BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Teori Graf
2.1.1 Definisi Graf
Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang paling banyak aplikasinya dalam kehidupan sehari hari. Salah satu bentuk dari graf adalah Flow-network, yaitu
graf berarah yang tiap sisinya mempunyai kapasitas tertentu. Flow-network ini memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan sehari-hari. Flow-network sering
digunakan untuk memodelkan sistem lalu lintas, sebuah sistem yang sering menjadi masalah utama dalam kehidupan, terutama di kota besar, serta sistem pipa air. Salah
satu masalah yang sering muncul dalam Flow-network adalah Maximum-flow Problem.
Secara sederhana graf didefinisikan sebagai kumpulan titik yang di hubungkan oleh garis. Secara matematis, graf adalah pasangan himpunan V, E
dimana V adalah himpunan tak kosong yang memiliki elemen disebut simpul vertices dan E adalah kumpulan dari dua elemen subsets V yang disebut busur
edges. Simpul direpresentasikan dengan titik dan busur direpresentasikan dengan garis. Dapat dilihat pada gambar 2.1 contoh graf V.E dimana:
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.1. Graf V,E Farizal, 2013.
V ={A,B,C,D,E,F, G,H,I}. dan E ={{A,B},{A,C},{B,D},{C,D},{C,E},{E,F},{E,G},{H,I}}
Dalam teori graf, Network- flow adalah graf terarah dimana setiap edge-nya memiliki kapasitas dan setiap edge memiliki aliran. Nilai dari aliran dalam suatu
edge tidak dapat melampaui kapasitas dari edge tersebut. Sering kali dalam research operasi, graf terarah disebut jaringan, vertices-nya disebut dengan nodes
dan edge-nya disebut arcs. Diberikan G V,E adalah graf terarah tertutup di mana disetiap edge-nya cu,v E E, dimana E adalah bilangan positif, nilai kapasitas
sebenarnya cu,v Syahdatina, 2007. Graf G adalah pasangan VG,EG dengan VG adalah himpunan tidak
kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik, EG adalah himpunan mungkin kosong pasangan tak berurutan dari titik- titik berbeda di VG yang
disebut sisi. Banyaknya unsur di VG disebut order dari G dan dilambangkan dengan pG, dan banyaknya unsur di EG disebut ukuran dari G dan di lambangkan dengan
qG. Jika graf yang dibicarakan hanya graf G, maka order dan ukuran dari G masing- masing cukup ditulis p dan q. Graf dengan order p dan q di sebut graf-p,q.
Nama “Graf” diberikan karena graf dapat disajikan secara grafik atau gambar, dan justru dengan bentuk gambar inilah sifat-sifat graf dapat dikenali secara detail.
Titik disajikan dalam bentuk noktah atau lingkaran kecil dan sisi disajikan dalam bentuk garis atau kurva yang memasangkan dua titik.
Universitas Sumatera Utara
Perhatikan graf G yang memuat himpunan titik VG dan himpunan sisi EG seperti berikut ini:
VG = {a,b,c,d,e} EG = {a, b, a, c, a, d, b, d, b, c, d, e} Graf G tersebut secara lebih jelas
dapat di gambar sebagai berikut:
Gambar 2.2 Graf G Sanjaya, 2014.
Graf G mempunyai 5 titik sehingga order G adalah p = 5. Graf G mempunyai 6 sisi sehingga ukuran graf G adalah 6.
Graf G dengan himpunan titik dan sisi masing-masing VG = {a, b, c, d, e}
EG = {a, b, a, c, a, d, b, d, b, c, d, e} Dapat juga ditulis dengan
VG = {a, b, c, d, e} EG = {e
1
, e
2
, e
3
, e
4
, e
5
, e
6
} Dengan
G :
a c
d b
e
e
1
e
2
e
3
e
4
e
6
Universitas Sumatera Utara
e
1 =
a, b e
2 =
a, c e
3 =
a, d e
4 =
b, d e
5 =
b, c e
6 =
d, e Sisi e = a, b di katakan menghubungkan titik a dan b. Jika e = a, b adalah
sisi graf G, maka a dan b disebut terhubung langsung adjacent, a dan e serta b dan e disebut terkait langsung incident, dan titik a dan b disebut ujung dari e. Dua sisi
berbeda e
1
dan e
2
di sebut terhubung langsung adjacent, jika terkait langsung pada satu titik yang sama. Untuk selanjutnya, sisi e = a, b akan ditulis e = ab sanjaya,
2014.
2.1.2 Graf Berbobot
Kategori