Fungsi konvek Titik Ekstrim

Setelah diubah kedalam bentuk umum bentuk kuadratik, maka dapat diketahui matrik A dari bentuk tersebut. Matrik A untuk bentuk kuadrat diatas adalah A = 7 2 1 2 10 2 1 2 7               . Dari matrik A ini akan ditentukan nilai eigen dari bentuk kuadrat 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3 7 10 7 4 2 4 f x x x x x x x x x x       . 7 2 1 2 10 2 1 2 7            Untuk mencari nilai eigen matriks diatas, terlebih dahulu akan dihitung determianan dari   I A   dengan metode Sarrus, sehingga diperoleh: Det   I A   =   7   10 2 2 7       - -2 2 2 1 7     - 1 2 10 1 2     Det   I A   = 3 2 24 180 432        atau 2 6 12 0      Dari faktor diatas, didapat nilai eigen untuk bentuk kuadratik diatas adalah 6, 6, dan 12. Semua nilai eigen yang didapat bernilai positif, maka bentuk kuadratik 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3 7 10 7 4 2 4 f x x x x x x x x x x       adalah bentuk kuadratik yang definit positif.

2.3 Fungsi konvek

Beberapa definisi dibawah ini akan menjelaskan tentang fungsi konvek beserta hubungannnya dengan himpunan konvek yang telah dijelaskan diatas. Definisi 2.3. Mital, K.V 1983. Andaikan n x K   dimana K adalah himpunan konveks. Fungsi fx dikatakan konveks jika untuk setiap dua titik 1 x dan 2 x dalam K berlaku : 1 2 1 2 f1 - x + x 1 - fx + fx ,0 1         Gambar 2.2 Grafik Fungsi Konvek 2 f x x  Sebagai contoh, fungsi 2 f x x  adalah sebuah fungsi konvek. Hal ini dapat dilihat dari kombinasi liner konvek 1 2 1 - fx + fx   yang digambarkan sebagai titik pada tali busur yang menghubungkan 1 fx A  dan 2 fx B  , serta 1 1 2 fx + fx C     adalah titik yang menghubungkan 1 fx dan 2 fx . Terlihat pada gambar bahwa kombinasi liner konvek 1 2 1 - fx + fx   selalu berada diatas 1 2 f 1- x + x   , hal ini mengakibatkan nilai dari 1 1 2 1 2 f x + x 1- fx + fx       . Maka fungsi 2 f x x  adalah fungsi konvek. Pada pembahasan diatas telah dijelaskan bagaimana sebuah sifat bentuk kuadratik yang memenuhi definit positif, semidefinit positif, definit negatif dan semidefinit negatif. Selanjutnya, teorema-teorema dibawah ini akan menjelaskan jika sebuah fungsi yang semidefinit positif adalah sebuah fungsi konvek. Teorema 2.2. Mital, K.V 1983. Diberikan n x  dan fx = x Ax adalah sebuah bentuk kuadratik. Jika fx adalah semidefinit positif , maka fx adalah fungsi konvek. Bukti : Misal 1 x dan 2 x adalah dua titik pada n dan 1 2 1 x x x      , 0 λ 1   . Karena f x x Ax  adalah semidefinit positif, maka nilai x Ax  untuk semua n x  . 1 2 1 f x f x f x      1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 x Ax x Ax x x A x x               1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 x Ax x Ax x Ax x A x A x x x               2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 x Ax x Ax x Ax x Ax x Ax               1 2 2 2 1 2 1 2 x Ax x Ax x Ax       1 2 1 2 1 A 0. x x x x        Karena 0 1    dan 1 2 x x  adalah vektor pada n maka : 1 2 1- + f x f x f x    . Karena nilai 1 2 1- + f x f x f x    , maka fungsi fx adalah fungsi konvek.

2.4 Titik Ekstrim

Titik ektrim suatu fungsi dapat berupa titik maksimal minimal global atau maksimalminimal lokal yang dijelaskan pada definisi berikut : Definisi 2.4. Mital, K. V 1983. Fungsi fx mempunyai titik minimal global pada dalam n jika untuk semua x dalam n , fx ≥ f . Untuk titik maksimal global pertidaksamaannya bertanda sebaliknya. Definisi berikut ini akan memberikan uraian tentang peminimum lokal dari suatu fungsi. Definisi 2.5. Mital, K.V, 1983. Fungsi fx mempunyai titik minimal lokal atau relatif pada dalam n jika terdapat � dipersekitaran dari , sedemikian sehingga fx ≥ f untuk semua x anggota persekitaran itu. Untuk titik maksimal lokal atau relatif pertidaksamaannnya bertanda sebaliknya . Dari definisi diatas, jelas terlihat bahwa nilai maksimum global akan lebih besar atau sama dengan nilai maksimum lokal. Sedangkan nilai minimum global akan lebih kecil atau sama dengan nilai minimum lokal. Teorema dibawah ini akan menunjukan bahwa nilai minimum lokal dari sebuah fungsi konvek juga merupakan nilai minimum global fungsi tersebut. Teorema 2.3. Mital, K.V 1983. Andaikan n K  adalah himpunan konvek, jika x K  dan fx adalah fungsi konvek. Jika fx memiliki nilai minimum lokal, maka nilai itu juga merupakan nilai minimum global. Jika fx memiliki nilai minimum lokal dibeberapa titik, maka nilai minimum global dicapai oleh kombinasi linier dari titik-titik tersebut. Bukti : Misalkan fx memiliki nilai minimum relatif di x , dengan 1 x K  . Untuk semua  maka dapat dipilih  , 1    , sehingga terdapat: 1 x= x + 1- x   yang berada di sekitar  di x . Dengan menggunakan definisi relative minimum, didapat fx fx   1 fx f x + 1- x    1 fx + 1 - fx    {karena fx konvek}  1 1- fx 1- fx     1 fx fx  , karena 1   positif  fx adalah minimum global. Jika terdapat titik y dimana minimum itu dicapai, maka: fx = fy . Karena K adalah salah satu titik didalam K, maka jika berlaku di 1 x juga belaku pada 1 y . Sehingga diperoleh x 1 y f x f      x 1 y y f f f       x 1 y f x f      . Dari penjabaran diatas dapat dilihat bahwa, nilai minimum juga berlaku pada kombinasi linier konvek dari x dan y . Sehingga himpunan titik dimana fx minimum adalah himpunan minimum konvek dan merupakan kombinasi linier dari titik tersebut. Selain beberapa teori yang telah dijabarkan diatas, dibutuhkan teori lain sebagai pendukung untuk menentukan portofolio optimal. Teori tersebut adalah teori tentang nilai harapan. Pada pembahasan mengenai resiko portofolio akan dicari nilai harapan dari masing-masing sekuritas dan nilai harapan portofolio, untuk itu akan dibahas terlebih dahulu tentang nilai harapan.

2.5 Nilai Harapan