| A
P A
B P
A B
P ∩
=
1 1
: 1
A P
B P
B P
A P
Atau B
P A
P −
= −
= =
+
...
2 2
1 1
... ,
3 ,
2 ,
1 i
i i
i i
X P
X X
P X
X P
X X
P X
X E
× +
+ ×
+ ×
= =
∑
=
2.4.5 Peristiwa Bersyarat
Peristiwa bersyarat merupakan suatu peristiwa yang akan terjadi dengan syarat peristiwa yang lain telah terjadi.
Dirumuskan :
2.4.6 Peristiwa Komplementer
Peristiwa komplementer adalah peristiwa yang saling melengkapi. Jika peristiwa A komplementer terhadap peristiwa B, maka probabilitas peristiwa tersebut adalah
sebagai berikut.
2.5 Harapan Matematis
Harapan matematis atau nilai harapan adalah jumlah semua hasil perkalian antara nilai variabel acak dengan probabilitas yang bersesuaian dengan nilai tersebut.
Dirumuskan :
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
PEMBAHASAN
3.1 Model Analisa Masalah Keputusan
Model merupakan alat penyederhanaan dan penganalisaan situasi atau sistem yang kompleks. Jadi dengan model, situasisistem yang kompleks itu dapat disederhanakan
tanpa menghilangkan hal-hal yang esensial dengan tujuan memudahkan pemahaman. Pembuatan dan penggunaan model dapat memberikan kerangka pengelolaan dalam
pengambilan keputusan. [ Iqbal Hasan, 2002 dan Supranto, 1991 ]
Pengambilan keputusan itu sendiri merupakan proses berurutan yang membutuhkan penggunaan model yang tepat. Pengambilan keputusan berusaha menggeser keputusan
yang semula tanpa perhitungan menjadi keputusan yang penuh perhitungan.
Jika para analis membuat model, mereka biasanya melakukan hal itu supaya dapat menetapkan tindakan yang paling tepat dalam situasi tertentu. Kemudian digunakan
untuk memberi saran bagi pembuat keputusan.
Begitu banyak model matematis yang sudah ditemukan untuk menganalisa masalah pengambilan keputusan. Tetapi dalam tulisan ini, saya mencoba menjelaskan dua
model menganalisa masalah pengambilan keputusan dalam kondisi tidak pasti yang sangat sering digunakan.
Adapun dua model yang sering digunakan antara lain : 1. Pohon Keputusan Decision Tree
2. Tabel Hasil Payoff
Universitas Sumatera Utara
3.1.1 Pohon Keputusan Decision Tree
Metode ini merupakan suatu diagram yang cukup sederhana yang menunujukkan suatu proses untuk merinci masalah-masalah yang dihadapkan ke dalam komponen-
komponen, kemudian dibuatkan alternative-alternative pemecahan beserta konsekuensi masing-masing.
Pohon keputusan ini biasanya dipergunakan untuk memecahkan masalah-masalah yang timbul dalam proyek yang sedang ditangani. Selanjutnya Hamburg 1976
memberikan defenisi mengenai pohon keputusan decision tree sebagai berikut: “ The decision tree is a simple diagram showing the possible consequences of
alternative decisions. The tree includes the decision nodes chance modes, payoff for each combination, and the probabilities of each event.”
Menurut Supranto 1991, ada 4 komponen dari pohon keputusan yakni : simpul keputusan, simpul kesempatan, hasil dari kombinasi, dan kemungkinan-kemungkinan
akibat dari peristiwa yang terjadi. Hal yang kiranya penting dalam pohon keputusan adalah pengambil keputusan itu haruslah secara aktif memilih dan mempertimbangkan
betul-betul alternative mana yang akan dijadikan keputusan.
Adapun langkah-langkah yang sekiranya perlu dilakukan secara berturut-turut dalam diagram pohon sebagai berikut :
1. Mengadakan identifikasi jaringan hubungan komponen-komponen yang ada yang secara bersama-sama membentuk masalah tertentu yang nantinya harus
dipecahkan melalui diagram keputusan. Masalah tertentu itulah yang merupakan masalah utama.
2. Masalah utama itu kemudian dirinci ke dalam masalah-masalah kecil. 3. Masalah yang sudah mulai terinci itu kemudian dirinci lagi ke dalam masalah
yang lebih kecil lagi terinci lagi.
