Scrambling Index dari Kelas Digraf Hamilton Dwiwarna dengan n Titik Ganjil
BAB 2
DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF
Pada bab ini akan dibahas mengenai teori-teori yang berhubungan dengan penelitian digraf Hamilton dwiwarna dan menjadi landasan berfikir untuk mempermudah dalam pembahasan hasil pada bab berikutnya. Adapun teori-teori yang akan
dibahas mencakup definisi, primitifitas, scrambling index dan batas scrambling
index digraf dwiwarna.
2.1 Definisi Digraf Dwiwarna
Pada subbab ini akan dipaparkan definisi digraf dwiwarna, notasi dan terminologi
yang akan digunakan pada pembahasan selanjutnya.
Secara sederhana, suatu digraf D didefinisikan sebagai kumpulan titik berhingga V dan sisi berarah atau arc A. Secara matematika, suatu digraf D adalah
sebuah objek yang terdiri atas dua himpunan, yaitu
1. Himpunan berhingga dan tak kosong V = {v1 , v2 , v3 , · · · , vn }, dimana vi
dengan i = 1, 2, 3, · · · , n disebut titik dari digraf D.
2. Himpunan A yang merupakan himpunan bagian dari himpunan V × V .
Unsur himpunan A disebut sisi berarah atau arc dari digraf D.
Suatu digraf dwiwarna, dinotasikan dengan D(2) , adalah sebuah digraf D yang
setiap arc-nya diberi warna merah atau biru (Fornasini dan Valcher, 1997). Bila
a = (vi , vj ) ∈ V × V adalah sebuah arc pada digraf dwiwarna D(2) , maka titik
vi disebut sebagai titik asal dan titik vj disebut titik terminal. Suatu a = (vi , vj )
dikatakan arc merah dinotasikan dengan vi −→ vj dan a = (vi , vj ) dikatakan arc
biru dinotasikan dengan vi − → vj .
Contoh 2.1.1. Himpunan titik V = {v1 , v2 , v3 , v4 } bersama dengan himpunan
arc yang terdiri dari himpunan arc merah R = {(v1 , v2 ), (v3 , v4 ), (v4 , v1 )} dan
himpunan arc biru B = {(v2 , v3 ), (v4 , v1 )} merupakan sebuah digraf dwiwarna
D(2) dengan 4 titik dan 5 arc. Representasi grafis dari digraf dwiwarna D(2)
berikut dapat dilihat pada Gambar 2.1.
6
v4
bc
v1
bc
bc
v3
bc
v2
Gambar 2.1 : Digraf dwiwarna dengan 4 titik dan 5 arc
Konsep insidensi antara titik dengan arc pada digraf dwiwarna D(2) didefinisikan sama dengan konsep insidensi pada digraf D. Andaikan a = (vi , vj )
adalah sebuah arc pada digraf dwiwarna D(2) . Titik vi dikatakan insiden ke arc a
dan titik vj dikatakan insiden dari arc a. Sedangkan, arc a dikatakan insiden dari
titik vi dan arc a dikatakan insiden ke titik vj . Derajat masuk (indegree) dari
sebuah titik vi , dinotasikan dengan id(vi ), adalah banyaknya arc yang insiden
ke titik vi . Derajat keluar (outdegree) dari sebuah titik vi , dinotasikan dengan
od(vi ), adalah banyaknya arc yang insiden dari titik vi . Pada Gambar 2.1 perhatikan arc (v1 , v2 ), maka titik v1 insiden ke (v1 , v2 ) dan titik v2 insiden dari (v1 , v2 ).
Selain itu, diperoleh bahwa id(v1 ) = 2 dan od(v1 ) = 1, sedangkan id(v2 ) = 1 dan
od(v2 ) = 1.
Sebuah (h, ℓ)-walk berarah pada digraf dwiwarna D(2) adalah sebuah walk
berarah dengan panjang h+ℓ yang terdiri dari h arc merah dan ℓ arc biru. Notasi
(h,ℓ)
vi −→ vj digunakan untuk menyatakan sebuah (h, ℓ)-walk berarah dari titik vi
ke titik vj . Andaikan W adalah sebuah walk berarah, banyaknya arc merah dari
W dinotasikan dengan r(W ) dan banyaknya arc biru dari W dinotasikan
] dengan
[
r(W )
adalah
b(W ). Panjang dari W adalah ℓ(W ) = r(W )+b(W ) dan vektor
b(W )
komposisi dari W .
