar asumsi homoskedastisitas terpenuhi.

Box, G. E. P. Dan D. R. Cox (1964) mengatakan bahwa Transformasi Box Cox

adalah transformasi yang mempertimbangkan kelas transformasi berparameter tunggal yaitu yang dipangkatkan pada variabel respon (variabel tidak bebas) Y yang bertanda positif , sehingga transformasinya menjadi . Dalam analisis regresi apabila kenormalan data, kehomogenen ragam dan linieritas tak dipenuhi, maka dapat dilakukan transformasi terhadap variabel responnya sesuai dengan prosedur Transformasi Box Cox. Salah satu cara untuk mengatasi ketidakhomogenan ragam yaitu dengan Transformasi Box Cox.

Drapper, N dan Smith, H (1992) mengatakan bahwa Transformasi Box Cox

diberlakukan kepada variabel respon, Y, yang harus bertanda positif, dinyatakan dalam transformasi kuasa dengan persamaan berikut:

(18)

jika 0 ln jika 0

Famili transformasi kontinu ini bergantung pada satu parameter yang akan diduga. Salah satu metode pendugaan (penaksiran) yang dapat digunakan ialah dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum. Cara penaksiran agak berbeda dengan cara penaksiran yang biasa dilakukan, yaitu dengan menentukan nilai pada kisaran tertentu

1.5 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah menggunakan prosedur Transformasi Box Cox untuk mengatasi masalah heteroskedastisitas antara variabel – variabel bebas, sehingga diperoleh persamaan regresi linier sederhana yang lebih baik.

1.6 Manfaat Penelitian

Regresi adalah salah satu metode yang digunakan untuk menaksir suatu peubah tak bebas dengan memperhatikan faktor – faktor penyebabnya. Dari penulisan ini, penulis berharap dapat memberikan suatu solusi alternatif bagi pengguna analisis regresi linier sederhana dalam masalah heteroskedastisitas yang terdapat pada data, sehingga model regresi tersebut dapat diatasi dan menjadi model regresi yang benar.

(19)

1.7 Metode Penelitian

Data yang digunakan untuk analisis ini adalah data simulasi. Data simulasi terdiri dari dua variabel yaitu variabel bebas (X) dan variabel tak bebas (Y). Data simulasi yang akan dianalisis merupakan data random yang dibangkitkan berdasarkan distribusi yang telah ditentukan yaitu berdistribusi normal dengan menggunakan program Minitab 16. Langkah – langkah yang digunakan untuk menganalisis data tersebut adalah:

1. Mengitung estimator dan dan membentuk model analisis regresi sederhana dari data tersebut.

2. Mendeteksi keberadaan heteroskedastisitas berdasarkan prosedur pada Uji Korelasi Rank dari Spearmen yang digunakan.

3. Menduga parameter pada Transformasi Box Cox dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum. Dalam tulisan ini digunakan Program Minitab 16 dengan menjalankan perintah atau rangkaian perintah (command) yang membentuk suatu fungsi tertentu dalam Minitab yang disebut dengan Macro Minitab. Dengan menjalankan command tersebut akan diperoleh penduga dan selang kepercayaan .

4. Menentukan model transformasinya sesuai dengan pendugaan parameter yang telah didapat.

5. Mentransformasikan data menurut model transformasinya dan membentuk model analisis regresi.

6. Menguji signifikansi dari model regresi tersebut dan juga dilakukan pengujian heteroskedastisitasnya.

(20)

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Regresi Linier Sederhana

Dalam beberapa masalah terdapat dua atau lebih variabel yang hubungannya tidak dapat dipisahkan karena perubahan nilai suatu variabel tidak selalu terjadi dengan sendirinya, namun perubahan nilai variabel itu dapat pula disebabkan oleh berubahnya variabel lain yang berhubungan dengan variabel tersebut. Hal tersebut biasanya diselidiki sifat hubungannya yaitu dengan mengetahui pola nilai suatu variabel yang disebabkan oleh variabel lain diperlukan alat analisis yang dapat membuat perkiraan nilai variabel tersebut pada nilai tertentu variabel yang mempengaruhinya.

Teknik yang umum digunakan untuk menganalisis hubungan antara dua atau lebih variabel dalam ilmu statistik adalah dengan analisis regresi. Analisis regresi adalah teknik statistik yang berguna untuk memeriksa dan memodelkan hubungan diantara variabel-variabel. Analisis regresi berguna untuk menelaah pola dan mengukur hubungan statistika antara dua atau lebih variabel yang modelnya belum diketahui dengan sempurna.

Persamaan matematik yang digunakan untuk melakukan peramalan mengenai nilai – nilai suatu variabel tak bebas dari satu atau lebih variabel bebas disebut persamaan regresi. Istilah regresi pertama kali diperkenalkan oleh Sir Francis Galton

(21)

(1822 – 1911) yang berasal dari hasil pengamatan yang dilakukan terhadap manusia yaitu membandingkan tinggi badan anak laki – laki dengan tinggi badan ayahnya.

Galton menyatakan bahwa tinggi badan anak laki – laki dari badan yang tinggi pada beberapa generasi kemudian cenderung “mundur” (regressed) mendekati rata – rata populasi. Dengan kata lain, anak laki – laki dari ayahnya yang mempunyai badannya sangat tinggi cenderung lebih pendek dari ayahnya. Sedangkan anak laki – laki dari ayah yang mempunyai badan sangat pendek cenderung lebih tinggi dari ayahnya. Dari hasil penelitian ini istilah regresi pada mulanya bertujuan untuk membuat perkiraan nilai suatu variabel (tinggi badan anak) terhadap suatu variabel lain (tinggi badan ayah).

Pada perkembangan selanjutnya analisis regresi dapat digunakan sebagai alat untuk membuat perkiraan ataupun peramalan nilai suatu variabel dengan menggunakan variabel lain yang berhubungan dengan variabel tersebut. Dalam analisis regresi, dikenal dua jenis variabel yaitu :

1. Variabel Respon disebut juga variabel dependent yaitu variabel yang tidak bebas yaitu keberadaannya dipengaruhi oleh variabel lainnya dan dinotasikan dengan Y. 2. Variabel Prediktor disebut juga variabel independent yaitu variabel yang bebas

(tidak dipengaruhi oleh variabel lainnya) dan dinotasikan dengan X.

Analisis regresi yang melibatkan hubungan antara satu variabel respon (tidak bebas) dengan satu variabel prediktor (bebas) diistilahkan dengan regresi linier sederhana, dengan model persamaan:

(2.1)

Dimana intercept dan slope merupakan parameter yang tidak diketahui nilainya, sedangkan adalah error random dengan rata – rata nol dan varians .

Misalkan ada n pasangan observasi, katakan dengan y merupakan variabel tidak bebasnya atau variabel respon yang berhubungan dengan n variabel bebas diukur dengan errornya dapat diabaikan sehingga nilai harapan y untuk masing – masing x adalah:

(22)

(2.2) Tujuan utama dari analisis regresi adalah mendapatkan dugaan (estimation) dari suatu variabel dengan menggunakan variabel lain yang diketahui.

2.2 Estimasi Parameter

2.2.1 Pengertian Estimasi Parameter dan Estimator

Estimasi (pendugaan) merupakan proses yang menggunakan sampel statistik untuk menduga atau menaksir hubungan parameter populasi yang tidak diketahui. Pendugaan merupakan suatu pernyataan mengenai parameter populasi yang diketahui berdasarkan informasi dari sampel, dalam hal ini sampel random, yang diambil dari populasi yang bersangkutan. Jadi dengan pendugaan ini, keadaan parameter populasi dapat diketahui (Hasan 2002).

