Di mana : m
i
= Nilai setiap sel baris
n
j
= Nilai setiap kolom C
ij
= Biaya transportasi per unit
Adapun langkah-langkah dalam metode MODI adalah : 1 Mentukan nilai m
i
untuk setiap baris dan nilai-nilai n
j
untuk setiap kolom dengan menggunakan hubungan C
ij
= m
i
+ n
j
untuk semua variabel basis dan menentukan nilai m
i
= 0. 2 Menghitung perubahan biaya C
ij
untuk setiap variabel non basis dengan menggunakan rumus C
ij
- m
i
- n
j.
3 Apabila hasil perhitungan terdapat nilai C
ij
negatif, maka solusi belum optimal. Oleh karena itu, dipilih X
ij
dengan nilai C
ij
negatif terbesar sebagai entering variabel.
4 Mengalokasikan sejumlah nilai ke entering variabel X
ij
sesuai dengan proses Stepping Stone dan mengulangi langkah pertama.
2.2 Matriks
Matriks adalah sekumpulan himpunan objek bilangan riil atau kompleks, variabel –
variabel yang disusun secara persegi panjang yang terdiri dari baris dan kolom yang biasanya dibatasi dengan kurung siku atau biasa. Bilangan-bilangan dalam susunan
tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen atau unsur. Jika
sebuah matriks memiliki m baris dan n kolom maka matriks tersebut berukuran ordo m x n. Matriks dikatakan bujur sangkar square matrix jika m = n. Dan skalar
– skalarnya berada di baris ke-i dan kolom ke-j yang disebut ij matriks entri.
mn m
m n
n
a a
a a
a a
a a
a A
2 1
2 22
21 1
12 11
Universitas Sumatera Utara
2.2.1 Invers Matriks
Matrik A memiliki invers jika matrik A non-singular determinan
0 dan rank r = n ,
A
-1
matrik adalah invers dari matrik A. Jika matrik A tidak memiliki invers, maka matrik A disebut singular. Bila matrik A dikalikan dengan matrik A
-1
maka akan menghasilkan matrik identitas I, yaitu suatu matrik yang elemen-elemen diagonalnya
bernilai 1. adj
A A
det 1
1
A
Biasanya untuk matriks berukuran besar yang sering digunakan adalah IA=A
-1
I
2.3 Algoritma Arsham kahn
Sebelum menguraikan langkah-langkah penyelesaian dengan algoritma ini, terlebih dahulu diperkenalkan notasi-notasi yang akan dipergunakan.
PT : persoalan transportasi PL : program linear
SS : stepping-stone GJP : Gauss-Jourdan Pivotting
VB : variabel basis HVB : himpunan variabel basis
FE : fisibelitas BP : baris pivot baris yang ditentukan untuk variabel masuk
KP : kolom pivot kolom yang berhubungan dengan variabel masuk EP : elemen pivot
BT : baris terbuka sebuah baris yang belum diisi variabel basis ; diberi label [?]
[?] : label untuk baris yang belum diisi variabel basis baris terbuka NSK : nilai sebelah kanan
KB : rasio kolom, yakni NSKKP
Universitas Sumatera Utara
Algoritma ini dimulai dengan persiapan dan diikuti oleh dua tahapan. Tahap pertama merupakan iterasi VB untuk membangun HVB yang mungkin fisibel atau
tidak. Tahap kedua merupakan iterasi FE untuk membangun solusi yang fisibel dan optimum. Kedua tahapan ini menggunakan transformasi GJP. Akan tetapi berbeda
dalam metode memilih EP. Iterasi VB menggunakan kriteria simpleks, yang dimodifikasi hanya untuk memilih baris terbuka yang belum diisi VB. Strategi ini
membawa kepada tercapainya titik optimal, dan terkadang menyebabkan ketidakfisibelan. Iterasi FE, jika dibutuhkan, membawa kembali solusi kepada
fisibelitas dengan menggunakan kriteria dual simpleks untuk memilih EP.