Sebuah walk berarah yang memuat setiap titik berbeda kecuali pada titik
awal dan titik akhir disebut path. Sebuah (h, ℓ)-path adalah sebuah path yang
terdiri dari h arc merah dan ℓ arc biru. Notasi Pvi ,vj menyatakan terdapat path
dari titik vi ke titik vj . Andaikan Pvi ,vj adalah sebuah path, banyaknya arc merah
dari Pvi ,vj dinotasikan dengan r(Pvi ,vj ) dan banyaknya arc biru dari Pvi ,vj dino]
[
r(Pvi ,vj )
adalah komposisi dari Pvi ,vj . P ath
tasikan dengan b(Pvi ,vj ). Vektor
b(Pvi ,vj )
yang memuat titik awal sama dengan titik akhir disebut path tertutup (closed
path) atau cycle.
7
Perhatikan Gambar 2.1, akan diperlihatkan walk, path, dan cycle yang ada
pada digraf dwiwarna D(2) tersebut.
1. v1 −→ v2 − → v3 [−→]v4 − → v1 −→ v2 − → v3 adalah walk berarah
3
dan bukan path karena titik v1 , v2 , v3 muncul 2
dengan komposisi
3
kali.
[ ]
2
2. v1 −→ v2 − → v3 −→ v4 adalah path dengan komposisi
.
1
[ ]
3
.
3. v1 −→ v2 − → v3 −→ v4 −→ v1 adalah cycle dengan komposisi
1
Definisi 2.1.2. Path Hamilton adalah path yang memuat setiap titik yang ada
pada digraf dwiwarna D(2) tepat satu kali. Cycle Hamilton adalah cycle yang
melalui setiap titik yang ada pada digraf dwiwarna D(2) tepat satu kali, kecuali
pada titik awal dan titik akhir.
Suatu digraf dwiwarna D(2) yang memuat cycle Hamilton disebut digraf
Hamilton dwiwarna, sedangkan digraf dwiwarna D(2) yang memuat path Hamilton disebut digraf semi-Hamilton dwiwarna.
2.2 Matriks Ketetanggaan Digraf Dwiwarna
Suatu digraf dwiwarna D(2) atas n titik dapat direpresentasikan dalam bentuk
matriks ketetanggaan (adjacency matrix). Matriks ketetanggaan dari suatu digraf
dwiwarna D(2) terbagi menjadi dua, yaitu matriks ketetanggaan merah R dan
matriks ketetanggaan biru B.
Matriks ketetanggaan merah dari D(2) adalah matriks bujursangkar R =
(rij ) berordo n didefinisikan sebagai
1, jika (vi , vj ) adalah arc merah,
rij =
0, jika sebaliknya.
Matriks ketetanggaan biru dari D(2) adalah matriks bujursangkar B = (bij )
berordo n didefinisikan sebagai
1, jika (vi , vj ) adalah arc biru,
bij =
0, jika sebaliknya.
8
Contoh 2.2.1. Perhatikan digraf dwiwarna D(2) dengan 7 titik dan 10 arc berikut ini.
v6
v5
bc
v1
bc
bc
bc
bc
v4
v7
bc
bc
v2
v3
Gambar 2.2 : Digraf dwiwarna dengan 7 titik dan 10 arc
Matriks ketetanggaan
berikut.
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
R= 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 1 1 0 1
merah dan biru dari Gambar 2.2 adalah sebagai
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
dan B =
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
.
Suatu matriks bujursangkar M = (mij ) berordo n, untuk setiap i, j = 1, 2, . . . , n,
dikatakan matriks tak negatif jika mij merupakan bilangan bulat tak negatif dan
dikatakan matriks positif jika mij merupakan bilangan bulat positif.
Contoh 2.2.2. Berikut diperlihatkan contoh matriks tak negatif dan matriks
positif.
1 0 5
Matriks M = 3 2 7 adalah matriks tak negatif.
6 0 9
2 3 5
Matriks M = 1 9 6 adalah matriks positif.
