dengan k adalah jumlah variabel bebas dan n adalah banyaknya data. Aturan pengambilan keputusan untuk uji F adalah:
Jika diketahui model regresi dengan k variabel =
+
1 1
+
2 2
+ +
+ �
Untuk menguji hipotesis �
:
1
=
2
= =
= 0 �
1
: tidak semua koefisien kemiringan secara simultan adalah nol. Statistik uji:
= =
+ 1 − 1 − + 1
Jika + 1 − 1, − + 1 , dengan
merupakan derajat
kepercayaan, maka �
ditolak yang artinya semua variabel independen secara simultan berpengaruh signifikan terhadap variabel dependen.
Terdapat hubungan yang erat antara koefisien determinasi dan uji F yang digunaan dalam uji varians. Diasumsikan bahwa
� berdistribusi normal dan hipotetis nol adalah
1
=
2
= =
= 0 3.3.8
maka dapat dilihat bahwa: =
=
+1 −1 − +1
Agar hubungan
2
dan uji F dapat terlihat jelas, maka persamaan 3.3.7 dimanipulasi sedemikian sehingga:
= − + 1
+ 1 − 1 =
− + 1 + 1 − 1
−
= − + 1
+ 1 − 1 1 −
= − + 1
2
+ 1 − 1 1 −
2
F
=
2
+1 −1 1
−
2
− +1
3.3.9
dimana digunakan definisi bahwa
2
= ESSTSS. Pada persamaan 3.3.8, ketika
2
= 0 maka nilai F adalah nol dan semakin besar nilai
2
maka semakin besar nilai F. tetapi jika nilai
2
= 1, maka nilai F tak terhingga. Jadi, uji F yang mana mengukur keseluruhan signifikansi dari regresi yang diestimasi, juga merupakan
sebuah uji signifikansi dari
2
. Dengan demikian, pengujian hipotesis dalam persamaan 3.3.8 adalah sama dengan pengujian hipotesis nol yang menyatakan
bahwa
2
adalah nol. Aturan pengujian signifikansi keseluruhan sebuah regresi berganda
berdasarkan
2
adalah: jika diketahui model regresi dengan variabel k
= +
1 1
+
2 2
+ +
+ �
untuk menguji hipotesis: �
:
1
=
2
= =
= 0 �
1
: tidak semua koefisien determinasi secara simultan adalah nol. Statistik uji: F =
2
+1 −1 1
−
2
− +1
Jika
+1 −1
, −
+1
, maka �
ditolak.
76
BAB IV PENDETEKSIAN DAN PERBAIKAN HETEROSKEDASTISITAS PADA
REGRESI LINIER MENGGUNAKAN METODE WLS DAN TRANSFORMASI VARIABEL
A. Sifat alamiah heteroskedastisitas
Salah satu asumsi penting dalam membuat model regresi linier adalah homoskedastisitas. Homoskedastisitas adalah suatu kondisi dimana varians dari
setiap faktor gangguan �
�
pada setiap variabel penjelas
�
merupakan suatu angka konstan tertentu yang sama dengan
�
2
. Dapat dituliskan,
�. �
�
= �
2
�
2
… �
2
= �
2
1 1
… 1 �. �
�
= �
2
� 4.1.1 Ilustrasi suatu kondisi homoskedastisitas dapat dilihat pada gambar 4.1, yaitu
Gambar 4.1 Homoskedastisitas
Tabungan
Pendapat
Sebaliknya jika ada varians dari faktor gangguan �
�
yang tidak sama pada setiap variabel penjelas
�
, maka kondisi ini dinamakan heteroskedastisitas. Dapat juga dituliskan,
�. �
�
= �
1 2
�
2 2
… �
2
= �
2
�
1
�
2
… � �. �
�
= �
2
� � = 1, 2, … , 4.1.2 � merupakan matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonalnya tidak
semuanya sama dengan satu serta bernilai positif. Indeks � menunjukkan bahwa
varians kondisional �
�
tidak lagi sama. Jika diilustrasikan dengan gambar, maka:
Gambar 4.2 Heteroskedastisitas
Contoh kasus yang dapat menyatakan kondisi adanya heteroskedastisitas adalah pada penelitian untuk melihat pengaruh omset terhadap laba. Perbedaan
laba yang didapat antara perusahaan –perusahaan yang tergolong beromset kecil
Omset
Laba
tentunya tidak akan besar. Berbeda dengan perusahaan-perusahaan yang tergolong beromset besar, perbedaan tentu akan lebih besar. Perusahaan yang lebih efisien
dan efektif akan berhasil menekan biaya produksi, tentunya akan mempunyai peluang untuk mendapatkan laba lebih besar dibanding perusahaan yang dikelola
kurang baik. Heteroskedastisitas dapat disebabkan karena adanya tehnik pengambilan
data yang semakin baik, hal ini berdampak �
� 2
akan mengecil. Sebaliknya jika tehnik pengambilan data semakin buruk, maka akan berdampak
�
� 2
akan semakin besar. Misalnya dalam penelitian tingkat kesalahan laporan bulanan pada bank di
Yogyakarta. Bank yang mempunyai peralatan pemrosesan data yang canggih dan semakin baik nampaknya akan mempunyai kesalahan yang lebih kecil dalam
laporan bulanan atau kuartalan untuk langganan mereka dibandingkan dengan bank yang tidak memiliki peralatan seperti itu.
