7 reproduksinya. Hal ini berdasarkan fakta bahwa terdapat peluang wanita
meninggal sebelum ia mengakhiri masa reproduksinya. Dengan demikian NRR dapat dinyatakan sebagai:
x S
GRR NRR
w
= x
S f
NRR
w k
h x
t w
x
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
∑
= ,
dengan ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
=
∫
x y
w
dy x
S exp
μ merupakan peluang bayi wanita hidup sampai
umur x.
3.2 Model Pertumbuhan Penduduk
3.2.1 Model Penduduk Stabil Brown 1997
Jika Bt merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan Btdt merupakan jumlah kelahiran dalam selang waktu sangat pendek yaitu t ke t + dt,
maka jumlah kelahiran bayi dalam satu tahun adalah:
∫
=
1
dt t
B B
1 Misalkan Bt menyatakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan Bt+n
merupakan jumlah kelahiran dalam selang waktu dari t ke t+n maka jumlah bayi pada waktu t+n dapat dituliskan :
b
nr
e t
B n
t B
= +
2 Dimana r
b
adalah laju kelahiran bayi, r
b
≠ , dan n 0 adalah waktu. Bukti:
t t
B r
t B
t t
B
b
Δ +
= Δ
+
dt dB
t B
r t
t B
t B
t t
B r
t t
B t
B t
t B
r
b t
b b
1 lim
= Δ
− Δ
+ =
Δ −
Δ +
=
→ Δ
8
b b
nr nr
b b
n t
t n
t t
b n
t t
n t
t b
e t
B n
t B
t B
n t
B e
t B
n t
B t
r n
t r
s B
t r
s dB
s B
dt r
ln |
ln |
1
= +
+ =
− +
= −
+ =
=
+ +
+ +
∫ ∫
■
Bukti tersebut menunjukkan bahwa jumlah kelahiran per tahun dipengaruhi oleh laju kelahiran bayi r
b
. Jika
r
b
adalah laju kelahiran bayi per tahun maka laju pertumbuhan penduduk r
p
pada penduduk stabil adalah sama dengan laju kelahiran bayi. Bukti:
Misalkan Pt merupakan jumlah penduduk pada waktu t, dan Bt
merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t, berdasarkan persamaan 2 maka jumlah kelahiran pada waktu t-x adalah:
x r
b
e t
B x
t B
−
= −
3 dan jumlah penduduk yang lahir pada waktu t-x bayi umur nol sampai umur x
pada waktu t adalah x
S x
t B
− , dengan Sx adalah peluang bayi hidup sampai
umur x. Jumlah penduduk yang hidup pada selang waktu t ke t + dt adalah jumlah bayi yang lahir pada waktu t-x dikalikan dengan peluang bayi hidup sampai umur
x, dan dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut: dx
x S
x t
B dx
t F
x
− =
4 Dengan demikian total penduduk wanita pada waktu t adalah
∫
∞
= dx
t F
t P
x
∫ ∫
∫
∞ −
∞ ∞
= −
= −
=
dx x
S e
t B
dx x
S x
t B
dx x
S x
t B
x r
b
5
9 dan total penduduk wanita pada waktu t+n adalah:
∫
∞ −
+ =
+ dx
x S
e n
t B
n t
P
x r
b
6 Sx pada persamaan 5 sama dengan Sx pada persamaan 6 dan dari
persamaan 2
n r
b
e t
B n
t B
= +
, maka diperoleh
∫
∞ −
= +
dx x
S e
e t
B n
t P
x r
n r
b b
n r
x r
n r
b b
b
e t
P dx
x S
e t
B e
= =
∫
∞ −
7 Dari hasil di atas terbukti bahwa laju pertumbuhan penduduk r
p
merupakan laju kelahiran bayi r
b
itu sendiri, dan dari persamaan 2 dan 7 terbukti bahwa Pt dapat dinyatakan sebagai Bt
Untuk selanjutnya akan dituliskan r sebagai laju pertumbuhan penduduk intrinsik model pertumbuhan penduduk stabil. Sehingga dalam model penduduk
stabil persamaan 2 dapat dituliskan sebagai:
nr
e t
B n
t B
= +
8
Jumlah penduduk pada suatu selang umur berubah sepanjang waktu, tetapi proporsi penduduk pada selang tersebut tidak berubah.
Bukti: Dari persamaan 4 dimana diketahui bahwa jumlah penduduk umur x
sampai x + dx pada waktu t adalah F
x
t dx, dan total penduduk pada waktu t adalah Pt, maka proporsi penduduk stabil umur x sampai x + dx pada waktu t
adalah:
∫
∞ −
−
= dx
x S
e t
B dx
x S
e t
B t
P dx
t F
rx rx
x
9
10 Karena Bt bukan fungsi x, maka persamaan 9 menjadi:
∫
∞ −
−
= dx
x S
e x
S e
t P
dx t
F
rx rx
x
10
Persamaan 10 di atas menyatakan bahwa proporsi penduduk pada suatu selang umur tertentu bukanlah merupakan fungsi dari t, sehingga terbukti proporsi
penduduk pada selang tersebut tidak berubah. Jika
B0 adalah jumlah bayi yang lahir pada waktu t = 0, maka jumlah penduduk umur 0, 1, 2, ..., x pada waktu t = 0 dapat dituliskan dalam tabel
berikut: Umur
Waktu t = 0 Bayi
B0 B0S0
1 B0 e
-r
S1 2
B0 e
-2r
S2 M
M x
B0 e
-xr
Sx Tabel di atas menunjukkan bahwa jumlah penduduk untuk waktu t = 0
dipengaruhi oleh laju pertumbuhan penduduk r, jumlah kelahiran B0, dan mortalitas yaitu Sx.
Berikut akan dituliskan salah satu hal yang penting dalam model penduduk stabil, yaitu persamaan karakteristik penduduk stabil. Dari persamaan 3 dan 4
diperoleh jumlah penduduk wanita, jika diasumsikan sebagai populasi wanita yang hidup pada umur x saat waktu t:
Wanita pada persamaan tersebut memiliki fungsi fertilitas yang dituliskan sebagai , sehingga tingkat kelahiran pada waktu t diberikan sebagai:
Jika diintegralkan terhadap x untuk tingkat kelahiran populasi saat waktu t menghasilkan:
11 11
dengan membagi Bt diperoleh: 12
Jika dan adalah batas bawah dan batas atas dari umur produktif, sehingga untuk x
α atau x β, maka persamaan 12 dapat dituliskan sebagai berikut:
13
3.2.2 Pendugaan GRR dengan Metode Rele
