Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian Metode Penelitian Permasalahan Transportasi

Taha, 1996. Dalam masalah transportasi pendistribusian berbagai komoditi dari berbagai berbagai kelompok pusat penerima yang disebut tujuan sedemikian rupa sehingga meminimalisasi biaya distribusi total. Apabila Z merupakan biaya distribusi total dan X ij i=1,2,...,m; j=1,2,...,n adalah jumlah unit yang harus didistribusikan dari sumber i ke tujuan j maka dapat diformulasikan sebagai beriku: Meminimumkan: Z=    m i n j ij ij X C 1 1 Batasan: m i a X i ij ,..., 2 , 1 ;       n j b X j ij ,... 2 , 1 ;  ij X P Siagian, 1986;154-193. Sasaran pada masalah transportasi ini adalah mengalokasikan barang barang yang ada pada sumber lokasi penawaran sedemikian rupa hingga terpenuhi semua kebutuhan pada tujuan lokasi permintaan. Dianggap bahwa jumlah barang yang tersedia sama di sumber i sama dengan jumlah barang yang dibutuhkan pada tujuan j maka diformulasikan sbb:      n j j m i i b a 1 1 Agustini dan Rahmadi, 2004;100-133. Pada masalah tranportasi, biasanya jumlah barang yang disalurkan dari setiap lokasi permintaan bervariasi. Atas dasar kennyataan bahwa rute pengiriman yang berbeda akan menghasilkan biaya kirim yang berbeda, maka tujuan pemecahan kasus ini adalah menentukan berapa unit barang yang arus dikirim dari setiap sumber ke setiap tujuan sehingga permintaan dari setiap tujuan terpenuhi dan total biaya kirim minimum.

1.4. Tujuan Penelitian

Adapun tujuan penelitian ini terkait dengan pokok permasalahan yang telah diuraikan diatas adalah sebagai berikut: 1. Untuk memperoleh biaya sekecil minimal mungkin. Universitas Sumatera Utara 2. Membantu para pengambil keputusan dalam mengambil keputusan yang optimal dengan kendala-kendala: a. Setiap permintaan terpenuhi. b. Sumber tidak mungkin mengirim komoditas lebih besar dari kapasitasnya.

1.5. Manfaat Penelitian

Adapun manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah: 1. Memberikan dasar pengetahuan bagaimana meng-implementasikan teori transportasi dalam kehidupan sehari-hari yang dapat meringankan biaya. 2. Sebagai penerapan ilmu pengetahuan yang dimiliki, khususnya terapan teori transportasi.

1.6. Metode Penelitian

Metode penelitian yang akan digunakan adalah penelitian secara literatur. Prosedur yang dilakukan adalah: 1. Pengumpula Data. Penulis mengumpulkan data dari referensi buku dan berbagai jurnal dari internet. 2. Menyelesaikan permasalahan transportasi dengan menggunakan algoritma Stepping Stone 3. Mencari analisis sensitivitas dari hasil dari algoritma Stepping Stone dengan algoritma Arsham kahn. 4. Penyusunan Rangkuman. 5. Penarikan Kesimpulan. Universitas Sumatera Utara BAB 2 LANDASAN TEORI

2.1 Permasalahan Transportasi

2.1.1 Sejarah Permasalahan Transportasi

Masalah transportasi ini sebenarnya telah lama dipelajari dan dikembangkan sebelum lahir model program linear. Pada tahun 1939, L.V Kantorovitch mempelajari beberapa permasalahan yang berhubungan dengan model transportasi. Kemudian, pada tahun 1941, F.L. Hitchcock merumuskan model matematika dari persoalan transportasi yang kini dianggap sebagai model matematika dari persoalan transportasi yang kini dianggap sebagai model baku, sehingga sering disebut juga sebagai model Hitchcock. Ada lagi seseorang yang bernama T.C. Koopmans pada tahun 1947 banyak mempelajari hal-hal yang berhubungan dengan program transportasi PT atau model transportasi MT.