Sebagai contoh, masalah rendahnya kesalahan di Wilayah A. Rincian masalah yang membentuk diagram pohon dapat digambarkan sebagai berikut :
Universitas Sumatera Utara
Kurangnya dokter
Kurang perawatan sebelum Ibu
melahirkan
RENDAHNYA KESEHATAN MASYARAKAT DI WILAYAH X
Kematian Ibu yang tinggi
Kematian bayi dan anak yang tinggi
Kurangnya makanan Kemiskinan
menyebabkan kelaparan
PekerjaWarga yang kurang sehat
Kurang pencegahan
Kurang gizi
Gambar 3.1 Diagram Pohon Masalah Rendahnya Kesehatan di Wilayah A
3.1.2 Tabel Nilai Hasil Payoff Table
Nilai hasil yang berhubungan dengan setiap hasil tindakan yang mungkin dipilih pada masalah keputusan dapat dibuat daftar dalam suatu tabel nilai hasil pay off table.
Tabel nilai hasil yang merupakan daftar dalam bentuk tabulasi dari nilai hasil yang berhubungan dengan semua tindakan yang dapat dilakukan dengan setiap peristiwa
yang akan terjadi pada suatu masalah keputusan.
Tabel nilai hasil biasanya digambarkan dalam bentuk baris dan kolom, setiap kolom menunjukkan peristiwa yang akan terjadi dan baris menunjukkan tindakan yang dapat
dilakukan. Apabila dalam suatu masalah pemilihan keputusan setiap tindakan yang dapat diambil diberi simbol A
1
, A
2
,…,A
i
dan peristiwa yang akan terjadi untuk tiap
Universitas Sumatera Utara
B
1
B
2
B
3
… B
i
A
1
A
2
A
3
… A
i
Peristiwa Tindakan
masing-masing tindakan yang dapat dipilih diberi simbol B
1
, B
2
, B
3
…, B
i
, maka table nilai hasil dapat dibuat seperti tampak pada tabel 3.1 berikut :
Tabel 3.1 Tabel Contoh Nilai Hasil
3.2 Analisa Keputusan
Analisis keputusan dapat didefenisikan sebagai analisis logika dan kuantitatif dari semua faktor yang mempengaruhi keputusan. Dalam proses pengambilan keputusan,
pengambil keputusan selalu aktif sehingga akhirnya mereka lebih mengandalkan pada aturan-aturan secara konsisten dengan logika dan perilaku individu mereka daripada
menggunakan mekanisme dalam pembuatan rumusan dan tabulasi probabilitas data. [ Iqbal Hasan, 2002 dan Basyid, 2006 ]
Tujuan utama analisis keputusan adalah untuk meningkatkan kemungkinan diperolehnya hasil yang terbaik dari suatu keputusan yang diambil. Hasil yang terbaik
sangat bergantung pada informasi dan refrensi yang dimiliki oleh pengambil keputusan. Proses pengambilan keputusan manajemen dilakukan pada kondisi
ketidakpastian, hal ini sering disebabkan oleh kurangnya informasi yang dimiliki oleh pengambil keputusan mengenai peristiwa yang akan terjadi di masa yang akan datang.
Keputusan yang diambil dari kondisi ketidakpastian ini sering berakibat pada kegagalan dari usaha mewujudkan tujuan keputusan tersebut.
Universitas Sumatera Utara
Pada saat para pengambil keputusan harus membuat keputusan, sering harus memilih satu tindakan dari beberapa alternative tindakan yang tersedia. Biasanya alternative-
alternative tindakan yang dipilih berhubungan dengan nilai hasilnya Payoff telah diketahui. Variabel yang menunjukkan hasil dari suatu tindakan disebut peristiwa
state of nature karena variabel tersebut akan dapat mengakibatkan terjadinya peristiwa lain yang berbeda dan biasanya diluar kendali pengambil keputusan. Secara
umum peristiwa yang akan terjadi pada suatu peristiwa dalam masalah keputusan diberi simbol A
1
, A
2
, A
3
, …, A
i
, dengan asumsi bahwa apabila suatu peristiwa terjadi maka peristiwa yang lain tidak akan terjadi.
Apabila n alternative tindakan yang dapat dipilih pengambil keputusan, maka setiap tindakan tersebut diberi simbol B
1
, B
2
, …, B
i
, juga dengan asumsi bahwa setiap alternative tindakan akan menghasilkan peristiwa yang saling meniadakan dan semua
kemungkinan peristiwa dimasukkan dalam analisis. Sasaran pengambil keputusan dalam kondisi ketidakpastian selalu menimbulkan kesulitan. Teori probabilitas dan
harapan matematis merupakan alat yang dapat digunakan untuk menyusun prosedur yang logis untuk memilih alternative tindakan yang paling baik. Ilmu statistik
memberikan struktur untuk melaksanakan keputusan.
