29
BAB III METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN
Dalam bab ini akan dibahas mengenai metode dekomposisi Adomian MDA dan penyelesaian beberapa persamaan diferensial parsial baik linear
maupun nonlinear dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian. Beberapa persamaan diferensial parsial tersebut adalah persamaan Burger, persamaan
gelombang air dangkal, persamaan gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik.
A. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Diferensial Parsial
Nonlinear
Dalam bagian ini akan dibahas mengenai penerapan metode dekomposisi Adomian dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial nonlinear yang akan
diawali dengan penyelesaian persamaan diferensial parsial orde pertama dengan menggunakan MDA.
a. MDA untuk Menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial Linear
Orde Pertama
Untuk memberikan gambaran mengenai metode dekomposisi Adomian, maka perhatikan persamaan diferensial linear berikut:
3.1
dengan adalah suatu fungsi yang diasumsikan mempunyai invers, adalah
fungsi diferensial linear dan adalah suku sumber. Dengan mensubsitusikan
fungsi invers pada kedua sisi persamaan 3.1, maka diperoleh:
atau
Lalu dengan mengoperasikan
, diperoleh:
atau
Atau 3.2
dengan adalah suku yang dihasilkan dari proses pengintegralan terhadap suku
sumber .
Metode Adomian mendefinisikan solusi berdasarkan suatu deret
takhingga seperti yang dituliskan berikut, yaitu: ∑
3.3 Selanjutnya, persamaan 3.3 akan disubsitusikan ke persamaan 3.2 dan
diperoleh:
∑ ∑
Atau 3.4
Sehingga diperoleh skema di bawah ini:
3.5
atau
3.6
Setelah menentukan lalu akan disubsitusikan ke persamaan
3.3 untuk memperoleh solusi dalam bentuk deret. Untuk mempermudah dalam memahami konsep metode ini, maka akan
diperhatikan persamaan diferensial parsial orde pertama nonhomogen berikut, yaitu:
3.7 dengan nilai awal sebagai berikut:
3.8 dan
3.9 Misalkan
3.10 dan
3.11 Dalam bentuk operator, maka persamaan 3.7 dapat ditulis sebagai berikut:
3.12 dengan setiap operator di atas diasumsikan dapat diinverskan dan opeator
dan dimisalkan sebagai berikut:
∫ 3.13
dan ∫
3.14 Ini berarti bahwa:
3.15 Dengan mensubsitusikan
pada kedua sisi persamaan 3.12 maka diperoleh:
dengan mengoperasikan , diperoleh:
atau
atau 3.16
Hasil pada persamaan 3.16 di atas diperoleh dengan menggunakan persamaan 3.15 dan dengan nilai awal
. Berdasarkan penjelasan sebelumnya bahwa deret himpunan metode dekomposisi adalah sebagai berikut:
∑ 3.17
Subsitusikan persamaan 3.17 pada kedua sisi persamaan 3.16, sehingga menghasilkan:
∑ ∑
3.18
Atau dapat dituliskan sebagai berikut:
3.19
Adomian mengatakan bahwa suku diidentifikasikan sebagai kondisi awal atau
nilai awal dan ditambah hasil dari untuk kasus ini, dengan keduanya
diasumsikan diketahui. Berdasarkan penjelasan dan hasil yang diperoleh di atas, maka solusi untuk
deret dekomposisi adalah sebagai berikut:
3.20
Hal ini jelas terlihat bahwa keakuratan pendekatan dapat ditingkatkan secara signifikan hanya dengan melakukan iterasi berkali-kali. Sehingga pendekatan
suku ke- untuk dapat ditulis sebagai berikut:
∑ 3.21
Untuk masalah konkret, dimana solusi eksak tidak dapat diperoleh dengan mudah maka akan menggunakan deret terpotong 3.21 untuk memperoleh solusi
pendekatan. Banyak peneliti menunjukkan bahwa jika terdapat solusi eksak dalam
menyelesaikan masalah tertentu maka deret yang diperoleh konvergen sangat cepat ke solusi eksak tersebut. Mengenai konsep konvergensi akan dibahas di Bab
IV.
b. MDA untuk Menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial
Kategori