Langkah pertama penyelesaian sebuah matriks permainan adalah memeriksa ada atau tidaknya titik pelana. Bila terdapat titik pelana permainan
dapat segera dianalisis untuk diselesaikan. Untuk menentukan titik pelana biasanya dilakukan dengan menuliskan nilai-nilai minimum dan maksimum
masing-masing kolom, kemudian menentukan maksimun diantara minimum baris dan minimum diantara maksimum kolom. Jika unsur maksimum dari minimum
baris sama dengan unsur minimum dari maksimum kolom, atau jika maksimin sama dengan minimaks, berarti unsur tersebut merupakan titik pelana.
f Nilai Permainan
Nilai permainan value of the game adalah rata-rata pembayaran per permainan jika kedua pemain menggunakan strategi optimumnya. Strategi optimum
merupakan strategi yang menjadikan seorang pemain berada dalam posisi pilihan terbaik menguntungkan tanpa memperhatikan langkah-langkah pemain
pesaingnya. Pengertian posisi pilihan terbaik adalah bahwa setiap penyimpangan dari strategi ini akan mengakibatkan turunnya pembayaran pay off.
Secara konvensional, nilai permainan dilihat dari pihak pemain yang strategi-strateginya dilambangkan oleh baris-baris matriks ganjaran, dengan kata
lain dilihat dari sudut pandang pemain tertentu. Pemain dikatakan adil apabila nilainya nol, dimana tak seorang pemain pun yang memperoleh keuntungan atau
kemenangan dalam permainan yang tidak adil. Seorang pemain akan memperoleh kemenangan atas pemain lain, yaitu jika nilai permainan tersebut bukan nol,
dalam hal ini nilai pemain adalah positif jika pemain pertama pemain baris memperoleh kemenangan, sebaliknya nilai permainan negatif jika pemain lain
pemain kolom memperoleh kemenangan.
2.4 Klasifikasi Permainan
a. Berdasarkan jumlah pembayaran, permainan diklasifikasikan menjadi dua,
yaitu:
1 Permainan berjumlah nol zero sum game adalah suatu permainan
dengan jumlah kemenangan kedua pihak sama dengan nol. Jumlah pembayaran yang diterima pemain yang menang sama dengan jumlah
pembayaran yang dibayarkan oleh pemain yang kalah. Kemenangan pihak yang satu merupakan kekalahan pihak yang lainnya.
2 Permainan berjumlah tidak nol non zero sum game adalah permainan
dengan total pembayaran masing-masing pemain tidak sama dengan nol.
b. Berdasarkan jumlah langkah dan pilihan strategi, permainan diklasifikasikan
menjadi dua, yaitu: 1
Permainan berhingga terjadi apabila jumlah terbesar dari strategi yang dimiliki oleh setiap pemain berhingga atau tertentu.
2 Permainantak berhingga terjadi jika setidak-tidaknya seorang pemain
memiliki jumlah strategi yang tak berhingga atau tidak tertentu.
c. Berdasarkan jumlah pemain
Suatu permainan dikatakan permainan n orang jika jumlah orang yang bermain adalah n. Orang dapat berperan sebagai individu ataupun kelompok.
2.5 Permainan Berjumlah Nol Dua Orang
Inti dari teori permainan adalah menentukan solusi optimum bagi kedua pihak yang saling bersaing yang bersesuaian dengan strategi optimumnya. Ada dua jenis
persoalan permainan berjumlah nol dari dua orang pemain, yaitu: 1.
Permainan strategi murni pure-strategy game 2.
Permainan strategi campuran mixed-strategy game
2.5.1 Permainan Strategi Murni
Pada permainan strategi murni, strategi yang optimal untuk setiap pemain adalah dengan menggunkan strategi tunggal. Dalam permainan ini, pemain baris
maximizing player berusaha memaksimalkan kemenangan yang minimum sehingga kriteria strategi optimumnya adalah kriteria maksimin. Sedangkan
pemain kolom minimizing player berusaha meminimalkan kekalahan yang maksimal sehingga kriteria optimumnya adalah kriteria minimaks.
