Pengantar Rumusan Rantai Markov

BAB 2 LANDASAN TEORI

2.1 Pengantar

Pada bab ini akan diuraikan beberapa landasan teori untuk menunjang penulisan skripsi ini. Uraian ini terdiri dari beberapa bagian yang akan dipaparkan secara terperinci dan terstruktur yaitu matriks, peluang, peluang kondisional. rumusan rantai markov, distribusi seimbang, peluang steady state, teorema limit pada proses markov waktu diskrit, persamaan antara distribusi seimbang dan batasan peluang dan proses birth and death.

2.2 Matriks

Definisi 2.2.1 Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka sering disebut elemen-elemen yang diusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk empat persegi panjang dimana panjang dan lebarnya ditentukan oleh banyaknya kolom- kolom dan baris-baris. P = disebut elemen, matriks dengan n buah baris dan m kolom dinyatakan dengan A m x n = [ , sedangkan matriks square atau matriks bujur sangkar adalah matriks dimana banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom m = n. Definisi 2.2.2 1. Jika A = [ dan B = [ keduanya adalah matriks berukuran m x n, maka A + B = [ + ] 2. Jika A = [ matriks berukuran m x n dan k adalah skalar, maka kA = 3. Jika A = matriks berukuran m x p dan B = [ matriks berukuran p x n, maka perkalian matriks A x B berlaku apabila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B Universitas Sumatera Utara 4. Jika A = [ dan B = [ keduanya adalah matriks berukuran m x n, maka A = B jika = untuk semua i,j A ≥ B jika ≥ untuk semua i,j A B jika untuk semua i,j Demikian halnya untuk A ≤ B dan A B 5. Matriks identitas atau ditulis dengan In, adalah sebuah matriks bujur sangkar yang mempunyai angka satu sepanjang diagonal utama diagonal dari kiri atas menuju kanan bawah selainnya nol. In =

2. 3 Peluang

Definisi 2.3.1 Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel dan diberi lambing Ω. Definisi 2.3.2 Himpunan semua bilangan asli yang merupakan range dari semua peubah acak dalam proses stokastik disebut state space. Definisi 2.3.3 Misalkan C adalah sebuah percobaan random yang memiliki ruang sampel Ω, suatu fungsi t memetakan setiap c ε Ω satu dan hanya satu ke bilangan riil disebut peubah acak. Ruang dari T adalah himpunan dari bilangan asli {A = t : t = Tc, c ε Ω}. Atau peubah acak adalah suatu fungsi yang mengubah setiap nilai anggota ruang sampel menjadi suatu bilangan riil. Secara umum peubah acak terbagi atas 2 : 1. Peubah acak diskrit adalah apabila nilai dari peubah acak adalah bilangan bulat atau jika banyaknya titik sampel dapat dihitung. Universitas Sumatera Utara 2. Peubah acak kontinu adalah apabila nilai dari peubah acak adalah pecahan, bilangan decimal, bilangan riil. Atau jika banyaknya titik sampel dari suatu ruang sampel tidak berhingga banyaknya. Peluang yaitu suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang tidak pasti. Misalkan S adalah suatu ruang sampel dari suatu eksperimen acak dan A adalah ruang kejadiannya. Peluang suatu kejadian A atau ditulis PA dapat didefinisikan secara matematis sebagai berikut : Dimana nA menyatakan banyaknya anggota dari himpunan A dan nS menyatakan banyaknya anggota ruang sampel. Sifat penting dari suatu kejadian A atau PA yaitu : 1. Nilai peluang kejadian A selalu berada pada selang [0,1] atau 0 PA ≤ 1 2. Nilai peluang dari peristiwa yang tidak mungkin terjadi adalah 0 atau P = 0 3. Nilai peluang suatu peristiwa yang pasti terjadi adalah satu atau PS = 1

2.3.1 Peluang Bersyarat

Dua kejadian dikatakan mempunyai peluang bersyarat bilamana terjadinya suatu kejadian merupakan persyaratan terjadinya kejadian yang lain. Secara umum peluang kondisional A jika diketahui B didefinisikan sebagai berikut : Apabila A dan B adalah kejadian – kejadian yang terdapat dalam ruang sampel dan peluang – peluang kejadian B tidak sama dengan nol, maka peluang kondisional A jika diketahui kejadian B telah terjadi sebelumnya adalah: Ini hanya berlaku apabila PB ≠ 0. Karena jika PB = 0 maka P tidak terdefinisi untuk keadaan dimana kejadian A dan B adalah independen, maka dapat dinyatakan : Universitas Sumatera Utara Karena =