8 7 4
2.3 Primitifitas Digraf Dwiwarna
Suatu digraf dwiwarna D(2) dikatakan terhubung kuat (strongly connected) apabila digraf dari D(2) , tanpa memperhatikan warna setiap arc, adalah terhubung
kuat. Suatu digraf D dikatakan terhubung kuat jika untuk setiap pasang titik vi
9
dan titik vj terdapat walk berarah dari titik vi ke titik vj dan walk berarah dari
titik vj ke titik vi . Terdapat sifat khusus dari digraf dwiwarna D(2) terhubung
kuat yang berkaitan dengan keberadaan cycle.
Proposisi 2.3.1. Andaikan D(2) adalah sebuah digraf dwiwarna terhubung kuat.
Setiap titik di D(2) terletak pada sebuah cycle.
Bukti. Andaikan vi adalah sebarang titik di D(2) . Dapat dibentuk sebuah cycle
yang memuat titik vi . Karena D(2) terhubung kuat, maka terdapat titik vj di D(2)
sehingga (vi , vj ) adalah sebuah arc di D(2) . Karena D(2) terhubung kuat, terdapat
sebuah path Pvi ,vj dari titik vi ke titik vj . Sekarang arc (vi , vj ) dilanjutkan dengan
path Pvi ,vj adalah sebuah cycle yang memuat titik vi .
Berikut diperlihatkan contoh digraf dwiwarna D(2) terhubung kuat dan
tidak terhubung kuat.
v5
v4
b
b
v1
b
b
v2
(a)
b
v3
v5
v4
b
b
v1
b
b
v2
(b)
b
v3
Gambar 2.3 : (a) D(2) terhubung kuat, (b) D(2) tidak terhubung kuat
Gambar 2.3(a) merupakan digraf dwiwarna D(2) terhubung kuat karena
terdapat walk berarah yang menghubungkan setiap pasangan titik di D(2) atau
berdasarkan Proposisi 2.3.1 setiap titik berada pada sebuah cycle, sedangkan
Gambar 2.3(b) merupakan digraf dwiwarna D(2) tidak terhubung kuat karena
tidak terdapat walk berarah yang menghubungkan titik v2 ke titik v5 atau berdasarkan Proposisi 2.3.1 titik v1 dan v5 tidak berada pada sebuah cycle.
Suatu digraf dwiwarna D(2) terhubung kuat dikatakan primitif dengan syarat terdapat bilangan bulat tak negatif h dan ℓ sehingga untuk setiap pasangan
(h,ℓ)
(h,ℓ)
titik vi dan vj di D(2) terdapat vi −→ vj walk dan vj −→ vi walk. Bilangan bulat tak negatif h + ℓ terkecil merupakan eksponen dari D(2) , dinotasikan dengan
exp(D(2) ).
Andaikan D(2) adalah digraf dwiwarna dan andaikan C = {C1 , C2 , . . . , Cq }
adalah himpunan semua cycle di D(2) . Matriks cycle M dari D(2) didefinisikan
10
sebagai matriks 2 × q yang mana kolom ke-i adalah komposisi dari cycle Ci , i =
1, 2, . . . , q yaitu sebagai berikut
M=
[
r(C1 ) r(C2 ) · · ·
b(C1 ) b(C2 ) · · ·
r(Cq )
b(Cq )
]
.
Jika M memiliki rank 1, maka content dari M adalah 0 dan content dari M
didefinisikan sebagai pembagi bersama terbesar dari determinan submatriks 2 ×
2 dari M . Berikut diberikan karakteristik dari sebuah digraf dwiwarna D(2)
primitif.
Teorema 2.3.2. (Fornasini dan Valcher, 1998) Andaikan D(2) adalah digraf
dwiwarna terhubung kuat dengan paling sedikit satu arc setiap warna dan andaikan
M adalah matriks cycle dari D(2) . Digraf dwiwarna D(2) dikatakan primitif jika
dan hanya jika content dari M adalah 1.
Contoh 2.3.3. Perhatikan digraf dwiwarna D(2) terhubung kuat pada Gambar
2.4. Digraf dwiwarna D(2) tersebut terdiri atas dua cycle sehingga diperoleh
matriks cycle M sebagai berikut.