Diberikan matriks pembayaran di bawah ini:
⎣ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎡
�
11
�
12
… �
21
�
22
… ⋮
�
1 �
… �
1 �
�
2 �
… �
2 �
�
�1
�
�2
… ⋮
�
�1
�
�2
… �
��
… �
��
�
��
… �
��
⎦ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎤
Apabila pemain I memilih strategi i, maka pemain I akan yakin memenangkan
��� � ��
��
� apapun strategi yang dipilih oleh pemain II. Karena pemain I merupakan pemain yang berusaha memaksimumkan kemenangan yang
minimum maka pemain I akan memilih strategi yanng memberikan nilai maksimum dari nilai minimum itu, yaitu
��� � �
��� �
�
��
�
Pemain II akan berusaha menekan kemenangan bagi pemain I sampai sekecil mungkin sehingga jika pemain II memilih strategi j, maka pemain II yakin
bahwa kemenangan yang diperoleh pemain I tidak lebih dari ���� � ��
��
� apapun strategi yang digunakan pemain I. Karena pemain II merupakan pemain yang
berusaha meminimumkan kekalahan yang maksimum, maka pemain II akan memilih strategi yang memberikan nilai minimum dari nilai yang maksimum,
yaitu: ���
� � ���
� �
��
�
Jika nilai permainan adalah suatu elemen �
��
sedemikian hingga �
��
= ��� � �
��� �
�
��
� = ��� � �
��� �
�
��
�
maka permainan dikatakan memiliki titik pelana saddle point. Supranto. J, 1988
Apabila nilai maksimin sama dengan nilai minimaks maka permainan dapat diselesaikan dengan strategi murni dan titik keseimbangan equilibrium
point. Titik keseimbangan ini dikenal sebagai titik pelana saddle point. Untuk mempermudah penentuan suatu permainan mempunyai titik pelana atau tidak,
digunakan langkah-langkah: 1
Pada setiap baris matriks pembayaran, tentukan nilai yang terkecil 2
Dari nilai-nilai terkecil dari setiap baris tersebut dipilih nilai yang terbesar. 3
Pada setiap kolomnya, tentukan nilai yang terbesar. 4
Dari nilai-nilai terbesar dari setiap kolom tersebut, pilih nilai terkecil. 5
Diperiksa apakah nilai terbesar yang terpilih sama dengan nilai terkecil yang terpilih. Apabila sama maka permainan dengan matriks pembayaran
tersebut mempunyai titik pelana dan nilai titik pelana tersebut merupakan nilai permainannya.
Apabila matriks pembayaran tidak memiliki titik pelana atau nilai maksimin tidak sama dengan nilai minimaks maka permainan diselesaikan dengan
strategi campuran. Para pemain dapat memainkan seluruh strateginya sesuai dengan himpunan probabilitas yang telah ditetapkan.
2.5.2 Aturan Dominasi
Menyelesaikan permainan yang lebih besar sering memerlukan langkah panjang dan harus menggunakan teknik yang berbeda. Oleh karena itu, untuk permainan
dengan ukuran yang lebih besar perlu dipertimbangkan apakah ada baris atau kolom dalam matriks pembayaran tidak efektif pengaruhnya dalam penentuan
strategi optimum dan nilai permainan. Maka memungkinkan terlebih dahulu
mengurangi atau memperkecil ukuran permainan dengan menghilangkan atau tidak memakai baris atau kolom. Hal itu berarti bahwa probabilitas untuk memilih
strategi sesuai baris atau kolom tersebut sama dengan nol. Dengan demikian ukuran matriks pembayaran yang tersisa akan lebih kecil dan akan mempermudah
penyelesaian permainan. Aturan ini dinamakan aturan dominasi. Siagian. P, 2006
a. Aturan dominasi bagi pemain pertama
Karena pemain pertama merupakan pemain yang berusaha memaksimumkan kemenangannya maka aturan dominasinya adalah bila terdapat suatu baris dengan
semua elemen dari baris tersebut sama atau lebih kecil dari baris lain maka baris tersebut dikatakan didominasi dan baris tersebut dihilangkan. Jika pada permainan
yang berukuran
� × �
terdapat �
�,�
≤ �
�,�
untuk semua
� = 1,2, … , �
maka baris k mendominasi baris i.
b. Aturan dominasi bagi pemain kedua
Karena pemain kedua merupakan pemain yang berusaha meminimukan kekalahannya maka aturan dominasinya adalah bila terdapat suatu kolom dengan
semua elemen dari kolom tersebut sama atau lebih besar dari kolom lain maka kolom tersebut dikatakan didominasi dan kolom tersebut dihilangkan.