2.4 Rumusan Rantai Markov

Konsep dasar proses markov adalah state dari sistem atau state transisi, sifat dari proses ini adalah apabila diketahui proses berada dalam suatu keadaan tertentu, maka peluang berkembangnya proses di masa mendatang hanya tergantung pada keadaan saat ini dan tidak tergantung pada keadaan sebelumnya, atau dengan kata lain rantai Markov adalah rangkaian proses kejadian dimana peluang bersyarat kejadian yang akan datang tergantung pada kejadian sekarang. Proses Stokastik ialah suatu himpunan variabel acak {Xt} yang tertentu dalam suatu ruang sampel yang sudah diketahui, dimana t merupakan parameter waktu indeks dari suatu himpunan T. Kita menyatakan ruang keadaan I dari suatu proses sebagai himpunan harga variable acak Xt yang mungkin. Misalnya, kalau Xt berupa variabel acak diskrit yang terdiri dari sejumlah harga tak berhingga yang dapat dihitung dalam suatu himpunan bilangan cacah tidak negatif, maka I = {0,1,2,………}. Dan kalau Xt merupakan variabel acak kontinu yang non negative, maka, I = { x ; 0 ≤ x ≤ ∞}. Dalam proses stokastik, istilah variabel acak Xt dapat diartikan sebagai variabel keadaan. Misalnya, kalau t = 1, 2,…….. dalam himpunan T = {1,2,………}dan Xt = 0,1,…..,N dalam himpunan I = {0,1,2,……….N} maka dalam system persediaan, X1 menggambarkan keadaan tingkat persediaan pada akhir minggu pertama, X2 menggambarkan keadaan tingkat persediaan pada akhir minggu kedua dan seterusnya. Karena proses Markov adalah kelas tersendiri dari proses stokastik, maka proses markov dapat dijabarkan dengan definisi berikut : Definisi 2.4.1 Suatu proses stokastik {Xt} dengan himpunan indeks T dan ruang keadaan I disebut proses Markov bila untuk semua n, n = 0, 1, 2,….dan untuk tiap t t 1 Universitas Sumatera Utara t 2 ……. t n , t = 0, dan harga X n sebagai harga khusus variabel acak Xt n , terdapat Ini dapat kita artikan sebagai berikut : 1 Distribusi peluang bersyarat dari Xt n untuk harga – harga Xt , Xt 1 ,……,Xt n-1 yang sudah diketahui tergantung hanya pada harga Xt n- 1 , yaitu harga terdekat dan tidak tergantung pada harga – harga Xt , Xt 1 ,……,Xt n-2 2 Harga . disebut “peluang peralihan satu langkah” dari keadaan X n-1 pada langkah n-1 kepada keadaan x n 3 Atau, diketahui keadaan sistem pada saat sekarang, keadaan masa datang tidak tergantung pada keadaan masa lalu. pada langkah n. 4 Atau cukup mengetahui sejarah proses stokastik pada waktu t n-1 untuk dapat menurunkan sifat – sifat proses pada waktu t n . Dengan demikian, hukum peluang dari proses Markov seluruhnya teruraikan dengan mengetahui 1 syarat awal yang diberikan oleh , dan 2 himpunan distribusi peluang bersyarat yang diberikan untuk semua 0 ≤ t m t n , m, n = 0, 1, 2,…… oleh P yang menentukan “distribusi peluang peralihan” dari proses Markov. Matriks P disebut Matriks Stokastik apabila memenuhi syarat: 1. 2. 3. dimana: Universitas Sumatera Utara = Banyaknya perpindahan dari state i ke state j = Peluang perpindahan dari state i ke state j = jumlah yang berada pada state awal yaitu state i Identifikasi himpunan distribusi peluang peralihan untuk semua 0 ≤ t m t n untuk suatu proses Markov sebarang adalah sesuatu yang sangat sukar. Meskipun demikian, banyaknya persoalan praktis dapat dirumuskan sebagai proses Markov dalam hal mana distribusi peluang peralihan adalah fungsi dari selisih t n – t m dan bebas dari t n . Dalam hal ini proses Markov kita sebut mempunyai distribusi peluang peralihan yang “homogen” atau “stasioner”. Dengan demikian, formula untuk peluang peralihan stasioner satu langkah adalah: = P 2.3 untuk semua n, n = 1, 2,……. Sifat – sifat homogenitas memperlihatkan kesederhanaan yang luar biasa kalau kita mengembangkan hukum peluang dari proses, sekalipun dengan keuntungan tambahan ini, penjabaran ciri – ciri statistikal sebarang proses dari hukum peluangnya, umumnya masih sangat sukar. Akan tetapi, dalam praktek, kita lebih tertarik mempelajari beberapa keadaan khusus. Dua persoalan penting adalah: 1 Penentuan P {Xt n ≤ x n }, fungsi distribusi peluang tidak bersyarat dari Xt n untuk t n 2 Karakterisasi proses untuk t di dalam T dan n Dengan menggunakan sifat–sifat homogenitas proses, persoalan dapat diselesaikan tanpa kaitan khusus terhadap hukum peluang proses. yang besar Akhirnya proses Markov dapat dibedakan sesuai dengan : Universitas Sumatera Utara 1 Sifat himpunan indeks T parameter diskrit atau parameter kontinu 2 Sifat himpunan keadaan I berharga diskrit atau berharga kontinu Kalau himpunan keadaan I adalah diskrit, maka proses Markov disebut sebagai rantai Markov. Tabel 2.1 : Klasifikasi Proses Markov T I Diskrit Kontinu Diskrit Rantai markov Parameter Diskrit Rantai Markov Parameter Kontinu Kontinu Rantai markov Parameter Diskrit Rantai Markov Parameter Kontinu

2.5 Distribusi Seimbang