Jelas, dalam suatu persoalan transportasi yang setimbang, satu dari m+n konstrain adalah berlebih. Dari pada mengeliminasi konstrain secara sebarang, maka
pada algoritma ini dieliminasi konstrain yang akan lebih banyak memberikan pengurangan jumlah iterasi pada tahap pertama.
Adapun dalam tahapan-tahapan ini masing-masing dapat dikelompokkan berdasarkan operasi yang menambah keefisienan dalam pengerjaannya. Langkah 0.1
dan 0.2 mengeliminasi konstrain yang akan lebih banyak mengurangi jumlah iterasi. Kelompok kedua terdiri dari tiga operasi: 1.2c, 2.2a dan 2.2d, yang bersama-sama
secara progresif mengurangi ukuran tabel.
Iterasi 0 Persiapan
0.0 – Formulasi matriks-biaya PT
0.1 – Reduksi baris-kolom atau reduksi kolom-baris
Dari setiap baris kurangkan terhadap biaya terkecil. Akumulasi pengaruh dari setiap reduksi baris menjadi biaya awal.
Demikian, dari setiap kolom kurangkan terhadap biaya terkecil. Akumulasi pengaruh dari setiap reduksi kolom menjadi biaya awal.
0.2 – Eliminasi konstrain berlebih
Periksa baris atau kolom yang memiliki nilai nol terbanyak Eliminasi konstrain tersebut.
0.3 – Bentuk tabel simpleks
Universitas Sumatera Utara
Gunakan sebuah baris untuk setiap konstrain dan sebuah kolom untuk setiap variabel.
Jangan menambahkan variabel artificial 0.4
– Tentukan HVB Untuk setiap kolom yang merupakan vektor satuan, beri label baris dengan
nama variabel pada kolom tersebut. Beri label baris yang lain dengan tanda tanya ?.
0.5 – Hapus kolom VB.
Iterasi 1 Tahap VB
1.0 – Uji terminasi iterasi HVB
Jika terdapat label ? atau terdapat baris terbuka, maka lanjutkan iterasi VB. Jika tidak HVB telah lengkap; mulai tahap FE langkah 2.0.
1.1 – Pilih VB dari EP
KP : Pilih nilai C
ij
terkecil dan tetapkan sebagai bakal kolom. BP : Pilih baris terbuka sebagai bakal baris.
EP : Pilih bakal baris dan kolom dengan KB non-negatif terkecil. Jika tidak ada KB non-negatif, pilih KB yang bernilai absolut terkecil.
Jika elemen pivotnya bernilai nol, maka pilih C
ij
terbaik selanjutnya. 1.2
– Penambahan HVB a Lakukan GJP.
b Ubah label baris ? dengan nama variabel. c Pindahkan KP dari tabel.
Lanjutkan iterasi HVB kembali ke 1.0
Iterasi 2 Tahap FE
2.0 – Uji terminasi iterasi FE
Jika NSK non-negatif, maka tabel sudah optimal. Interpretasikan hasilnya. Jika terdapat NSK negatif maka lanjutkan iterasi FE langkah 2.1.
2.1 – Pilih FE dari EP
BP : Baris dengan NSK paling negatif . KP : Kolom dengan sebuah elemen negatif pada BP.
Pilih kolom dengan C
ij
terkecil.
Universitas Sumatera Utara
2.2 – Transformasi FE
a Simpan KP di luar tabel. b Lakukan PGJ biasa.
c Tukarkan label KP dan BP. d Ganti KP baru dengan KP lama yang disimpan dalam a.
Lanjutkan iterasi FE kembali ke 2.0
Bagian Akhir Algoritma, tahap pertama dari algoritma ini dapat digolongkan sebagai pencarian himpunan variabel basis yang menuju kepada titik optimal. Tahap
kedua, jika diperlukan, membawa kembali kepada fisibelitas.
2.4 Analisis Sensitivitas
