Turunan Fungsi PERSAMAAN DIFERENSIAL

9

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL

Dalam bab ini akan ditulis mengenai konsep-konsep dasar atau teori-teori dasar dalam penyelesaian tugas akhir ini. Teori-teori dasar tersebut meliputi: turunan fungsi, klasifikasi persamaan diferensial, integral, barisan, deret, deret Taylor, deret Maclaurin dan konvergensi deret Taylor.

A. Turunan Fungsi

Pada subbab ini akan dibahas mengenai turunan fungsi yang meliputi turunan fungsi satu variabel dan turunan fungsi dua variabel. Berikut akan dijelaskan definisi untuk turunan fungsi. Definisi 2.1 Turunan fungsi didefinisikan sebagai: di setiap titik sehingga limit di atas ada dan hingga. Dan jika ada maka fungsi dikatakan terdiferensial atau mempunyai turunan di . Turunan Fungsi Eksplisit Fungsi disebut fungsi eksplisit sebab hubungan antara variabel bebas dengan variabel takbebas diberikan secara eksplisit melalui rumus fungsi . Contoh 2.1 Tentukan turunan dari fungsi . Penyelesaian: Fungsi di atas bukan merupakan fungsi linear, maka dengan menggunakan definisi 2.1, penyelesaiannya adalah sebagai berikut: Turunan Fungsi Implisit Fungsi dikatakan fungsi implisit sebab hubungan antara variabel bebas dan variabel takbebas diberikan secara tidak eksplisit. Dalam mencari turunan untuk fungsi implisit, maka dapat dilakukan dengan 2 cara yaitu dengan mengubah fungsi tersebut menjadi fungsi ekplisit dan dengan menggunakan metode penurunan implisit. Contoh 2.2 Tentukan apabila . Penyelesaian: Cara 1 Penurunan Eksplisit Dengan mengubah menjadi fungsi eksplisit, yaitu sebagai berikut: atau atau Dengan menggunakan Definisi 2.1, kita peroleh: Cara 2 Penurunan Implisit Dengan menurunan kedua ruas terhadap , maka: atau atau atau atau Solusi yang dihasilkan oleh kedua cara di atas terlihat berbeda. Solusi yang diberikan oleh Cara 1 hanya melibatkan , sedangkan solusi yang diberikan oleh Cara 2 melibatkan dan . Namun, ingat bahwa dalam Cara 1 telah diubah fungsi semula ke dalam fungsi eksplisit yaitu dengan mengubah fungsi dalam bentuk dan diperoleh . Lalu dengan mensubsitusikan ke dalam bentuk pada solusi yang dihasilkan oleh Cara 2, maka diperoleh: atau atau Sekarang dapat dilihat bahwa solusi yang dihasilkan oleh Cara 1 dan Cara 2 sudah terlihat sama. Yang harus diperhatikan adalah untuk menentukan turunan dari suatu fungsi tidak harus dikerjakan dengan 2 cara di atas karena tidak semua fungsi dapat di ubah ke dalam bentuk fungsi eksplisit misalnya . Sehingga untuk menentukan turunannya langsung dikerjakan dengan menggunakan penurunan implisit.

B. Klasifikasi Persamaan Diferensial