Menurut Hasan (2002), estimator adalah suatu statistik (harga sampel) yang digunakan untuk menduga suatu parameter. Dengan penduga, dapat diketahui seberapa jauh suatu parameter populasi yang tidak diketahui berada di sekitar sampel (statistik sampel). Besaran sebagai hasil penerapan penduga terhadap data dari sesuatu contoh disebut nilai duga (estimate). Secara umum, parameter diberi lambang dan penduganya diberi lambang .

2.2.2 Sifat – Sifat Estimator

Estimator yang diperoleh dalam mengestimasi parameter – parameter dikatakan sebagai estimator yang baik apabila mempunyai sifat atau ciri – ciri sebagai berikut:

(23)

1. Estimator yang tidak bias

Estimator yang tidak bias apabila dapat menghasilkan estimasi yang mengandung nilai parameter yang diestimasikan. Misalkan, estimator dikatakan estimator yang tidak bias jika rata – rata semua harga yang mungkin akan sama dengan , atau dapat dituliskan .

2. Estimator yang efisien

Estimator dikatakan efisien bagi parameternya apabila estimator tersebut memiliki varians minimum. Apabila terdapat lebih dari satu penduga, penduga yang efisien adalah penduga yang memiliki varians terkecil. Dua buah penduga dapat dibandingkan dengan efisiensi relatif. Misalkan dan adalah sebagai dua estimator untuk , dimana varians penduga lebih kecil dibandingkan varians , maka relatif lebih efisien dibandingkan dengan .

3. Estimator yang konsisten

Estimator dikatakan konsisten apabila nilai penduga cenderung mendekati nilai parameter untuk n (jumlah sampel) yang semakin besar mendekati tak hingga. Jadi, ukuran sampel yang besar cenderung memberikan penduga titik yang lebih baik dibandingkan ukuran sampel kecil.

Dalam analisis regresi, diperlukan suatu model yang digunakan untuk mengetahui hubungan antara variabel tidak bebas (respon) dengan satu atau lebih variabel bebas (prediktor) dan untuk melakukan peramalan terhadap variabel respon. Model regresi dapat diperoleh dengan melakukan pendugaan terhadap parameter - parameternya dengan menggunakan metode tertentu. Metode yang dapat digunakan mengestimasi parameter model regresi, khususnya parameter model regresi linier yaitu dengan Metode Kuadrat Terkecil (Ordinary Least Square) dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Methods), (Kutner et.all, 1990).

(24)

2.3 Metode Kemungkinan Maksimum

Salah satu cara untuk mendapatkan estimator yang baik adalah dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Methods) yang diperkenalkan oleh R. A. Fisher (1890 – 1962). Maksimum likelihood ini adalah metode yang digunakan untuk menduga parameter – parameter dengan memaksimumkan fungsi kemungkinannya yang dibentuk dari gabungan distribusi pengamatan.

Misalkan X adalah variabel random berukuran n pengamatan dengan maka fungsi kemungkinannya adalah:

(2.3)

Penduga kemungkinan dengan Metode Kemungkinan Maksimum dari parameter tunggal adalah sebuah nilai yang memaksimumkan fungsi kemungkinan . Apabila variabel random dari populasi yang berdistribusi , maka fungsi kemungkinannya didefinisikan sebagai berikut:

( )

Jika fungsi kemungkinannya diturunkan terhadap , maka akan diperoleh penyelesaian atau estimasi parameter – parameter dengan memaksimumkan persamaan (2.4) dan menyamakan dengan nol, diperoleh:

(25)

Untuk lebih jelasnya, misalkan peubah acak X tersebut tersebar normal dengan nilai tengah dan varians , dimana dan tidak diketahui sehingga fungsi kemungkinannya adalah:

( )

Tujuan utama dari analisis regresi adalah mendapatkan dugaan (estimation) dari suatu variabel dengan menggunakan variabel lain yang diketahui.

2.3.1 Maksimum Likelihood dalam Regresi Linier Sederhana

Maksimum Likelihood adalah metode yang dapat digunakan untuk mengestimasi suatu parameter dalam regresi.

Dalam model regresi linear sederhana, berdasarkan data diasumsikan bahwa galat dalam model regresi berdistribusi dengan pengamatan – pengamatan dalam percobaan berdistribusi normal dan independen, dengan mean dan variansnya . Maka fungsi kemungkinan nilai pertama Y adalah:

(2.7)

Kemudian kemungkinan nilai kedua Y sama dengan persamaan (2.7), kecuali angka satu diganti dengan dua dan seterusnya untuk semua nilai Y amatan lainnya.

Untuk nilai Y bebas dengan mengalikan semua kemungkinan bersama, maka fungsi probabilitas bersamanya adalah:

( ) Dengan menyatakan

(26)

penggunaannya dikenal untuk eksponensial, sehingga persamaan (2.8) dapat diperlihatkan dengan penjumlahan eksponensial yaitu:

( ) Mengingat yang diberikan dipertimbangkan untuk berbagai nilai dan , sehingga fungsi likelihoodnya yaitu:

( 0)

Estimator fungsi kemungkinan maksimum untuk parameter – parameter dan dinotasikan dengan dan diperoleh dengan memaksimumkan L, sehingga:

( ) ln maksimum bila

minimum, ini merupakan jumlah kuadrat error

Dengan mendifferensialkan fungsi kemungkinannya terhadap setiap parameter dan estimator harus memenuhi:

Penyelesaian dari persamaan tersebut adalah:

(2.12)

(27)

dan adalah estimator untuk intercept (titik potong) dan slope (kemiringan). Sehingga diperoleh estimator model regresi linier sederhananya adalah:

(2.14)

Selain estimator dan , menurut Kutner, M.H (1990) estimasi juga dibutuhkan dalam uji hipotesis dan pembentukan estimasi yang berhubungan dengan model regresi. Dengan mendifferensialkan fungsi kemungkinannya terhadap parameter dan estimator juga harus memenuhi:

Maka, penyelesaian dari persamaan tersebut adalah:

( )

Dengan adalah standard error regresi atau dapat juga dituliskan:

( )

SSE (Sum Square of Error) adalah jumlah kuadrat residual dan penduga ini bias .

Jumlah kuadrat residual mempunyai derajat kebebasan , karena dua derajat kebebasan adalah gabungan dari estimasi dan yang terlibat dalam pembentukan Sehingga estimator tak bias dari adalah :

( 7

Pendugaan (estimasi) yang dilakukan dengan Metode Kemungkinan Maksimum untuk memperoleh estimatornya, tentu saja tidak lepas dari kesalahan (error) baik itu sedikit maupun banyak. Namun dengan metode kemungkinan maksimum, kesalahan penduga dijamin yang terkecil karena estimasi dengan metode ini akan meminimumkan jumlah kudrat errornya dengan ketentuan memenuhi beberapa asumsi. Asumsi – asumsi tersebut biasanya disebut dengan asumsi klasik regresi linier.

(28)

Dengan demikian dalam melakukan analisis regresi diberlakukan asumsi – asumsi model ideal tertentu terhadap galat , yaitu:

1. Nilai rata – rata kesalahan pengganggu nol, yaitu: , untuk .

2. adalah konstan untuk semua kesalahan pengganggu (asumsi homoskedastisitas).

