9
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL
Dalam bab ini akan ditulis mengenai konsep-konsep dasar atau teori-teori dasar dalam penyelesaian tugas akhir ini. Teori-teori dasar tersebut meliputi:
turunan fungsi, klasifikasi persamaan diferensial, integral, barisan, deret, deret Taylor, deret Maclaurin dan konvergensi deret Taylor.
A. Turunan Fungsi
Pada subbab ini akan dibahas mengenai turunan fungsi yang meliputi turunan fungsi satu variabel dan turunan fungsi dua variabel. Berikut akan
dijelaskan definisi untuk turunan fungsi.
Definisi 2.1
Turunan fungsi didefinisikan sebagai:
di setiap titik sehingga limit di atas ada dan hingga. Dan jika
ada maka fungsi
dikatakan terdiferensial atau mempunyai turunan di .
Turunan Fungsi Eksplisit
Fungsi disebut fungsi eksplisit sebab hubungan antara variabel
bebas dengan variabel takbebas diberikan secara eksplisit melalui rumus
fungsi .
Contoh 2.1
Tentukan turunan dari fungsi .
Penyelesaian: Fungsi di atas bukan merupakan fungsi linear, maka dengan menggunakan
definisi 2.1, penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
Turunan Fungsi Implisit
Fungsi dikatakan fungsi implisit sebab hubungan antara
variabel bebas dan variabel takbebas diberikan secara tidak eksplisit. Dalam
mencari turunan untuk fungsi implisit, maka dapat dilakukan dengan 2 cara yaitu dengan mengubah fungsi tersebut menjadi fungsi ekplisit dan dengan
menggunakan metode penurunan implisit.
Contoh 2.2
Tentukan apabila
. Penyelesaian:
Cara 1 Penurunan Eksplisit Dengan mengubah menjadi fungsi eksplisit, yaitu
sebagai berikut:
atau
atau
Dengan menggunakan Definisi 2.1, kita peroleh:
Cara 2 Penurunan Implisit Dengan menurunan kedua ruas terhadap
, maka:
atau
atau
atau
atau
Solusi yang dihasilkan oleh kedua cara di atas terlihat berbeda. Solusi yang diberikan oleh Cara 1 hanya melibatkan
, sedangkan solusi yang diberikan oleh Cara 2 melibatkan
dan . Namun, ingat bahwa dalam Cara 1 telah diubah fungsi semula ke dalam fungsi eksplisit yaitu dengan mengubah fungsi
dalam bentuk dan diperoleh
. Lalu dengan mensubsitusikan ke dalam bentuk
pada solusi yang dihasilkan oleh Cara 2, maka diperoleh:
atau
atau
Sekarang dapat dilihat bahwa solusi yang dihasilkan oleh Cara 1 dan Cara 2 sudah terlihat sama.
Yang harus diperhatikan adalah untuk menentukan turunan dari suatu fungsi tidak harus dikerjakan dengan 2 cara di atas karena tidak semua fungsi dapat di
ubah ke dalam bentuk fungsi eksplisit misalnya . Sehingga
untuk menentukan turunannya langsung dikerjakan dengan menggunakan penurunan implisit.
B. Klasifikasi Persamaan Diferensial