M=
[
r(C1 ) r(C2 )
b(C1 ) b(C2 )
]
=
[
5 2
2 1
]
karena det(M ) = 1, berdasarkan Teorema 2.3.2 maka digraf dwiwarna D(2) tersebut adalah primitif.
v7
v6
v5
b
b
b
v1
b
b
b
v4
v3
b
v2
Gambar 2.4 : Digraf dwiwarna D(2) terhubung kuat primitif
Andaikan D(2) adalah digraf dwiwarna terhubung kuat dengan n titik. Untuk sebarang pasangan matriks tak negatif (A, B) berukuran n × n dapat ditemukan digraf dwiwarna D(2) atas n titik yang berhubungan dengan (A, B) sebagai
berikut. Sebuah (vi , vj ) di D(2) adalah arc merah jika dan hanya jika aij > 0 dan
(vi , vj ) di D(2) adalah arc biru jika dan hanya jika bij > 0.
11
Untuk sebarang pasangan matriks tak negatif (A, B), suatu (h, ℓ)-Hurwitz
product dari matriks A dan B, dinotasikan dengan (A, B)(h,ℓ) , didefinisikan secara
rekursif sebagai berikut. Untuk sebarang bilangan bulat tak negatif h ≥ 1 dan
ℓ ≥ 1, (A, B)(h,0) = Ah , (A, B)(0,ℓ) = B ℓ , dan
(A, B)(h,ℓ) = A(A, B)(h−1,ℓ) + B(A, B)(h,ℓ−1) .
Lemma 2.3.4. Andaikan D(2) adalah digraf dwiwarna dengan n titik dan andaikan
R dan B adalah matriks ketetanggaan merah dan biru dari D(2) . Maka entri (i, j)
dari (R, B)(h,ℓ) adalah banyaknya (h, ℓ)-walk dari titik vi ke titik vj .
Bukti. Akan dibuktikan induksi pada (h + ℓ) dan (h + ℓ + 1), jika h = 0 maka
(0,1)
ℓ = 1 atau jika h = 1 maka ℓ = 0.
=B
] h = 0 maka entri (i, j) dari (R, B)
[ Jika
0
. Dengan cara yang sama, jika ℓ = 0 maka
adalah walk dengan kompisisi
1
[ ]
1
(1,0)
di D(2) .
entri (i, j) dari (R, B)
= R adalah walk dengan kompisisi
0
Asumsikan Lemma 2.3.4 adalah benar untuk bilangan bulat tak negatif h′
dan ℓ′ dengan h′ + ℓ′ ≤ h + ℓ, akan diperlihatkan untuk h + ℓ + 1 adalah benar
dengan catatan sebagai berikut.
(R, B)(h+1,ℓ) = R(R, B)(h,ℓ) + B(R, B)(h+1,ℓ−1) .
Berdasarkan hipotesis induksi, entri (i, j) pada R(R, B)(h,ℓ) adalah walk dari titik vi ke titik vj yang dimulai dengan arc merah dan diikuti oleh (h, ℓ)-walk dan
entri (i, j) pada B(R, B)(h+1,ℓ−1) adalah walk dari titik vi ke titik vj yang dimulai
dengan arc biru dan diikuti oleh (h + 1, ℓ − 1)-walk sedemikian hingga entri (i, j)
dari R(R, B)(h+1,ℓ) adalah banyaknya (h + 1, ℓ)-walk dari titik vi ke titik vj . Jadi,
entri (i, j) pada (R, B)(h,ℓ) adalah banyaknya (h, ℓ)-walk dari titik vi ke titik vj .
2.4 Scrambling Index Digraf Dwiwarna
Andaikan D(2) adalah digraf dwiwarna primitif dan andaikan titik vi dan vj adalah
dua titik berbeda di D(2) . Scrambling index lokal dari titik vi dan vj di titik
vt ∈ V (D(2) ), kvi ,vj (vt ), adalah bilangan bulat positif terkecil h + ℓ dari seluruh
pasangan bilangan bulat tak negatif (h, ℓ) sedemikian hingga terdapat sebuah
(h,ℓ)
(h,ℓ)
vi −→ vt walk dan vj −→ vt walk. Scrambling index lokal dari titik vi dan vj di
12
D(2) didefinisikan sebagai,
kvi ,vj (D(2) ) =
min
{kvi ,vj (vt )}.
vt ∈V (D(2) )
Scrambling index dari D(2) , dinotasikan dengan k(D(2) ), adalah bilangan bulat
positif terkecil h + ℓ dari seluruh pasangan bilangan bulat tak negatif (h, ℓ) sedemikian hingga untuk setiap pasangan titik vi dan vj di D(2) terdapat sebuah
(h,ℓ)
(h,ℓ)
titik vt dengan sifat bahwa terdapat vi −→ vt walk dan vj −→ vt walk.