3. Tidak ada korelasi serial (autocorrelation) antara pengganggu , berartikovarian .

4. Peubah bebas konstan dalam sampling yang terulang dan bebas terhadap kesalahan pengganggu .

5. Tidak ada multikolinearitas antar variabel bebas X.

2.4 Heteroskedastisitas

2.4.1 Pengertian Heteroskedastisitas

Salah satu asumsi penting dari model regresi linear klasik adalah varian error pada setiap nilai – nilai variabel bebas adalah sama (konstan), asumsi ini disebut juga sebagai asumsi homoskedastisitas atau homogenitas varian yang disimbolkan dengan:

, ,

Apabila asumsi ini tidak dipenuhi dalam analisis regresi linier, maka didapatkan keadaan bahwa varian tidak bersifat konstan. Keadaan ini disebut mengalami heteroskedastisitas atau disimbolkan dengan:

, , ,

Secara diagram dalam regresi dua variabel, homoskedastisitas dapat ditunjukkan pada Gambar (2.1) yang menunjukkan bahwa varian setiap rerata nolnya tidak tergantung pada pada nilai variabel bebas. Jika varian dari masih sama pada

(29)

setiap titik atau untuk seluruh nilai X (variabel bebas) yang kecil maupun besar, maka pola tertentu akan terbentuk bila sebaran Y diplot dengan sebaran X. Bila digambarkan dalam tiga dimensi, polanya akan mendekati pola pada Gambar (2.1).

Gambar 2.1. Asumsi Homoskedastisitas

Sebaliknya, Gambar (2.2) menunjukkan varian kondisional dari yaitu naik dengan naiknya X atau dikatakan bahwa varian dari pada setiap variabel bebas X tidak sama (tidak konstan).

Gambar 2.2. Asumsi Heteroskedastisitas

X Y Densitas

...

X Y Densitas

...

(30)

2.4.2 Konsekuensi Atau Akibat Adanya Heteroskedastisitas

Dalam kenyataannya, asumsi homoskedastisitas dari kesalahan pengganggu mungkin tidak bisa dipenuhi, dengan kata lain varian dari kesalahan pengganggu bersifat heteroskedastisitas, yaitu . Hal ini dapat dipahami jika diperhitungkan faktor – faktor yang menjadi penyebab adanya kesalahan pengganggu dalam model regresi. Faktor kesalahan pengganggu dimasukkan ke dalam model untuk dapat memperhitungkan kesalahan – kesalahan yang mungkin terjadi dalam pengukuran dan kesalahan karena mengabaikan variabel – variabel tertentu. Dengan memperhatikan kedua perhitungan itu, maka terdapat alasan untuk memperkirakan bahwa varian bervariasi secara sistematis dengan variabel bebas X.

Konsekuensi dari pelanggaran asumsi homoskedastisitas adalah sebagai berikut:

1. Penduga (estimator) yang diperoleh tetap memenuhi persyaratan tidak bias. Diberikan estimator

Anggaplah bahwa:

Sehingga:

Dengan diketahui bahwa:

dan

(31)

Dengan demikian:

Sehingga diperoleh:

( )

Demikian juga untuk estimator parameter yaitu Diberikan estimator

( )

Dengan mensubsitusikan ke dalam persamaan (2.19), maka:

Sehingga akan diperoleh:

(2.20)

Dapat disimpulkan bahwa sifat ketidakbiasan tidak tergantung pada varian galat. Jika dalam model regresi ada heteroskedastisitas, maka kita tetap memperoleh nilai parameter yang tidak bias karena sebagai penduga tidak bias tidak memerlukan asumsi bahwa varian galat harus konstan.

2. Varian penduga yang diperoleh akan menjadi tidak efisien, artinya penduga tersebut tidak memiliki varian terkecil diantara penduga – penduga tidak bias lainnya.

(32)

Dengan asumsi adanya homoskedastisitas, maka: ar

i j

Karena , dan Sehingga diperoleh:

var

( )

Apabila dengan adanya asumsi heteroskedastisitas maka:

var

( )

Walaupun dikatakan adalah unbiased, tetapi tidak efisien karena varian – variannya lebih besar daripada yang diperlukan. Untuk melihat penggunaan persamaan (2.21) dan (2.22), diuraikan sebagai berikut:

(33)

Misalnya, dinyatakan bahwa varian dengan asumsi heteroskedastisitas proporsional terhadap dan maka faktor proporsionalitasnya dinyatakan dengan persamaan:

Dengan mensubstitusikan nilai ke dalam persamaan (2.22), diperoleh:

var

Sehingga diperoleh:

var var dengan asumsi homoskedastisitas

( )

Dapat dikatakan bahwa, jika dan berkorelasi positif atau mempunyai hubungan variabel yang positif dan jika komponen yang kedua dari persamaan (2.23) lebih besar daripada satu atau dapat dituliskan:

Maka ar dengan asumsi heteroskedastisitas akan lebih besar daripada ar dengan asumsi homoskedastisitas. Sebagai akibatnya, standar error dari terlalu rendah (underestimated). Sebagaimana diketahui bahwa standart error ini memiliki peran dalam pembentukan nilai t hitung yang berkaitan akan menjadi terlalu tinggi (overestimated) yang mungkin selanjutnya menghasilkan kesimpulan bahwa dalam kasus spesifik adalah kelihatannya signifikan, walaupun sebenarnya tidak

(34)

signifikan. Oleh karena itu jika asumsi homoskedastisitas tidak dipenuhi maka hasil uji t

tidak menentu.

Selain uji signifikan tidak dapat diterapkan, batas – batas kepercayaan juga tidak dapat diterapkan. Artinya jika varian penaksir model tidak memenuhi asumsi homoskedastisitas, maka inferensi dan prediksi mengenai koefisien – koefisien populasinya akan keliru.

Dalam analisis model regresi linear apabila semua asumsi model regresi linear klasik terpenuhi kecuali asumsi homoskedastisitas yang berarti adanya heteroskedastisitas, maka estimator dari paramater yang diperoleh masih tetap tak bias dan konsisten tetapi estimatornya tidak efisien, baik untuk sampel kecil maupun sampel besar.

2.4.3 Pengujian Heteroskedastisitas

Masalah heteroskedastisitas pada umumnya terjadi di dalam analisis data cross – sectional. Data cross – sectional yaitu data yang diambil pada satu waktu saja, tetapi dengan responden yang besar, misalnya jika melakukan survai. Data survai yang didapatkan dari penelitian tersebut pada intinya adalah membandingkan kondisi satu dan lain orang pada waktu yang sama. Gejala heteroskedastisitas terjadi akibat ketidaksamaan data atau bervarisinya data yang diteliti.

Untuk mendeteksi masalah heteroskedastisitas dapat dilakukan dengan metode formal dan informal. Metode formal dapat dilakukan dengan uji statistik diantaranya Uji Park, Uji Glejser, Uji Korelasi Rank dari Spearmen dan Uji Goldfeld – Quant. Sedangkan metode informal biasanya dilakukan dengan uji metode grafik dengan memetakan terhadap dan melihat pola penyebaran yang terbentuk sistematis atau acak. Dalam tulisan ini akan digunakan Uji Korelasi Rank dari Spearmen dalam mendeteksi masalah heteroskedastisitas.

(35)

Pengujian Korelasi Rank dari Spearmen

Sesuai dengan namanya, metode ini pertama kali diperkenalkan oleh Spearmen dan menggunakan korelasi peringkat X dan . Koefisien Korelasi Rank dari Spearmen dirumuskan:

( )

di mana merupakan selisih rank yang ditempatkan untuk dua karakteristik yang berbeda dari individu ke-i atau fenomena ke-i dan n adalah banyaknya individu atau fenomena yang diberi rank.

Langkah – langkah pengujian heteroskedastisitas dengan menggunakan uji Korelasi Rank dari Spearmen adalah sebagai berikut:

1. Menentukan model regresi dengan meregresikan X dan Y dan didapatkan nilai galat .

2. Tanpa memperhatikan tanda dari , yaitu ambil nilai mutlaknya yaitu , kemudian merangking kedua variabel dan sesuai dengan urutan yang menaik ataupun menurun selanjutnya menghitung selisih rank keduanya.