Strategi pengambilan keputusan dalam kondisi tidak pasti mempunyai 2 pendekatan, yaitu :
1. Kriteria Maximin, Maximax, Harapan Matematis 2. Teorema Bayes
3.2.1 Kriteria Maximin, Maximax, Harapan Matematis Strategi
Cara pengambilan keputusan dengan maximin adalah cara pengambil keputusan dengan memilih alternative untuk memaksimumkan minimum penghasilan. Cara
pengambilan keputusan ini berdasarkan keputusan yang pesimistis. Pengambil keputusan bermaksud berjaga-jaga terhadap kemungkinan terjadinya hal-hal yang
paling buruk. Artinya dia memilih alternative yang dihasilkan minimum. Kemudian dari alternative-alternative yang minimum dipilih yang paling maksimum.
Universitas Sumatera Utara
Sebaliknya kriteria maximax menunujukkan bahwa pengambil keputusan harus memilih alternative – alternative yang hasilnya besar. Lalu dari alternative yang besar
– besar tersebut dipilih alternative yang paling maksimum. Jadi, kriteria pengambil keputusan harus berdasarkan pada harapan terbaik optimis.
Harapan matematis atau nilai harapan adalah jumlah semua hasil perkalian antara nilai variabel acak dengan probabilitas yang bersesuaian dengan nilai tersebut.
3.2.2 Teorema Bayes
Inti dari Teorema Bayes ialah suatu penelitian yang cermat tentang tindakan apa atau alternative
tindakan apa yang tersedia, sesudah itu dilanjut dengan mempertimbangkan resiko untungrugi untuk tiap keadaan yang bakal terjadi di
masa depan. Antara Teorema Bayes dengan teori probabilitas terdapat hubungan yang sangat erat, karena untuk membuktikan Teorema Bayes tidak terlepas dari
penggunaan teori probabilitas, dengan kata lain teori probabilitas adalah konsep dasar bagi Teorema Bayes. [ Bayesian Probability Journal, 2010 ]
Pada Teorema Bayes, terdapat beberapa bentuk probabilitas, yaitu sebagai berikut : 1. Probabilitas awal probabilitas prior , yaitu probabilitas berdasarkan
informasi yang tersedia. 2. Probabilitas bersyarat, yaitu probabilitas dimana terjadinya suatu peristiwa
didahului oleh terjadinya peristiwa lain. 3. Probabilitas marginal, yaitu gabungan dari beberapa probabilitas.
4. Probabilitas posterior, yaitu probabilitas yang diperbaiki dengan adanya informasi tambahan.
Universitas Sumatera Utara
| B
P B
A P
B A
P
i i
∩ =
Teorema Bayes
Adapun Bunyi Teorema Bayes :
Misalkan A
1
dan A
2
adalah kelompok peristiwa yang mutually exclusive dua peristiwa yang tidak dapat terjadi bersamaan dan exhaustive lengkap merupakan
kombinasi dari 2 peristiwa keseluruhannya. Dan B adalah peristiwa yang memotong intersection peristiwa A, seperti ditunjukkan dalam gambar 3.2. berikut :
Gambar 3.2 Diagram Venn dengan i = 1, 2
Dari gambar di atas, bagian B yang berada dalam A
1
mewakili daerah A
1
dan B, sedangkan bagian B yang berada di dalam A
2
mewakili daerah A
2
dan B.
Probabilitas peristiwa A
i
dengan peristiwa B tertentu adalah :
Maka probabilitas peristiwa A
1
dengan peristiwa B adalah : A
1
A
2
B
|
1 1
B P
B A
P B
A P
∩ =
S
Universitas Sumatera Utara
Dengan cara yang sama probabilitas A
2
dengan peristiwa B adalah :
Selanjutnya untuk i = 3
A
1
, A
2
, A
3
adalah kelompok peristiwa yang mutually exclusive dan exhaustive seperti yang ditunjukkan oleh gambar 3.3 berikut :
Gambar 3.3 Diagram Venn dengan i = 1, 2, 3
Maka probabilitas peristiwa A
1
dengan peristiwa B adalah :
Dengan cara yang sama probabilitas A
2
dengan peristiwa B adalah :
Dengan cara yang sama probabilitas A
3
dengan peristiwa B adalah : |
2 2
B P
B A
P B
A P
∩ =
|
1 1
B P
B A
P B
A P
∩ =
|
2 2
B P
B A
P B
A P
∩ =
|
3 3
B P
B A
P B
A P
∩ =
A
1
A
2
A
3
B S
Universitas Sumatera Utara
| ...
| |
2 2
1 1
i i
A B
P A
P A
B P
A P
A B
P A
P B
P +
+ +
= ⇒
| |
|
... ,
3 ,
2 ,
1 i
i i
i i
i i
A B
P A
P A
B P
A P
B P
B A
P B
A P
∑
=
× =
∩ =
...