Jika pada permainan yang berukuran
� × � terdapat
�
�,�
≤ �
�,�
untuk semua
� = 1,2, … , �
maka kolom k mendominasi kolom j. Keterangan:
�
�,�
= elemen matriks pay off baris ke-i dan kolom ke-j �
�,�
= elemen matriks pay off baris ke-k dan kolom ke-j �
�,�
= elemen matriks pay off baris ke-i dan kolom ke-k
2.5.3 Permainan Strategi Campuran
Di dalam permainan yang tidak mempunyai titik pelana maka para pemain akan menggunakan strategi campuran. Hal ini berarti pemain pertama akan memainkan
setiap strategi baris dengan proporsi waktu probabilitas tertentu. Demikian juga untuk pemain kedua, akan memainkan setiap strategi kolom dengan proporsi
waktu tertentu. Penggunaan strategi campuran mampu menemukan nilai permainan yang sama, strategi campuran juga mampu memberikan hasil yang
lebih baik bagi setiap perusahaan. Strategi campuran digunakan untuk mencari solusi optimal dari kasus
teori permainan yang tidak mempunyai titik pelana. Pemilihan strategi dilakukan dengan evaluasi kombinasi strategi lawan menggunakan prinsip peluang. Ciri
permaian dengan strategi campuran : 1.
Nilai maksimin tidak sama dengan nilai minimaks 2.
Tidak ada titik pelana 3.
Permainan tidak stabil unstable game Penyelesaian masalah dengan strategi campuran dilakukan apabila
strategi murni yang digunakan belum mampu menyelesaikan masalah permainan atau belum mampu memberikan pilihan strategi yang optimal bagi setiap pemain
atau perusahaan. Dalam strategi ini seorang pemain atau perusahaan akan menggunakan campuran dari satu strategi untuk mendapatkan hasil yang optimal.
2.6 Metode Penyelesaian Permainan dalam Strategi Campuran
Dalam menentukan strategi campuran yang optimal untuk setiap pemain dapat dilakukan dengan beberapa metode. Pertama adalah metode grafik yang dapat
digunakan bila salah satu pemain hanya memiliki dua strategi murni tidak didominasi. Bila permainan yang lebih besar terlibat, metode yang biasa
digunakan adalah pemrograman linier.
2.7 Program Linier
Program linier merupakan suatu model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal.
Masalah tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk memilih atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang dilakukannya, di mana masing-masing
kegiatan membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas. Menurut Frederick S. Hiller dan Gerald J. Lieberman, terdapat empat
asumsi dalam program linier, yaitu: 1.
Proposionalitas kesebandingan, naik atau turunnya nilai Z dan penggunaan sumber daya yang tersedia akan berubah berbanding lurus dengan perubahan
tingkat kegiatan. 2.
Aditivitas penambahan, bahwa untuk setiap fungsi, nilai fungsi total dapat diperoleh dengan menjumlahkan kontribusi-kontribusi individual dari
masing-masing kegiatan. 3.
Divisibilitas pembagian, kadang-kadang variabel-variabel keputusan yang dihasilkan oleh setiap kegiatan tidak selalu menghasilkan angka fisik yang
bulat integer akan tetapi juga dapat berupa bilangan pecahan non-integer. 4.
Kepastian, semua parameter model nilai-nilai dalam program linier merupakan konstanta-konstanta yang diketahui dengan pasti, meskipun jarang
yang tidak tepat. Model umum program linier dapat dirumuskan ke dalam bentuk
matematika sebagai berikut:
����������� ���� ���������� � = � �
�
�
� �
�=1
; � = 1,2, … , �
Kendala � �
��
�
�
≤ ���� ≥ �
�
, ����� � = 1,2, … , �
� � =1
2.8 Metode Simpleks