3. Menghitung koefisien berdasarkan persamaan (2.24).

4. Tingkat signifikansi koefisien korelasi yang didapatkan dengan persamaan (2.24) diuji dengan statistik uji t sebagai berikut:

( ) dengan derajat bebas .

5. Pengujian hipotesis:

: tidak ada heteroskedastisitas : ada heteroskedastisitas

Dengan demikian, kaidah pengambilan keputusan untuk hipotesis di atas adalah sebagai berikut:

Tolak jika

(36)

Apabila dalam model regresi mencakup lebih dari dua variabel bebas, dapat dihitung antara dengan setiap variabel bebas X secara terpisah dan juga dapat diuji untuk mengetahui signifikan tidaknya dengan uji t.

2.5 Transformasi Box Cox

Box dan Cox (1964) telah mengembangkan suatu prosedur dalam pemilihan suatu transformasi dari suatu transformasi kuasa (power transformation) yang dikenal dengan Transformasi Box Cox dengan memperhatikan secara sistematis transformasi variabelnya. Prosedur Transformasi Box Cox bertujuan untuk memeriksa kecondongan dari distribusi bentuk galatnya atau dengan kata lain untuk menormalkan data. Selain itu prosedur transformasi ini dapat juga digunakan untuk menghomogenkan varian dan melinierkan model regresinya.

Transformasi Box Cox merupakan transformasi pangkat pada variabel respon dan mempertimbangkan kelas transformasi berparameter tunggal, yaitu yang dipangkatkan pada variabel respon Y. Dengan demikian, model transformasinya menjadi dan adalah parameter yang perlu diduga.

Menurut Drapper S dan Harry S (1992) Transformasi Box Cox diberlakukan pada variabel respon Y yang harus bertanda positif , dinyatakan dalam transformasi kuasa dengan persamaan berikut:

jika

jika ( ) Setelah Y ditransformasikan menjadi W, maka model regresi liniernya dalam persamaan matriks menjadi:

(2.27)

dengan . Dengan demikian, prosedur utama Box Cox adalah menduga parameter transformasi dan dalam model regresi liniernya parameter juga perlu diduga.

(37)

2.5.1 Pendugaan Parameter Transformasi Box Cox

Salah satu metode yang dapat digunakan dalam pendugaan parameter pada Transformasi Box Cox adalah dengan Metode Kemungkinan Maksimum. Cara penaksiran ini sedikit berbeda dengan penaksiran yang biasa dilakukan yaitu menentukan nilai pada kisaran nilai tertentu.

Dari model regresi linier diperoleh fungsi kemungkinannya, yaitu:

( ) Dengan mengalikan transformasi Jacobian dari variabel – variabel sampai dengan terhadap fungsi kemungkinannya maka diperoleh:

( )

dengan:

( 0)

Sehingga, fungsi kemungkinannya menjadi:

( )

Penduga parameter pada Transformasi Box Cox diperoleh dengan memaksimumkan persamaan fungi kemungkinannya. Sehingga diperoleh:

( ) Sehingga untuk nilai yang telah ditetapkan, maka fungsi maksimum likelihoodnya adalah:

( )

(38)

Dengan adalah

K ( umlah Kuadrat isa) setelah menduga model

regresi dengan yang ditentukan.

Penaksiran parameter yang biasa dilakukan yaitu menentukan nilai pada kisaran nilai tertentu. Biasanya yang dipakai yaitu dari kisaran 2,2) atau bahkan (-1,1). Sehingga untuk setiap tingkatan nilai yang telah ditetapkan akan diperoleh nilai – nilai maksimum likelihoodnya yaitu nilai . Penduga parameter dikatakan sebagai penduga apabila memiliki nilai maksimum log – likelihoodnya adalah maksimum terhadap yang telah ditetapkan dari antara nilai - nilai yang diperoleh dari yang lainnya. Pada tabel 2.1 di bawah ini diberikan beberapa nilai dan model transformasinya.

Tabel 2.1 Nilai dan Model Transformasinya

Interval Lambda Lamda yang Terpilih Model Transformasi , ,

, 0,7

0,7 0, 0,

0, 0, 0

0, 0,7 0,5

0,7 , 1

(39)

2.5.2 Selang Kepercayaan Parameter Pada Transformasi Box Cox

Pendugaan parameter sering dinyatakan dalam pembentukan selang kepercayaan, karena hampir tidak pernah ditemukan nilai statistik yang tepat sama dengan nilai parameternya. Menurut Hasan (2002), pendugaannya sering dinyatakan dalam suatu daerah atau interval yang dibatasi oleh dua nilai dan digunakan tingkat kepecayaan (confidence) terhadap daerah nilai sebenarnya atau parameternya berada, sehingga disebut interval kepercayaan atau selang kepercayaan.

Demikian halnya dalam pendugaan parameter pada Transformasi Box Cox dinyatakan juga dalam selang kepercayaan terhadap , atas nilai – nilai yang memenuhi pertidaksamaan berikut:

(2.34)

Dengan adalah titik persentase sebaran khi-kuadrat dengan satu derajat bebas yang luas wilayah di sebelah kanannya sebesar . Sebagian nilai – nilai itu adalah:

0,10 0,05 0,025 0,01 0,005

_2,71 _3,841 _5,024 _6,635 _7,879

Untuk menggambarkan persaman (2.34) yaitu dengan menarik garis mendatar setinggi, pada tebaran dengan pada setiap perhitungan yang telah diperoleh. Sehingga garis yang terbentuk akan memotong kurva pada dua nilai , dan ini merupakan titik – titik ujung selang kepercayaan parameter yang terbentuk.

(40)

2.6 Pengujian Hipotesis dalam Model Regresi Linier Sederhana

Model regresi yang baik diperoleh akan diperiksa setelah variabel respon Y ditransformasikan sesuai dengan model transformasi. Pemeriksaan ini ditempuh melalui pengujian hipotesis.

Jika pada percobaan akan dilakukan pengujian terhadap yang sama dengan sebuah konstanta misalkan , maka pada umumnya hipotesis tersebut dirumuskan sebagai berikut:

Dan akan diduga alternatifnya dua arah, maka satistik uji yang digunakan pada pengujian hipotesis ini adalah:

( )

Kaidah pengambilan keputusan untuk pengujian hipotesis ini adalah sebagai berikut: ditolak jika . Dalam hal lain terima .

Dengan cara yang sama dapat juga digunakan untuk menguji intercept , dan hipotesisnya adalah sebagai berikut:

Statistik ujinya adalah:

( )

Kaidah pengambilan keputusan untuk pengujian hipotesis ini adalah sebagai berikut: ditolak jika . Dalam hal lain terima .

Nilai dapat diperoleh dari tabel t dengan menggunakan dengan derajat kebebasan (n-2).

(41)

Dalam persamaan (2.35) dan (2.36) di atas dapat dinyatakan dengan persamaan berikut:

( 7 Dengan adalah koreksi atau perbaikan jumlah kuadrat X.

Pengujian hipotesis dalam model regresi tersebut dilakukan secara parsial yang bertujuan untuk menguji signifikansi pengaruh variabel bebas terhadap variabel respon. Sehingga, masalah khusus dari pengujian hipotesis dalam model regresi linier sederhana adalah:

Apabila hipotesis ditolak, maka variabel bebas X berpengaruh terhadap variabel respon Y. Dengan demikian, model analisis regresi signifikan dan layak digunakan untuk mengestimasi atau memprediksi nilai Y.

