Satuan sudut : derajat, menit busur dan detik busur Satuan sudut : radian rad

4

III. Satuan sudut : derajat, menit busur dan detik busur

Ukuran besar kecil sebuah sudut dinyatakan dengan unit derajat dengan simbol °, menit busur dengan simbol dan detik busur dengan simbol . Pada sebuah lingkaran, pusat lingkaran merupakan vertex dan garis yang dibentuk dari pusat ke setiap titik pada keliling lingkaran merupakan garis acuan dan garis terminal. Pada lingkaran ukuran sudut satu derajat 1 ° merupakan besar sudut yang diliput oleh busur lingkaran sebesar 1360 kali keliling lingkaran. Sedangkan satu menit busur 1 didefenisikan 160 derajat 160 ° dan satu detik busur 1 didefenisikan 13600 derajat atau 160 menit busur 160 ′. Jadi ukuran sudut dalam orde menit busur maupun detik busur merupakan ukuran yang sangat kecil bila dibanding dengan ukuran sudut yang sering dijumpai dalam keperluan hidup sehari-hari. Begitupula tidak mudah mengukurnya. Sudut-sudut kecil tidak mudah digambarkan, penggambarannya hanya untuk memudahkan dalam memahami konsep. Secara umum dapat dirumuskan antara panjang busur, sudut busur dan radius lingkaran yang melingkupinya. Bila l adalah panjang busur pada keliling lingkaran dengan radius R maka busur S adalah: Gambar 5. Lingkaran dengan jari-jari R, panjang busur l, dan busur S. = 360 2 = 3,1415927 … Contoh soal, misalnya menghitung besar busur S, bila diketahui l = ¼ keliling lingkaran dengan radius R atau l = ¼ 2 πR. Berapa besar busur S ? Jawab: = 360 2 5 = 2 , maka = 1 4 2 360 2 = 90 Untuk mempertajam pemahaman tentang sudut siswa dapat dipersilahkan mencoba menyelesaikan soal-soal latihan, contoh soal latihan: 1. Diketahui radius lingkaran, R = 10 cm, berapa besar busur S bila diketahui panjang busur l = 20 cm? [Pergunakan pemahaman tentang sudut dan rumus = dan π = 3.1415927…] 2. Bila busur S adalah 30′ tiga puluh menit busur dan radius R = 150 juta km berapa panjang busur l ? 3. Hitung masing-masing S bila diketahui l = 112 R, l = 1100 R , l = 3 R ?

