Persaman tersebut disebut sebagai persamaan normalizing. Dengan memasukkan persamaan tersebut dalam kumpulan persamaan – persamaan linier
yang ada akan diperoleh suatu solusi tunggal, yang memenuhi suatu distribusi peluang.
2.7 Teorema Limit pada Proses Markov waktu Diskrit
Jika state j adalah transient, maka:
artinya bahwa mulai dari i, bilangan yang diharapkan dari perpindahan ke state j
adalah terbatas. Maka dari itu j adalah transient dimana
Misalkan merupakan bilangan yang diharapkan dari perpindahan yang
diperlukan untuk kembali ke state j. Maka
Dengan memasukkan transisi ke state j berubah, kita memperoleh Teorema 2.3
Teorema 2.3 Jika i dan j communicate, maka :
i
ii
Universitas Sumatera Utara
iii Jika j adalah aperiodic, maka
iv Jika j adalah period d, maka
Jika state j adalah recurrent, maka state tersebut akan positive recurrent jika
∞ dan null recurrent jika = ∞. Jika misalkan:
Kesimpulannya ialah bahwa recurrent state j adalah positive recurrent jika
dan null recurrent jika
Definisi 2.7.1
Distribusi Peluang {P
j
, j ≥ 0} mencapai seimbang untuk
rantai markov jika
Jika distribusi peluang dari X dimana P
j
= P{X = j
}, j ≥ 0 adalah
distribusi seimbang, maka:
melalui induksi teorema 2.3 maka:
Universitas Sumatera Utara
Oleh karena itu jika awal distribusi peluang adalah distribusi seimbang maka X
n
akan memiliki distribusi yang sama untuk semua n. Kenyataannya seperti {X
n
, n ≥ 0} adalah rantai markov, maka dengan mudah untuk setiap m
≥ 0, akan memiliki distribusi yang saling berhubungan untuk
setiap n, dengan perkataan lain {X
n
, n ≥ 0} akan mencapai proses seimbang.
2.8 Persamaan antara Distribusi Seimbang dan batasan peluang
Teorema di bawah ini berhubungan dengan batas distribusi menuju distribusi yang seimbang.
Teorema 2.4
Untuk irreducible, apperiodic finite-state waktu diskrit dengan m states
, maka
Merupakan peluang batasan dari state j dan = menjadi batas
distribusi. Maka juga merupakan distribusi yang seimbang dan tidak ada lagi distribusi yang muncul.
Bukti:
Akan dibuktikan 2 hal yang berhubungan dengan batas distribusi . 1.
Akan dibuktikan bahwa } sebagai batas
distribusi. Oleh karena itu paling sedikit ada satu distribusi seimbang yang muncul.
Oleh sebab itu memenuhi persamaan seimbang.
2. Akan dibuktikan bahwa setiap distribusi yang seimbang harus
sama dengan batas distribusi: }
Misalkan P
j
adalah distribusi peluang yang seimbang. Seperti biasa. mewakili batas distribusi peluang.
Universitas Sumatera Utara
, karena seimbang maka:
maka:
Definisi 2.7.2
Sebuah Rantai Markov yang memiliki batas peluang akan mencapai seimbang atau steady state jika initial state dipilih berdasarkan
peluang-peluangnya.
2.9 Proses Birth and Death B D