B. Konsekuensi Keberadaan Heteroskedastisitas
Untuk mengetahui bagaimana yang terjadi pada estimator-estimator OLS jika memiliki kondisi heteroskedastisitas dimana
�. �
�
= �
2
� tetapi dengan mempertahankan asumsi yang lain adalah dengan kembali pada model regresi:
�
= +
1 �1
+
2 �2
+ +
�
+ �
�
� = 1, 2, … , 4.2.1 dalam notasi matriks dapat dituliskan:
= � + � 4.2.2
penaksir
� yang diperoleh dari persamaan 4.2.2 adalah
� =
� −
�
Jika metode OLS tetap digunakan dalam model regresi linier dengan heteroskedastisitas tanpa mengatasi heteroskedastisitas tersebut terlebih dahulu,
maka nilai penaksir � tetap linier dan tidak bias karena untuk membuktikan
bahwa penaksir � bersifat linier dan tidak bias, faktor gangguan �
� 2
tidak perlu bersifat homoskedastik. Hal ini dapat dilihat seperti pada bab 3 mengenai
pembuktian sifat-sifat penaksir, yaitu: Pertama untuk menunjukkan penaksir
� linier, diketahui
� =
� −
�
karena persamaan 3.2.4, yaitu =
� + � maka � =
� −
�
� + � =
� −
�
� +
� −
�
�
karena
� −
�
=
�, maka
� = � +
� −
�
� , persamaan tersebut menunjukkan bahwa penaksir �
tetap linier. Kedua untuk menunjukkan bahwa penaksir
� adalah tidak bias, maka sesuai
persamaan 3.2.28, diperoleh � = � +
� −
�
� =
� +
� −
�
� =
� +
� −
� karena sesuai asumsi 1
� = 0, maka � = � , menunjukkan bahwa penaksir � merupakan penaksir yang tidak
bias.
Meskipun penaksir
� tetap linier dan tidak bias, tetapi penaksir � tidak
memiliki varians yang minimum, hal ini dapat dilihat dari: � = � − � � − �
=
� −
�
�
� −
�
� =
� −
�
��
� �
−
= [
� −
�
� �
� �
� −1
] =
� −
�
��
� �
−
=
� −
�
� ��
� �
−
karena dalam kondisi heteroskedastisitas maka �. �
�
= �
2
�, sehingga
� =
� −
�
�
2
�
� −
4.2.3
Persamaan 4.2.3 berbeda dengan rumus varians yang didapatkan ketika asumsi homoskedastisitas terpenuhi seperti dalam persamaan 3.2.20 yaitu
� = �
2 �
−
Atau dengan kata lain, varians pada persamaan 3.2.20 merupakan varians terbaik yang diperoleh dari OLS, sedangkan persamaan 4.2.2 berbeda dengan 3.2.20
karena merupakan persamaan variansi yang terkondisi heteroskedastisitas.
C. Cara Pendeteksian Keberadaan Heteroskedastisitas
Heteroskedastisitas dapat dideteksi menggunakan dua metode yaitu metode grafik dan metode uji Rank Spearman. Cara yang dapat digunakan untuk
mendeteksi adanya heteroskedastisitas adalah dengan melihat ada tidaknya pola tertentu pada grafik, dimana sumbu X adalah Y yang diprediksi, dan sumbu Y
adalah residual.