Berdasarkan definisi scrambling index, diperoleh hubungan sebagai berikut
max
{kvi ,vj (D(2) )} ≤ k(D(2) ).
vi ,vj ∈V (D(2) )
Contoh 2.4.1. Representasi digraf dwiwarna D(2) primitif dengan 3 titik, 2 arc
merah, dan 2 arc biru seperti pada Gambar 2.5. Scrambling index lokal dari
digraf dwiwarna D(2) tersebut sebagai berikut.
kv1 ,v2 (D(2) ) = min{kv1 ,v2 (v1 ), kv1 ,v2 (v2 ), kv1 ,v2 (v3 )}
= min{(1, 1), (2, 1), (3, 1)} = min{2, 3, 4} = 2,
kv1 ,v3 (D(2) ) = min{kv1 ,v3 (v1 ), kv1 ,v3 (v2 ), kv1 ,v3 (v3 )}
= min{(2, 2), (3, 2), (4, 2)} = min{4, 5, 6} = 4,
kv2 ,v3 (D(2) ) = min{kv2 ,v3 (v1 ), kv2 ,v3 (v2 ), kv2 ,v3 (v3 )}
= min{(0, 1), (1, 1), (2, 1)} = min{1, 2, 3} = 1.
Dari definisi, maka diperoleh k(D(2) ) ≥ max{kv1 ,v2 (D(2) ), kv1 ,v3 (D(2) ), kv2 ,v3 (D(2) )}
= max{2, 4, 1} = 4 dengan komposisi 2 arc merah dan 2 arc biru.
Selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa k(D(2) ) ≤ 4 dengan komposisi 2 arc
merah dan 2 arc biru, yaitu akan diperlihatkan untuk setiap dua pasang titik
(vi , vj ) yang berbeda di D(2) terdapat titik vt di D(2) sedemikian hingga terdapat
(2,2)
(2,2)
vi −→ vt walk dan vj −→ vt walk. Pada Contoh 2.4.1, diperoleh setiap dua
pasang titik yang berbeda, yaitu (v1 , v2 ), (v2 , v3 ), (v1 , v3 ) di D(2) .
(2,2)
1. Untuk pasangan titik (v1 , v2 ) terdapat v1 sedemikian hingga terdapat v1 −→
(2,2)
v1 walk dan v2 −→ v1 walk, yaitu
v1 −→ v2 − → v1 −→ v2 − → v1 dan v2 −→ v3 − → v1 −→ v2 − → v1 .
(2,2)
2. Untuk pasangan titik (v1 , v3 ) terdapat v1 sedemikian hingga terdapat v1 −→
(2,2)
v1 walk dan v3 −→ v1 walk, yaitu
v1 −→ v2 − → v1 −→ v2 − → v1 dan v3 − → v1 −→ v2 −→ v3 − → v1 .
13
v3
b
b
b
v1
v2
Gambar 2.5 : Digraf dwiwarna D(2) primitif
(2,2)
3. Untuk pasangan titik(v2 , v3 ) terdapat v1 sedemikian hingga terdapat v2 −→
(2,2)
v1 walk dan v3 −→ v1 walk, yaitu
v2 −→ v3 − → v1 −→ v2 − → v1 dan v3 − → v1 −→ v2 −→ v3 − → v1 .
Telah diperlihatkan bahwa k(D(2) ) ≤ 4 dan k(D(2) ) ≥ 4 dengan kompisisi 2
arc merah dan 2 arc biru. Jadi, dapat disimpulkan scrambling index dari digraf
dwiwarna D(2) primitif pada Gambar 2.5 adalah 4.
Berdasarkan Lemma 2.3.4, scrambling index dari suatu digraf dwiwarna
D(2) primitif dapat dicari dengan menggunakan (h, ℓ)-Hurwitz product dari matriks ketetanggaan merah R dan matriks ketetanggaan biru B. Jika untuk setiap
dua baris pada (R, B)(h,ℓ) terdapat paling sedikit satu entri bernilai positif pada
kolom yang sama, maka k(D(2) ) = h + ℓ.