(42)

BAB 3

PEMBAHASAN

3.1 Transformasi Box Cox Untuk Mengatasi Heteroskedastisitas

Apabila asumsi homoskedastisitas tidak terpenuhi atau terdapat heteroskedastisitas maka tidak akan mempengaruhi ketakbiasan dan konsistensi dari penduga parameter, tetapi penduga tersebut menjadi tidak efisien karena tidak memiliki varian yang minimum, dengan demikian tidak lagi merupakan penduga tak bias linier terbaik atau disebut juga Best Linear Unbiased Estimator (BLUE). Akibat tidak memiliki varian yang minimum, maka akan mempengaruhi pengujian hipotesis terhadap parameter baik menggunakan pendekatan uji signifikan maupun pendekatan selang kepercayaan. Oleh karena itu tindakan perbaikan perlu dilakukan yaitu dengan mengatasi masalah heteroskedastisitas. Salah satunya yaitu dengan Transformasi Box Cox yang mentransformasikan variabel responnya dengan mempertimbangkan kelas transformasi berparameter tunggal, yaitu yang dipangkatkan pada variabel respon Y. Dengan demikian, model transformasinya menjadi .

Dengan mentransformasikan variabel responnya sesuai dengan model transformasinya, maka akan diperoleh model regresi yang baik dengan memenuhi asumsi homoskedastisitas yaitu masalah heteroskedastisitas akan teratasi. Model transformasi akan terbentuk, apabila penduga parameter diperoleh dengan menghitung nilai maksimum likelihoodnya yaitu nilai , dengan persamaan:

(43)

( )

Persamaan (3.1) dapat juga dituliskan menjadi:

( )

Jika persamaan (3.1) direduksi terhadap konstanta, maka:

( )

Sehingga memaksimalkan nilai yang ditetapkan sama dengan meminimalkan , yaitu meminimalkan Jumlah Kuadrat Sesatan yang diperoleh dari pengepasan model regresinya.

Misalnya apabila diperoleh penduga parameter pada Transformasi Box Cox mendekati 0 (nol) atau berada pada interval -0, 0, , maka model transformasinya adalah . Dengan mentranformasikan variabel responnya sesuai model transformasi yang telah diperoleh maka akan memperkecil skala pengukuran variabel – variabel yang asli. Oleh karena itu mampu mengurangi perbedaan di antara nilai – nilai. Contohnya, apabila terdapat nilai asli 10 dan 100; dimana diketahui bahwa 100 adalah sepuluh kali dari nilai 10 tetapi melalui transformasi logaritma natural akan menjadi: ln 00 , 0 hanya sekitar dua kali dari ln 0 , 0 .

Untuk memperjelas prosedur Transformasi Box Cox dalam mengatasi masalah heteroskedastisitas pada variabel – variabel bebas, maka dalam penelitian ini digunakan data simulasi dengan membangkitkan bilangan acak dengan menggunakan program Minitab 16. Dan data yang dibangkitkan berdasarkan distribusi yang telah ditentukan yaitu berdistribusi normal.

(44)

Data simulasi ini terdiri dari dua variabel yaitu variabel bebas X dan variabel respon (Y). Dan dengan menggunakan program Minitab 16 akan dibahas setiap data simulasi berdasarkan distribusi normal dengan parameter rata – rata dan standard deviasi yang telah ditentukan. Kemudian dilakukan analisis regresi untuk mendapatkan estimator dari model regresi dan dilakukan pengujian adanya heteroskedastisitas. Dengan adanya masalah heteroskedastisitas dalam model regresi maka akan diatasi dengan menggunakan Transformasi Box Cox yang dapat dianalisis dengan menggunakan program Minitab 16.

(45)

Tabel 3.1 Hasil Pengujian Heteroskedastisitas dan Analisis Transformasi Box Cox Pada Model Regresi Linier Sederhana

No n

Estimator Pengujian Heteroskedastisitas Analisis Transformasi Box Cox

Kesimpulan Interval Kepercayaan

1 20 -1,0 0,119 0,609 3,25 Tolak 2 0,

2 20 12,5 -0,115 0,683 3,969 Tolak 2 ,

3 20 -6,27 0,226 0,485 2,353 Tolak -0,99

4 20 11,4 0,00418 0,54 2,72 Tolak -0,48 ,

5 20 10,7 -0,00161 0,5323 2,622 Tolak -0,17 , ,

6 20 9,4 0,0094 0,5041 2,475 Tolak 0,17 0,7 ,

7 20 37,4 0,00793 2,692 4,066 Tolak -0,18 , 0,

8 20 51,0 -0,00016 0,505 2,483 Tolak 1,95 0,

9 20 84,8 0,0167 0,672 3,853 Tolak 0,64 0, ,

(46)

Tabel 3.2 Hasil Analisis Dalam Model Penentuan Regresi Linier Sederhana Setelah Variabel Respon Ditransformasikan Sesuai dengan Model Transformasi Box Cox

No Model Transformasi Box Cox

Estimator Model Regresi Pengujian Hipotesis

Pengujian Heteroskedastisitas

Kesimpulan

1 -10,4 0,308 Tolak 0,3023 1,346 Terima

2 8,65 -0,0770 Tolak 0,1744 0,751 Terima

3 -5,29 0,206 Tolak -0,14 -0,399 Terima

4 11,3 0,00293 Tolak 0,28 1,23 Terima

5 10,6 -0,00426 Tolak -0,26 -1,142 Terima

6 9,67 0,00383 Tolak 0,155 0,6656 Terima

7 36,6 0,00431 Tolak 0,2812 1,243 Terima

8 51,5 83,0 Tolak -0,308 -1,374 Terima

9 83 0,0102 Tolak 0,226 0,984 Terima

(47)

Hasil analisis Transformasi Box Cox untuk data yang berdistribusi normal yang juga mengandung masalah heteroskedastisitas yaitu diperolehnya penduga yang didapat pada setiap contoh data simulasinya. Penduga yang diproleh dapat juga dituliskan dalam selang kepercayaan. Dengan diperolehnya penduga ini maka akan terbentuk model transformasi Box Cox sesuai dengan nilai penduga seperti yang ditunjukkan dalam tabel 3.2. Sehingga dengan mentransformasikan variabel responnya sesuai dengan model transformasi maka akan diperoleh model regresi baru. Dan apabila model regresi tersebut dilakukan uji signifikansi terhadap model regresi maka diperoleh kesimpulan bahwa variabel bebas berpengaruh secara signifikan terhadap variabel respon. Dengan demikian model regresi tersebut signifikan.

Kemudian apabila dilakukan pengujian heteroskedastisitas dengan uji Korelasi Rank Spearmen maka hipotesis adanya heteroskedastisitas ditolak atau asumsi homoskedastisitas terpenuhi dalam model regresi yang telah didapat.

(48)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1Kesimpulan

1. Dari hasil analisis untuk semua data simulasi yang dibangkitkan dengan mengikuti distribusi normal maka dapat disimpulkan bahwa Transformasi Box Cox dapat mengatasi heteroskedastisitas dalam model regresi, sehingga asumsi homoskedastisitas akan terpenuhi.

2. Pendugaan parameter dapat juga dituliskan dalam selang kepercayaan. Dan dari hasil analisis data simulasi, penduga parameter yang diperoleh berada dikisaran (-2,2).

4.2Saran

Heteroskedastisitas merupakan salah satu pelanggaran asumsi model ideal dalam analisis regresi. Sehingga dengan adanya masalah heteroskedastisitas dapat menyebabkan model yang diperoleh kurang baik karena penduga parameternya tidak efisien. Dengan demikian disarankan untuk terlebih dahulu menghilangkan masalah heteroskedastisitas tersebut. Salah satu caranya yaitu dengan Transformasi Box Cox. Dan apabila kenormalan data dan linieritas tidak dipenuhi dalam analisis regresi dapat juga diatasi dengan Transformasi Box Cox.