2.1.2 Persoalan Transportasi

Situasi dunia yang semakin dinamis menyebabkan waktu pengambilan keputusan menjadi sangat penting. Di saat yang sama, parameter pengambilan keputusan tidak tersedia atau tersedia tetapi tidak lengkap dan jelas. Ketidakjelasan parameter pengambilan keputusan yang diambil tetap optimal. Optimasi adalah salah satu alat bantu seorang manajer dalam pengambilan keputusan. Persoalan transportasi membicarakan masalah pendistribusian suatu komoditas atau produk dari sejumlah sumber supply ke sejumlah tujuan demand, destination dengan tujuan meminimumkan ongkos pengangkutan yang terjadi. Universitas Sumatera Utara Ciri-ciri khusus persoalan transportasi adalah : 1. Terdapat sejumlah sumber dan sejumlah tujuan tertentu. 2. Kuantitas komoditas atau barang yang didistribusikan dari setiap sumber dan yang diminta oleh setiap tujuan, besarnya tertentu. 3. Komoditas yang dikirim atau diangkut dari suatu sumber ke suatu tujuan, besarnya sesuai dengan permintaan atau kapasitas sumber. 4. Ongkos pengangkutan komoditas dari suatu sumber ke suatu tujuan, besarnya tertentu. Data yang dibutuhkan dalam metode transportasi adalah: 1. Level supply pada setiap daerah sumber dan level permintaan pada setiap daerah tujuan untuk kasus pendistribusian barang; jumlah produksi dan jumlah permintaan. 2. Biaya transportasi per unit komoditas dari setiap daerah sumber menuju berbagai daerah tujuan pada kasus pendistribusian; biaya produksi. Model transportasi merupakan salah satu bentuk khusus atau variasi dari program linier yang di kembangkan khusus untuk memecahkan masalah-masalah yang berhubungan dengan transportasi pengangkutan dan disribusi produk atau sumber daya dari berbagai sumber pusat pengadaan, atau titik supply ke berbagai tujuan titik permintaan atau pusat pemakaian yang lebih efisien dalam hal perhitungan. Dilihat dari model matematika persolan program linier terdapat tipe ciri karakteristik khusus pada permasalahan transportasi, yaitu: 1. Semua fungsi kendala bertanda „=‟

2. Semua nilai aij bernilai 1 atau 0.

2.1.3 Keseimbangan transportasi

Suatu model transportasi dikatakan seimbang apabila total supply sumber sama dengan total demand tujuan. Dengan kata lain: Universitas Sumatera Utara      n j j m i i b a 1 1 Dalam persoalan transportasi yang sebenarnya, batasan ini tidak selalu terpenuhi atau dengan kata lain jumlah supply yang tersedia mungkin lebih besar atau lebih kecil daripada jumlah demand. Jika hal ini yang terjadi, maka model persoalan disebut sebagai model yang tidak seimbang. Batasan di atas dikemukakan hanya karena itu menjadi dasar dalam pengembangan teknik transportasi. Namun, setiap persoalan transportasi dapat dibuat seimbang dengan memasukkan kolom dummy atau baris dummy. Jika demand melebihi supply maka dibuat suatu sumber dummy yang akan men-supply kekurangan tersebut yaitu sebanyak   n j j b 1 -   m i i a 1 Sebaliknya, jika jumlah supply melebihi jumlah demand, maka dibuat suatu tujuan dummy untuk menyerap kelebihan tersebut yaitu sebanyak      n j j m i i b a 1 1 Ongkos transportasi per unit c ij dari sumber dummy ke seluruh tujuan adalah nol. Hal ini dapat dipahami karena pada kenyataan dari sumber dummy tidak terjadi pengiriman.