2 1
B A
B A
B A
B
i
∩ +
+ ∩
+ ∩
=
B A
B A
B A
B A
i
∩ ∩
∩ ∩
..., ,
, ,
3 2
1
|
2 2
2
A B
P A
P B
A P
× =
∩ |
3 3
3
A B
P A
P B
A P
× =
∩ ...
3 2
1
B A
P B
A P
B A
P B
A P
B P
i
∩ +
+ ∩
+ ∩
+ ∩
= ⇒
1 ...
|
1
∑
=
⇒
i i
i
A B
P A
P
2 ...
A |
B P
A P
= B
PA
i i
i
× ∩
|
1 1
1
A B
P A
P B
A P
× =
∩ Dan begitu juga selanjutnya bila i = 4,5, 6, …
Maka berdasarkan Teori Total Probabilitas untuk i = 1, 2, 3, …,
Diperoleh: Dimana :
merupakan peristiwa mutually exclusive
Berdasarkan rumus probabilitas bersyarat bahwa :
…
sehingga diperoleh Teorema Bayes :
Universitas Sumatera Utara
3.3 Pengambilan Keputusan dengan Bayes
Dalam definisi dan pembahasan mengenai peluang prior diuraikan bahwa nilai peluang prior diperoleh dengan pemilihan secara subjektif atau penghitungan dari data
historis. Tidak ada informasi pasti yang dapat menggambarkan kesempatan akan terjadi dari suatu peristiwa yang dianggap berguna.
Setiap kasus pengambilan keputusan memerlukan informasi untuk menentukan peluang prior suatu peristiwa akan terjadi. Dalam pengambilan keputusan dengan
Teorema Bayes setiap informasi mempunyai nilai tersendiri untuk menentukan peluang prior sebagai informasi baru. Peluang yang telah diperbaharui direvisi ini
disebut peluang posterior.
Mungkin banyak informasi yang diperoleh dari suatu percobaan atau cara lain yang berguna bagi pengambil keputusan. Misalnya sebuah pengecer dealer yang usahanya
tergantung dari cuaca dapat berkonsultasi dengan bagian metodelogi sebelum mengambil keputusan, atau contoh lain seorang investor dapat meminta informasi
kepada seorang konsultan pasar sebelum melakukan investasi.
Pada suatu peristiwa dimana pada suatu percobaan yang menghasilkan 2 kemungkinan peristiwa yang terjadi, yaitu peristiwa A dan peristiwa B dengan syarat kedua
peristiwa tersebut dependen satu sama lain, maka terjadinya peristiwa A akan berpengaruh terhadap peluang terjadinya peristiwa B. Misalkan A
1
, A
2
,…, A
i
adalah kelompok peristiwa yang mutually exclusive dua peristiwa yang tidak dapat terjadi
bersamaan dan exhaustive lengkap merupakan kombinasi dari 2 peristiwa keseluruhannya yang merupakan peluang prior. Dan B informasi tambahan yang
berpengaruh terhadap peristiwa A, Maka peluang A
i
terjadi dengan syarat peristiwa B telah terjadi terlebih dahulu dituliskan PA
i
|B.
Peluang posterior PA
i
|B menunjukkan besarnya peluang terjadinya suatu peristiwa A
i
sebagai akibat dari adanya informasi hasil percobaan B.
Universitas Sumatera Utara
∑
=
= =
... ,
2 ,
1
| |
| |
i i
i i
i i
i i
i
A P
A B
P A
P A
B P
B P
A P
A B
P B
A P
Nilai peluangnya adalah :
dimana :
∑
= ...
, 2
, 1
|
i i
i
A P
A B
P sebagai peluang marjinalnya.
Peluang PA|B
i
adalah peluang bersyarat dari percobaan informasi experimental A apabila terjadi peristiwa B
i
dan peluang PB
i
adalah peluang prior.
Nilai revisi dari peluang priori pada hasil perhitungan yang lebih kompleks akan melalui dua tahap, pertama sumber informasi yang independen digunakan untuk
menghitung peluang posterior yang akan membandingkan peluang priori dengan peluang posterior yang telah diubah berdasarkan informasi yang diperoleh dengan
bukti melalui eksperimen. Prosedur ini digunakan untuk menggabungkan semua variabel informasi ke dalam analisis keputusan. Kedua, informasi tambahan
digunakan untuk menyesuaikan keputusan untuk hasil yang spesifik dari bukti eksperimen.
Hasil perhitungan peluang posterior juga peluang prior akan ditunjukkan dalam suatu tabel nilai hasil payoff table.
3.4 Study Kasus Strategi Pengambilan Keputusan