(49)

DAFTAR PUSTAKA

Box, G. E. P. Dan D. R. Cox. 1964. An Analysis of Transformations. Journal of the Royal Statistical Society. 26(2): hal.211-243

Daniel, W.W. 1989. Statistika Nonparametrik Terapan. Jakarta: Gramedia

Drapper, N dan Smith, H. 1992. Analisis Regresi Terapan. Jakarta: Gramedia

Gaspersz, Vincent. 1991. Ekonometrika Terapan 2. Bandung: Tarsito.

Gaudry, Marcel G. 1979. Heteroscedasticity and The Use of Box – Cox Transformation. 2(3): hal. 225-229.

Greene H William. 2000. Econometric Analysis Fourth Edition. New York: Prentice Hall International. Inc.

Gujarati, Damodar 1988. Basic Econometrics. United State of America : McGraw – Hill, Inc.

Hasan, Iqbal. 2001. Pokok – Pokok Materi Statistik 2 (Statistik Inferensi). Jakarta: PT Bumi Aksara.

Ispriyanti, Dwi. 2004. Pemodelan Statistika Dengan Transformasi Box Cox. 7(3):hal. 8-17.

Kutner, M.H, Wassamen.W dan Neter J. 1990. Applied Linear Statistical Models. America: MC Graw-Hill/Irwin.

(50)

Montgomery DC dan Elizabeth A.P. 1982. Introduction to Linear Regression Analysis Second Edition. New York: John Wiley & Son.

Sembiring, R.K. 1995. Analisis Regresi. Bandung: ITB.

Sumodinigrat, Gunawan. 1994. Ekonometrika Pengantar. Yogyakarta: BPFE - Yogyakarta.

Supranto, J. 2004. Ekonometrika. Jakarta: Ghalia Indonesia.

Weisberg, S. 1985. Applied Linier Regression Second Edition. New York: John Wiley & Son.

Wonnacott, Thomas H dan Wonnacott, Ronald J. 1935. Regression: A Second Course in Statistic. New York: John Wiley & Son.

(51)

(52)

Penyelesaian Model Regresi Linier Sederhana dan Analisis Transformasi Box Cox Pada Data Berdistribusi Normal Yang Mengandung Heteroskedastisitas

Data Simulasi 1

Welcome to Minitab, press F1 for help. MTB > Random 20 X;

SUBC> Normal 50 0,5. MTB > Random 20 Y; SUBC> Normal 5 0,5. MTB > Regress 'Y' 1 'X'; SUBC> Constant;

SUBC> Brief 2.

Regression Analysis: Y versus X

The regression equation is Y = 10,3 - 0,111 X

Predictor Coef SE Coef T P Constant 10,33 12,33 0,84 0,413 X -0,1112 0,2468 -0,45 0,658

S = 0,539615 R-Sq = 1,1% R-Sq(adj) = 0,0%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression 1 0,0591 0,0591 0,20 0,658 Residual Error 18 5,2413 0,2912

Total 19 5,3004 MTB > %bctrans C2 C1.

Executing from file: C:\Program Files\Minitab\Minitab 16\English\Macros\bctrans.MAC

Macro is running ... please wait

Box-Cox Power Transformation Analysis

Model Information

--- Response: Y

Predictor(s): X

--- Estimated Lambda: 2

Approximate 95% CI for Lambda: (-0,9 , 2)

(53)

Data Simulasi 2

Welcome to Minitab, press F1 for help. MTB > Random 20 X;

SUBC> Normal 50 0,5. MTB > Random 20 Y; SUBC> Normal 5 0,5. MTB > Regress 'Y' 1 'X'; SUBC> Constant;

SUBC> Brief 2.

Regression Analysis: Y versus X

The regression equation is Y = - 1,0 + 0,119 X

Predictor Coef SE Coef T P Constant -1,03 13,67 -0,08 0,941 X 0,1186 0,2734 0,43 0,670

S = 0,475180 R-Sq = 1,0% R-Sq(adj) = 0,0%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression 1 0,0425 0,0425 0,19 0,670 Residual Error 18 4,0643 0,2258

Total 19 4,1068

Unusual Observations

Obs X Y Fit SE Fit Residual St Resid 18 50,0 3,940 4,901 0,107 -0,962 -2,08R

R denotes an observation with a large standardized residual. MTB > %bctrans C2 C1.

Executing from file: C:\Program Files\Minitab\Minitab 16\English\Macros\bctrans.MAC

Macro is running ... please wait

Box-Cox Power Transformation Analysis

Model Information

--- Response: Y

Predictor(s): X

--- Estimated Lambda: 2

Approximate 95% CI for Lambda: (-1,61 , 2)

(54)

Data Simulasi 3

Welcome to Minitab, press F1 for help. MTB > Random 20 X;

SUBC> Normal 50 0,5. MTB > Random 20 Y; SUBC> Normal 5 0,5. MTB > Regress 'Y' 1 'X'; SUBC> Constant;

SUBC> Brief 2.

Regression Analysis: Y versus X

The regression equation is Y = - 6,27 + 0,226 X

Predictor Coef SE Coef T P Constant -6,267 6,891 -0,91 0,375 X 0,2263 0,1376 1,64 0,117

S = 0,386226 R-Sq = 13,1% R-Sq(adj) = 8,2%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression 1 0,4036 0,4036 2,71 0,117 Residual Error 18 2,6851 0,1492

Total 19 3,0887 MTB > %bctrans C2 C1.

Executing from file: C:\Program Files\Minitab\Minitab 16\English\Macros\bctrans.MAC

Macro is running ... please wait

Box-Cox Power Transformation Analysis

Model Information

--- Response: Y

Predictor(s): X

--- Estimated Lambda: -0,99

(55)

Data Simulasi 4

Welcome to Minitab, press F1 for help.

MTB > Random 20 X; SUBC> Normal 100 100. MTB > Random 20 Y; SUBC> Normal 10 4. MTB > Regress 'Y' 1 'X'; SUBC> Constant;

SUBC> Brief 2.

Regression Analysis: Y versus X

The regression equation is Y = 11,4 + 0,00418 X

Predictor Coef SE Coef T P Constant 11,3973 0,9211 12,37 0,000 X 0,004184 0,007054 0,59 0,560

S = 3,11156 R-Sq = 1,9% R-Sq(adj) = 0,0%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression 1 3,407 3,407 0,35 0,560 Residual Error 18 174,272 9,682

Total 19 177,679

MTB > %bctrans C2 C1.

Executing from file: C:\Program Files\Minitab\Minitab 16\English\Macros\bctrans.MAC

Macro is running ... please wait

Box-Cox Power Transformation Analysis

Model Information

--- Response: Y

Predictor(s): X

--- Estimated Lambda: 0,48

(56)

Data Simulasi 5

Welcome to Minitab, press F1 for help.

MTB > Random 20 X; SUBC> Normal 100 100. MTB > Random 20 Y; SUBC> Normal 10 4. MTB > Regress 'Y' 1 'X'; SUBC> Constant;

SUBC> Brief 2.

Regression Analysis: Y versus X

The regression equation is Y = 10,7 - 0,00161 X

Predictor Coef SE Coef T P Constant 10,674 1,207 8,84 0,000 X -0,001613 0,006700 -0,24 0,813

S = 3,36763 R-Sq = 0,3% R-Sq(adj) = 0,0%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression 1 0,66 0,66 0,06 0,813 Residual Error 18 204,14 11,34

Total 19 204,79

MTB > %bctrans C2 C1.