2.1.4 Model Umum Permasalahan Transportasi

2.1.4.1 Asumsi Dasar

Model transportasi pada dasarnya merupakan sebuah program linier yang dapat dipecahkan oleh metode simpleks yang biasa. Tetapi strukturnya yang khusus memungkinkan pengembangan sebuah prosedur pemecahan, yang disebut teknik transportasi yang lebih efisien dalam hal perhitungan. Universitas Sumatera Utara Asumsi dasar dari model ini adalah bahwa biaya transportasi di sebuah rute tertentu adalah proposional secara langsung dengan jumlah unit yang dikirimkan. Defenisi unit transportasi akan bervariasi bergantung pada jenis barang yang di kirimkan. Model umum suatu persoalan transportasi dilandasi pada asumsi-asumsi berikut: 1. Bahwa suatu produk yang ingin diangkat tersedia dalam jumlah yang tetap dan diketahui. 2. Bahwa produk tersebut akan dikirim melalui jaringan transpotasi yang ada dengan memakai cara pengakutan tertentu dari pusat-pusat permintaan. 3. Bahwa jumlah permintaan di pusat permintaan pun diketahui dalam jumlah tertentu dan tetap. 4. Bahwa ongkos angkutan per-unit produk yang diangkut pun diketahui, sehingga tujuan kita untuk meminimumkan biaya total angkutan dapat tercapai. Karena hanya ada satu jenis komoditas, pada dasarnya setiap daerah tujuan dapat menerima komoditas dari sembarang daerah sumber.

2.1.4.2 Model transportasi

Sebuah model transportasi dari sebuah jaringan dengan m sumber dan n tujuan. Sebuah sumber atau tujuan diwakili dengan sebuah node. Busur yang menghubungkan sebuah sumber dan sebuah tujuan mewakili rute pengiriman barang tersebut. Jumlah penawaran di sumber i adalah a i dan permintaan di tujuan j adalah b j . Biaya unit transportasi antara sumber i dan tujuan j adalah c ij . Anggaplah X ij mewakili jumlah barang yang dikirimkan dari sumber i ke tujuan j; maka model program linier yang mewakili masalah transprotasi ini secara umum adalah sebagai berikut: Model transportasi berusaha menentukan sebuah rencana transportasi sebuah barang dari sejumlah sumber ke sejumlah tujuan. Universitas Sumatera Utara i =1 j =1 j = 2 i =2 j = 3 i =m j = n Data dalam model mencakup: 1. Tingkat penawaran di setiap sumber dan jumlah permintaan di setiap tujuan. 2. Biaya transportasi per unit barang dari setiap sumber ke setiap tujuan. Secara diagramatik, model transportasi dapat digambarkan sebagai berikut: Misalkan ada m buah sumber dan n buah tujuan. Sumber tujuan a b X 11 X 12 - X 1n X 21 - X 22 - - - - X 2n - X m1 X m2 - X mn Gambar 2.1 Diagram Model Transportasi a. Masing-masing sumber mempunyai kapasitas a i , ݅ = 1, 2, 3, . . . , ݉. b. Masing-masing tujuan membutuhkan komoditas sebanyak b j , ݆ = 1, 2, 3, . . . , ݊. c. Jumlah satuan unit yang dikirimkan dari sumber i ke tujuan j adalah sebanyak x ij . d. Ongkos pengiriman per unit dari sumber i ke tujuan adalah c ij . Universitas Sumatera Utara Dengan demikian, maka formulasi program liniernya adalah sebagai berikut: Minimum; Z =    m i n j ij ij x c 1 1 Batasan: m i a X i ij ,..., 2 , 1 ;       n j b X j ij ,... 2 , 1 ;  ij X untuk seluruh i dan j. Gambar di bawah ini memperlihatkan sebuah model dari sebuah jaringan dengan 3 sumber dan 3 tujuan. Sebuah sumber atau tujuan diwakili dengan sebuah node. Busur yang menghubungkan sebuah sumber dan sebuah tujuan mewakili rute pengiriman barang tersebut. Jumlah penawaran di sumber i adalah a i dan permintaan di tujuan j adalah b j . Biaya unit transportasi antara sumber i dan tujuan j adalah c ij . Sebagai ilustrasi, jika ada 3 buah sumber dan 3 tujuan m = 3, n = 3 M 1 M 2 M 3 N 1 N 2 N 3 SUMBER TUJUAN X 11 X 12 X 13 X 23 X 22 X 21 X 33 X 32 X 31 Gambar 2.2 Representasi Jaringan Model Transportasi Universitas Sumatera Utara formulasi Minimumkan: Z = c 11 x 11 + c 11 x 11 + c 12 x 12 + c 13 x 13 + c 21 x 21 + c 22 x 22 + c 23 x 23 + c 31 x 31 + c 32 x 32 + c 33 x 33 Berdasarkan pembatas: x 11 + x 12 + x 13 = a 1 x 21 + x 22 + x 23 = a 2 x 31 + x 32 + x 33 = a 3 x 11 + x 21 + x 31 = b 1 x 12 + x 22 + x 32 = b 2 x 13 + x 23 + x 33 = b 3 Tabel 2.1 Persoalan Transportasi Biaya Tujuan Supply 1 2 ڮ j ڮ N S u m b e r 1 C 11 C 12 C 1j C 1n S 1 X 11 X 12 X 1j X 1n 2 C 21 C 22 C 2j C 2n S 2 X 21 X 22 X 2j X 2n ڭ ڭ ڭ ڭ ڭ ڭ i C i1 C i2 C ij C in S i X i1 X i2 X ij X in ڭ ڭ ڭ ڭ ڭ ڭ M C m1 C m2 C mj C mn S m X m1 X m2 X mj X mn Demand D 1 D 2 D j D n S i = D j