IV. Satuan sudut : radian rad

Ukuran sudut lainnya adalah radian rad dan didefenisikan satu radian 1 rad ekivalen dengan sudut yang dilingkup busur lingkaran dengan panjang busur sama dengan panjang radius lingkaran R. Tabel 1. Hubungan sudut antara derajat dan radian. π rad = 180° 1 rad = 57 °,2957795 1 ° = 0,0174532925 rad 1 ° = 60 ′ 1 ′ = 60 ″ 1 rad ≅ 206265 ″ 6 Hubungan antara derajat dan radian adalah: 1 rad = R2 πR x 360° atau π rad = 180° pi radian sama dengan seratus delapan puluh derajat. = 1 π x 180° = = 57°1744,806 satu radian sama dengan lima puluh derajat tujuh belas menit busur empat puluh empat koma delapan kosong enam detik busur. = π180 rad = 3,1415927180 rad = satu derajat sama dengan nol koma nol satu tujuh empat lima tiga dua sembilan dua lima radian. Hubungan Derajat °, menit busur ′, detik busur ″ dan Radian rad adalah: 1 ° = 60′ satu derajat sama dengan enam puluh menit busur, 1′= 60″ satu menit busur sama dengan enam puluh detik busur, 1 ° = 60 x 60″ = 3600″ satu detik busur sama dengan tiga ribu enam ratus detik busur, untuk besar sudut lainnya, misalkan 180 °, 180° = 180 x 3600 ″ = 648000″. Kita juga bisa menghitung kebalikan dari hubungan detik busur, menit busur, dan derajat, 1 ″ = 160′ = 13600°. 180 ° = π rad, 1 rad = 180 x 60 ′ π = 180 x 3600 ″ π ≅ 206265 ″ satu radian ekivalen dengan dua nol enam dua enam lima radian. Untuk kebalikannya, 1 ″ = 1206265 rad. Untuk besar sudut lebih kecil dari detik busur, 1 milidetik busur = ″.001 = 10 −3 ″, 1 mikro detik busur = 0″.000 001 = 10 −6 ″, dan 1 nano detik busur = ″.000 000 001 10 −9 ″. Perhitungan sudut radian memerlukan perhitungan dengan angka yang rumit, angka bisa dalam satuan yang sangat kecil, oleh karena itu diperlukan alat bantu kalkulator atau mesin hitung yang cermat sekali. Melihat dari kecermatan yang diperlukan dalam perhitungan sudut kecil tersebut maka latihan soal sangat dianjurkan menggunakan kalkulator atau mesin hitung yang mempunyai kecermatan yang tinggi hingga 9 digit dibelakang koma untuk menghindari kesalahan pembulatan oleh mesin hitung, terutama kalau memperhitungkan sudut yang sangat kecil menit atau detik busur. Contoh: a ¼ x 36° 25′ 24″ = ¼ x 36° + 25°60 + 24°3600 = ¼ x 2160′ + 25′ + 0′,4 = 9°,10583333 b ¼ x 36° 25′ 24″ = ¼ x 36 x 60′ + 25′ + 24′60 = 546′,35 c ¼ x 36° 25′ 24″ = ¼ x 36 x 3600″ +25 x 60″ +24″ = ¼ x 129600″+1500″+24″ 7 = 32781″ d a 5400″ = .... o :…. ′ : ….″ derajat = int 54003600 o = int 1,5 o = 1 o , menit busur = int[5400 – int54003600 x 3600]60 ′ = 30′, detik busur = 5400 – der x 3600 – men x 60 = 0 ″, = 1° 30′00″. Catatan: int = integer bilangan bulat, contoh : int32 = int1,5 = 1, int 52 = int2,5 = 2, int43 = int1,33 = 1, int34 = int0,75 = 0, dst. e 2000′ = .... o :…. ′ : ….″ derajat= int 200060 ° = 33° , menit busur = int 2000 - int 200060 x 60 ′ = 20′, detik busur = 2000 – der x 60 – men x 60 = 0 ″, = 33° 20′ 0″ f 10° = 10 x 0,0174532925 rad = 0,174532925 rad g 1″ = 13600 x 0,0174532 rad = 4,84813 x 10 −6 rad = 0,00000484813681109526 rad h 1′ = 0.000 290 888 208 666 rad i 2π rad = 360° = 360 x 60′ = 21600′ = 360 x 3600″ 8 = 1296000″ Contoh bentuk soal latihan untuk pendalaman: 1. Satu derajat hampir sama dengan a 0,1 radian b 100 radian c 60 radian d 3600 radian e 0,01745 radian Jawaban: Defenisi Satuan radian 1 rad ekivalen dengan sudut yang dilingkup busur lingkaran dengan panjang busur sama dengan panjang radius lingkaran R. Bilangan = 3,141592654 atau untuk pendekatan nilai bilangan = 227, keliling lingkaran dengan radius jari-jari R adalah 2 πR. 1 rad = R2πR x 360° atau π rad = 180° atau 1 rad = 1 π x 180° = 57°,2957795 = 57°1744,806. Karena 180° = π rad maka 1 ° = π180 rad = 3,1415927180 rad = 0,0174532925 rad [ jawab: e] 2. Satu radian sama dengan a 206265 detik busur b 100000 detik busur c 3600 menit busur d 60 derajat e 648000 detik busur Jawaban: Defenisi Satuan radian 1 rad ekivalen dengan sudut yang dilingkup busur lingkaran dengan panjang busur sama dengan panjang radius lingkaran R. Bilangan π = 3,141592654 atau untuk pendekatan nilai bilangan π = 227, keliling lingkaran dengan radius jari-jari R adalah 2 πR. 1 rad = R2πR x 360° atau π rad = 180° atau 1 rad = 1 π x 180° = 57°,2957795 = 57°1744,806. 1 radian = 180 o π = 57 o ,29577951 = 3437,746771 = 206264,8063 atau sering dipergunakan angka pembulatan 206265. [ jawab: a] 3. Diameter sudut Bulan 30 menit busur atau ekivalen dengan a 873100000 radian b 3100000 radian 9 c 1800 100000 radian d 540 100000 radian e 976100000 radian Jawaban: Karena 180 o = π rad maka 1° = π180 rad = 3,1415927180 rad = 0,0174532925 rad maka 30 atau 30 menit busur = 3060 derajat = 0 o ,5 = 0,5 x 0,0174532925 rad = 0,00872664626 rad atau sekitar 873100000 radian [jawab: a] V.Bilangan π π π π pi Bilangan π didefenisikan sebagai keliling lingkaran dibagi dengan garis tengah lingkaran. Al–Kashi 1436M Matematikawan di Observatorium Ulug Beg di Samarkand-Asia Tengah, mengembangkan teorema deret binomial untuk menentukan bilangan π. Bilangan pecahan yang akurat itu dipecahkan mirip dengan metoda dalam analisa numerik. Bilangan π dalam sistem bilangan pecahan sexagesimal adalah : 2 π = 6, 16, 59, 28, 1, 34, 51, 46, 15, 50 dinyatakan dalam sexagesimal, atau 2 π = 6 + 16 60 + 59 60 2 + 28 60 3 + 1 60 4 + . . . 2 π = 6.2831853071795865 . . . π = 3,14159265358979 Untuk keperluan perhitungan numerik bilangan π bisa didefenisikan melalui beberapa cara seperti di atas diantaranya : π2 = 21 23 43 45 65 67 87 89 ………… π =3.1415927 = 21.99149 7 ≈ 22 7 1 = 13600 x 0,0174532 rad = 4,84813 x 10 −6 rad = 1206264,81 rad ≈ 1206265 rad atau 1 rad = 206265 1 = 160 x 0,0174532 rad = 2,90888 x 10 −4 rad = 13437,746873 rad = 13438 rad 10

VI. Konversi besaran sudut dan besaran waktu