Executing from file: C:\Program Files\Minitab\Minitab 16\English\Macros\bctrans.MAC

Macro is running ... please wait

Box-Cox Power Transformation Analysis

Model Information

--- Response: Y

Predictor(s): X

--- Estimated Lambda: -0,17

Approximate 95% CI for Lambda: (-1,53 , 1,16)

(57)

Data Simulasi 6

Welcome to Minitab, press F1 for help. MTB > Random 20 X;

SUBC> Normal 100 100. MTB > Random 20 Y; SUBC> Normal 10 4. MTB > Regress 'Y' 1 'X'; SUBC> Constant;

SUBC> Brief 2.

Regression Analysis: Y versus X

The regression equation is Y = 9,40 + 0,0094 X

Predictor Coef SE Coef T P Constant 9,398 1,516 6,20 0,000 X 0,00944 0,01160 0,81 0,426

S = 3,19832 R-Sq = 3,6% R-Sq(adj) = 0,0%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression 1 6,78 6,78 0,66 0,426 Residual Error 18 184,13 10,23

Total 19 190,90

Unusual Observations

Obs X Y Fit SE Fit Residual St Resid 1 162 20,478 10,924 0,895 9,555 3,11R 19 213 4,588 11,408 1,340 -6,820 -2,35R

R denotes an observation with a large standardized residual. MTB > %bctrans C2 C1.

Executing from file: C:\Program Files\Minitab\Minitab 16\English\Macros\bctrans.MAC

Macro is running ... please wait

Box-Cox Power Transformation Analysis

Model Information

--- Response: Y

Predictor(s): X

--- Estimated Lambda: 0,17

Approximate 95% CI for Lambda: (-0,78 , 1,13)

(58)

Data Simulasi 7

Welcome to Minitab, press F1 for help. MTB > Random 20 X;

SUBC> Normal 1000 1000. MTB > Random 20 Y;

SUBC> Normal 50 5. MTB > Regress 'Y' 1 'X'; SUBC> Constant;

SUBC> Brief 2.

Regression Analysis: Y versus X

The regression equation is Y = 37,4 + 0,00793 X

Predictor Coef SE Coef T P Constant 37,395 6,622 5,65 0,000 X 0,007934 0,005648 1,40 0,177

S = 20,3362 R-Sq = 9,9% R-Sq(adj) = 4,9%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression 1 816,1 816,1 1,97 0,177 Residual Error 18 7444,1 413,6

Total 19 8260,2

Unusual Observations

Obs X Y Fit SE Fit Residual St Resid 16 2237 100,60 55,15 9,05 45,45 2,50R

R denotes an observation with a large standardized residual. MTB > %bctrans C2 C1.

Executing from file: C:\Program Files\Minitab\Minitab 16\English\Macros\bctrans.MAC

Macro is running ... please wait

Box-Cox Power Transformation Analysis

Model Information

--- Response: Y

Predictor(s): X

--- Estimated Lambda: -0,18

Approximate 95% CI for Lambda: (-1,21 , 0,82)

(59)

Data Simulasi 8

Welcome to Minitab, press F1 for help. MTB > Random 20 X;

SUBC> Normal 1000 1000. MTB > Random 20 Y;

SUBC> Normal 50 5. MTB > Regress 'Y' 1 'X'; SUBC> Constant;

SUBC> Brief 2.

Regression Analysis: Y versus X

The regression equation is Y = 51,0 - 0,00016 X

20 cases used, 381 cases contain missing values

Predictor Coef SE Coef T P Constant 50,958 4,079 12,49 0,000 X -0,000159 0,002583 -0,06 0,952

S = 12,2892 R-Sq = 0,0% R-Sq(adj) = 0,0%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression 1 0,6 0,6 0,00 0,952 Residual Error 18 2718,4 151,0

Total 19 2719,0

MTB > %bctrans C2 C1.

Executing from file: C:\Program Files\Minitab\Minitab 16\English\Macros\bctrans.MAC

Macro is running ... please wait

Box-Cox Power Transformation Analysis

Model Information

--- Response: Y

Predictor(s): X

--- Estimated Lambda: 1,95

(60)

Data Simulasi 9

Welcome to Minitab, press F1 for help. MTB > Random 20 X;

SUBC> Normal 1000 1000. MTB > Random 20 Y;

SUBC> Normal 100 50. MTB > Regress 'Y' 1 'X'; SUBC> Constant;

SUBC> Brief 2.

Regression Analysis: Y versus X

The regression equation is Y = 84,8 + 0,0167 X

Predictor Coef SE Coef T P Constant 84,79 15,39 5,51 0,000 X 0,01669 0,01559 1,07 0,298

S = 48,7699 R-Sq = 6,0% R-Sq(adj) = 0,8%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression 1 2727 2727 1,15 0,298 Residual Error 18 42813 2378

Total 19 45540 MTB > %bctrans C2 C1.

Executing from file: C:\Program Files\Minitab\Minitab 16\English\Macros\bctrans.MAC

Macro is running ... please wait

Box-Cox Power Transformation Analysis

Model Information

--- Response: Y

Predictor(s): X

--- Estimated Lambda: 0,64

(61)

Data Simulasi 10

Welcome to Minitab, press F1 for help. MTB > Random 20 X;

SUBC> Normal 1000 1000. MTB > Random 20 Y;

SUBC> Normal 100 50. MTB > Regress 'Y' 1 'X'; SUBC> Constant;

SUBC> Brief 2.

Regression Analysis: Y versus X

The regression equation is Y = 80,5 + 0,0115 X

Predictor Coef SE Coef T P Constant 80,55 12,64 6,37 0,000 X 0,01151 0,01107 1,04 0,312

S = 44,5967 R-Sq = 5,7% R-Sq(adj) = 0,4%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression 1 2151 2151 1,08 0,312 Residual Error 18 35800 1989

Total 19 37951

MTB > %bctrans C2 C1.

Executing from file: C:\Program Files\Minitab\Minitab 16\English\Macros\bctrans.MAC

Macro is running ... please wait

Box-Cox Power Transformation Analysis

Model Information

--- Response: Y

Predictor(s): X

--- Estimated Lambda: 0,45

Approximate 95% CI for Lambda: (-0,39 , 1,28)

(62)

Gambar Analisis Transformasi Box Cox Pada Data Berdistribusi Normal Untuk Mengatasi Heteroskedastisitas Pada Model Regresi

Gambar Data Simulasi 1

Box-Cox Power Transformation Analysis

2 1 0 -1 -2 14,0 13,5 13,0 12,5 12,0 11,5 11,0 Lambda L o g -L ik e li h o o d 2 -0,9 2 1 0 -1 6,78 6,76 6,74 6,72 6,70 6,68 6,66 6,64 6,62 Lambda P R E S S

E stimated Lambda: 2

(1)

Data Simulasi 3

Welcome to Minitab, press F1 for help. MTB > Regress 'Y' 1 'X';

SUBC> Constant; SUBC> Brief 2.

Regression Analysis: Y versus X

The regression equation is Y = - 5,29 + 0,206 X

Predictor Coef SE Coef T P Constant -5,29399 0,06824 -77,58 0,000 X 0,206191 0,001362 151,33 0,000 S = 0,00382450 R-Sq = 99,9% R-Sq(adj) = 99,9% Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression 1 0,33498 0,33498 22901,95 0,000 Residual Error 18 0,00026 0,00001

Total 19 0,33524

Data Simulasi 4

Welcome to Minitab, press F1 for help. MTB > Regress 'Y' 1 'X';

SUBC> Constant; SUBC> Brief 2.