2.1.5 Metode Pemecahan

Untuk menyelesaikan persoalan transportasi, harus dilakukan dengan langkah- langkah sebagai berikut: Universitas Sumatera Utara 1. Menentukan Solusi Fisibel Basis Awal. 2. Manentukan entering variabel dari variabel-variabel nonbasis. Bila semua variabel sudah memenuhi kondisi optimal, STOP. Bila beum lanjutkan ke langkah 3. 3. Tentukan leaving variabel diantara variabel-variabel basis yang ada, kemudian hitung solusi yang ada. Kembali ke langkah 2. Untuk menentukan solusi basis awal terdapat 3 metode yang dapat digunakan adalah: 1. Metode pojok kiri atas pojok kanan bawah metode pojok barat laut nort west corner. Mulai dari pojok kiri atas, alokasi sebesar x 11 = min s 1 , d 1 . Artinya bila d 1 s 1 maka x 11 = d 1 ; jika d 1 s 1 maka x 11 = s 1 , selanjutnya yang mendapat giliran untuk dialokasikan adalah x 12 sebesar min s 1 – d 1 , d 2 ; kalau x 11 = s 1 atau d 1 s 1 , maka selanjutnya yang mendapat giliran untuk dialokasikan adalah x 21 sebesar d 1 – s 1 , s 2 dan seterusnya. 2. Metode ongkos baris kolom terkecil least cost. Prinsip cara ini adalah pemberian prioritas pengelokasian pada tempat yang mempunyai satuan ongkos terkecil. a. Pendistribusian dimulai dari biaya terkecil dan, apabila terdapat biaya terkecil lebih dari satu, maka dipilih salah satu. b. Setiap pendistribusian dipilih nilai sebanyak mungkin tanpa mengabaikan jumlah sumbertujuan. 3. Metode pendekatan vogel vogel’s approximation method’s VAM. Cara ini merupakan cara yang terbaik dibandingkan dengan cara di atas. Langkah-langkah penerjaan metode diatas adalah: a. Menghitung opportunity cost yang didasarkan pada dua biaya terkecil pada setiap baris dan kolom dan mengurangkan keduanya, hasil perhitungannya disebut dengan penalty cost. b. Memilih nilai penalty cost terbesar di antara baris dan kolom. Universitas Sumatera Utara c. Memilih biaya terkecil dari nilai penalty cost terbesar dan mendistribusikan sejumlah nilai. Baris kolom penalti yang sudah terpilih diabaikan untuk langkah selanjutnya. d. Menyesuaikan jumlah permintaan dan penawaran untuk menunjukkan alokasi yang sudah dilakukan. Menghilangkan semua baris dan kolom dimana penawaran dan permintaan telah dihabiskan. e. Apabila jumlah penawaran dan permintaan belum sesuai, maka ulangi langkah pertama sampai terisi semua. Untuk mencari solusi optimal terdapat 2 metode yang dapat digunakan yaitu: 1. Metode batu loncatan Stepping Stone. Untuk menentukan entering dan leaving variable ini, terlebih dahulu harus dibuat suatu loop tertutup bagi setiap variabel nonbasis loop tersebut berawal dan berakhir pada variabel nonbasis tadi. Dimana tiap sudut loop haruslah merupakan titik-titik yang ditempati oleh variabel-variabel basis dalam tabel transportasi. Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut : 1. Apakah jumlah variabel basis sama dengan n+m-1 ? Jika kurang dari m+n-1 maka akan terjadi kemerosotan degeneracy. STOP. Tetapi jika sama maka dapat dihitung Z ij –C ij untuk sel-sel yang bukan basis, dengan cara sebagai berikut : a. Dibuat loop tertutup bagi setiap variabel non basis dimana loop tersebut berawal dan berakhir pada variabel non basis, dan setiap titik sudut loop tersebut harus merupakan titik-titik yang ditempati oleh variabel-variabel basis dalam tabel transportasi. b. Dihitung Z ij -C ij = jumlahan para C ij pada loop dengan koefisien +1 dan -1bergantian dengan koefisien variabel non basis -1. 2. Menentukan variabel yang masuk menjadi basis entering variable dengan cara memilih nilai Z ij -C ij yang terbesar atau Max{Z ij -C ij }. X ij masuk menjadi basis bila dan hanya bila Z ij -C ij = Max{Z ij -C ij }. Universitas Sumatera Utara 3. Menentukan variabel yang keluar dari basis, caranya: a. Dibuat loop yang memuat X st . b. Diadakan pengamatan para C ij dalam loop yang mempunyai koefisien +1. c. Variabel X ab yang keluar basis bila dan hanya bila X ab minimum dari langkah 3. 4. Menentukan harga variabel basis yang berada di dalam loop yang barupenyesuaian untuk variabel basis yang baru. X st = X ab = X pq sedangkan untuk variabel-variabel basis yang lain yang juga berada dalam loop. X ab baru = X ab + X pq untuk a+b = ganjil X ab baru = X ab – X pq untuk a+b = genap. 5. Untuk variabel-variabel basis yang lain di luar loop harganya tetap. Hitung kembali nilai Z ij -C ij untuk variable non basis seperti pada langkah 1. 6. Diperoleh tabel optimal jika semua Z ij -C ij 0. 7. Jika masih ada nilai Z ij -C ij 0, maka dapat ditentukan kembali Entering Variable dan Leaving Variable seperti pada langkah yang ke-2. 2. Metode faktor pengali multiplier Metode MODI Modified Distribution. Metode MODI merupakan variasi dari model Stepping Stone yang didasarkan pada rumusan dual. Perbedaannya dengan metode Stepping Stone adalah pada metode ini tidak harus menentukan semua jalur tertutup variabel non basis, kecuali pada saat akan melakukan perpindahan pengisian tabel. Dengan demikian MODI merupakan cara yang efisien untuk menghitung variabel non basis. Dalam metode MODI terdapat persamaan sebagai berikut : m i + n j = C ij Universitas Sumatera Utara Di mana : m i = Nilai setiap sel baris n j = Nilai setiap kolom C ij = Biaya transportasi per unit Adapun langkah-langkah dalam metode MODI adalah : 1 Mentukan nilai m i untuk setiap baris dan nilai-nilai n j untuk setiap kolom dengan menggunakan hubungan C ij = m i + n j untuk semua variabel basis dan menentukan nilai m i = 0. 2 Menghitung perubahan biaya C ij untuk setiap variabel non basis dengan menggunakan rumus C ij - m i - n j. 3 Apabila hasil perhitungan terdapat nilai C ij negatif, maka solusi belum optimal. Oleh karena itu, dipilih X ij dengan nilai C ij negatif terbesar sebagai entering variabel. 4 Mengalokasikan sejumlah nilai ke entering variabel X ij sesuai dengan proses Stepping Stone dan mengulangi langkah pertama.

2.2 Matriks