Regression Analysis: Y versus X

The regression equation is Y = 11,3 + 0,00293 X

Predictor Coef SE Coef T P Constant 11,2893 0,0007 16487,22 0,000 X 0,00293038 0,00000524 558,79 0,000 S = 0,00231318 R-Sq = 100,0% R-Sq(adj) = 100,0% Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression 1 1,6708 1,6708 312244,48 0,000 Residual Error 18 0,0001 0,0000

(2)

Data Simulasi 5

Welcome to Minitab, press F1 for help. MTB > Regress 'Y' 1 'X';

SUBC> Constant; SUBC> Brief 2.

Regression Analysis: Y versus X

The regression equation is Y = 10,6 - 0,00428 X

Predictor Coef SE Coef T P Constant 10,5884 0,0058 1816,21 0,000 X -0,00427939 0,00003237 -132,22 0,000 S = 0,0162681 R-Sq = 99,9% R-Sq(adj) = 99,9% Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression 1 4,6264 4,6264 17481,24 0,000 Residual Error 18 0,0048 0,0003

Total 19 4,6312

Data Simulasi 6

Welcome to Minitab, press F1 for help. MTB > Regress 'Y' 1 'X';

SUBC> Constant; SUBC> Brief 2.

Regression Analysis: Y versus X

The regression equation is Y = 9,67 + 0,00383 X

Predictor Coef SE Coef T P Constant 9,67358 0,00135 7161,46 0,000 X 0,00383446 0,00001033 371,02 0,000 S = 0,00284936 R-Sq = 100,0% R-Sq(adj) = 100,0% Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression 1 1,1176 1,1176 137655,63 0,000 Residual Error 18 0,0001 0,0000

(3)

Data Simulasi 7

Welcome to Minitab, press F1 for help. MTB > Regress 'Y' 1 'X';

SUBC> Constant; SUBC> Brief 2.

Regression Analysis: Y versus X

The regression equation is Y = 36,6 + 0,00431 X

Predictor Coef SE Coef T P Constant 36,5682 0,0454 805,63 0,000 X 0,00431044 0,00003871 111,34 0,000 S = 0,139386 R-Sq = 99,9% R-Sq(adj) = 99,8% Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression 1 240,84 240,84 12396,45 0,000 Residual Error 18 0,35 0,02

Total 19 241,19

Data Simulasi 8

Welcome to Minitab, press F1 for help. MTB > Regress 'Y' 1 'X';

SUBC> Constant; SUBC> Brief 2.

Regression Analysis: Y versus X

The regression equation is Y = 51,5 + 0,000463 X

Predictor Coef SE Coef T P Constant 51,5441 0,0010 50726,15 0,000 X 0,00046286 0,00000064 719,32 0,000 S = 0,00306116 R-Sq = 100,0% R-Sq(adj) = 100,0% Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression 1 4,8486 4,8486 517424,54 0,000 Residual Error 18 0,0002 0,0000

(4)

Data Simulasi 9

Welcome to Minitab, press F1 for help. MTB > Regress 'Y' 1 'X';

SUBC> Constant; SUBC> Brief 2.

Regression Analysis: Y versus X

The regression equation is Y = 83,0 + 0,0102 X

Predictor Coef SE Coef T P Constant 82,9571 0,0513 1618,21 0,000 X 0,0101984 0,0000519 196,45 0,000 S = 0,162424 R-Sq = 100,0% R-Sq(adj) = 100,0% Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression 1 1018,1 1018,1 38590,84 0,000 Residual Error 18 0,5 0,0

Total 19 1018,6

Data Simulasi 10

Welcome to Minitab, press F1 for help. MTB > Regress 'Y' 1 'X';

SUBC> Constant; SUBC> Brief 2.

Regression Analysis: Y versus X

The regression equation is Y = 77,9 + 0,00771 X

Predictor Coef SE Coef T P Constant 77,8938 0,0513 1519,15 0,000 X 0,00770742 0,00004490 171,67 0,000 S = 0,180891 R-Sq = 99,9% R-Sq(adj) = 99,9% Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression 1 964,34 964,34 29471,27 0,000 Residual Error 18 0,59 0,03

(5)

Tabel Distribusi t (df = 1-40)

df

0.25

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

0.001

1 1.00000

3.07768

6.31375

12.70620

31.82052

63.65674

318.30884

2 0.81650

1.88562

2.91999

4.30265

6.96456

9.92484

22.32712

3 0.76489

1.63774

2.35336

3.18245

4.54070

5.84091

10.21453

4 0.74070

1.53321

2.13185

2.77645

3.74695

4.60409

7.17318

5 0.72669

1.47588

2.01505

2.57058

3.36493

4.03214

5.89343

6 0.71756

1.43976

1.94318

2.44691

3.14267

3.70743

5.20763

7 0.71114

1.41492

1.89458

2.36462

2.99795

3.49948

4.78529

8 0.70639

1.39682

1.85955

2.30600

2.89646

3.35539

4.50079

9 0.70272

1.38303

1.83311

2.26216

2.82144

3.24984

4.29681

10 0.69981

1.37218

1.81246

2.22814

2.76377

3.16927

4.14370

11 0.69745

1.36343

1.79588

2.20099

2.71808

3.10581

4.02470

12 0.69548

1.35622

1.78229

2.17881

2.68100

3.05454

3.92963

13 0.69383

1.35017

1.77093

2.16037

2.65031

3.01228

3.85198

14 0.69242

1.34503

1.76131

2.14479

2.62449

2.97684

3.78739

15 0.69120

1.34061

1.75305

2.13145

2.60248

2.94671

3.73283

16 0.69013

1.33676

1.74588

2.11991

2.58349

2.92078

3.68615

17 0.68920

1.33338

1.73961

2.10982

2.56693

2.89823

3.64577

18 0.68836

1.33039

1.73406

2.10092

2.55238

2.87844

3.61048

19 0.68762

1.32773

1.72913

2.09302

2.53948

2.86093

3.57940

20 0.68695

1.32534

1.72472

2.08596

2.52798

2.84534

3.55181

21 0.68635

1.32319

1.72074

2.07961

2.51765

2.83136

3.52715

22 0.68581

1.32124

1.71714

2.07387

2.50832

2.81876

3.50499

23 0.68531

1.31946

1.71387

2.06866

2.49987

2.80734

3.48496

24 0.68485

1.31784

1.71088

2.06390

2.49216

2.79694

3.46678

25 0.68443

1.31635

1.70814

2.05954

2.48511

2.78744

3.45019

26 0.68404

1.31497

1.70562

2.05553

2.47863

2.77871

3.43500

27 0.68368

1.31370

1.70329

2.05183

2.47266

2.77068

3.42103

28 0.68335

1.31253

1.70113

2.04841

2.46714

2.76326

3.40816

29 0.68304

1.31143

1.69913

2.04523

2.46202

2.75639

3.39624

30 0.68276

1.31042

1.69726

2.04227

2.45726

2.75000

3.38518

31 0.68249

1.30946

1.69552

2.03951

2.45282

2.74404

3.37490

32 0.68223

1.30857

1.69389

2.03693

2.44868

2.73848

3.36531

33 0.68200

1.30774

1.69236

2.03452

2.44479

2.73328

3.35634

34 0.68177

1.30695

1.69092

2.03224

2.44115

2.72839

3.34793

35 0.68156

1.30621

1.68957

2.03011

2.43772

2.72381

3.34005

36 0.68137

1.30551

1.68830

2.02809

2.43449

2.71948

3.33262

37 0.68118

1.30485

1.68709

2.02619

2.43145

2.71541

3.32563

38 0.68100

1.30423

1.68595

2.02439

2.42857

2.71156

3.31903

39 0.68083

1.30364

1.68488

2.02269

2.42584

2.70791

3.31279

(6)