Contoh 2.4.2. Matriks ketetanggaan merah dan biru dari digraf dwiwarna D(2)
primitif pada Gambar 2.5 diberikan sebagai berikut.
0 0 0
0 1 0
R = 0 0 1 dan B = 1 0 0 ,
1 0 0
0 0 0
maka untuk h + ℓ = 1, diperoleh
0 1 0
1. (R, B)(1,0) = R = 0 0 1 .
0 0 0
Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak sama
dengan 1 karena baris pertama dan baris kedua pada matriks (R, B)(1,0)
tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama.
0 0 0
2. (R, B)(0,1) = B = 1 0 0 .
1 0 0
14
Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak sama
dengan 1 karena baris pertama dan baris kedua pada matriks (R, B)(0,1)
tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama.
Untuk h + ℓ = 2, diperoleh
0 0 1
1. (R, B)(2,0) = R2 = 0 0 0 .
0 0 0
Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak sama
dengan 2 karena baris pertama dan baris kedua pada matriks (R, B)(2,0)
tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama.
0 0 0
2. (R, B)(0,2) = B 2 = 0 0 0 .
0 0 0
Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak sama
dengan 2 karena untuk setiap dua baris pada matriks (R, B)(0,2) tidak
memiliki entri positif pada kolom yang sama.
1 0 0
3. (R, B)(1,1) = R(R, B)(0,1) + B(R, B)(1,0) = 1 1 0 .
0 1 0
Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak sama
dengan 2 karena baris pertama dan baris ketiga pada matriks (R, B)(1,1)
tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama.
Untuk h + ℓ = 3, diperoleh
0 0 0
1. (R, B)(3,0) = R3 = 0 0 0 .
0 0 0
Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak
dengan 3 karena untuk setiap dua baris pada matriks (R, B)(3,0)
memiliki entri positif pada kolom yang sama.
0 0 0
2. (R, B)(0,3) = B 3 = 0 0 0 .
0 0 0
Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak
dengan 3 karena untuk setiap dua baris pada matriks (R, B)(0,3)
memiliki entri positif pada kolom yang sama.
sama
tidak
sama
tidak
15
1 1 0
3. (R, B)(2,1) = R(R, B)(1,1) + B(R, B)(2,0) = 0 1 1 .
0 0 1
(2)
Scrambling index dari digraf dwiwarna D pada Gambar 2.5 tidak sama
dengan 3 karena baris pertama dan baris ketiga pada matriks (R, B)(2,1)
tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama.
0 0 0
4. (R, B)(1,2) = R(R, B)(0,2) + B(R, B)(1,1) = 1 0 0 .
1 0 0
(2)
Scrambling index dari digraf dwiwarna D pada Gambar 2.5 tidak sama
dengan 3 karena baris pertama dan baris kedua pada matriks (R, B)(1,2)
tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama.
Untuk h + ℓ = 4, diperoleh
1.
2.
3.
4.
0 0 0
(R, B)(4,0) = R4 = 0 0 0 .
0 0 0
Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak sama
dengan 4 karena untuk setiap dua baris pada matriks (R, B)(4,0) tidak
memiliki entri positif pada kolom yang sama.
0 0 0
(R, B)(0,4) = B 4 = 0 0 0 .
0 0 0
Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak sama
dengan 4 karena untuk setiap dua baris pada matriks (R, B)(0,4) tidak
memiliki entri positif pada kolom yang sama.
0 1 1
(R, B)(3,1) = R(R, B)(2,1) + B(R, B)(3,0) = 0 0 1 .
0 0 0
(2)
Scrambling index dari digraf dwiwarna D pada Gambar 2.5 tidak sama
dengan 4 karena baris pertama dan baris ketiga pada matriks (R, B)(3,1)
tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama.
0 0 0
(R, B)(1,3) = R(R, B)(0,3) + B(R, B)(1,2) = 0 0 0 .
0 0 0
Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak sama
dengan 4 karena untuk setiap dua baris pada matriks (R, B)(1,3) tidak
memiliki entri positif pada kolom yang sama.
16
1 0 0
5. (R, B)(2,2) = R(R, B)(1,2) + B(R, B)(2,1) = 2 1 0 .
1 1 0
(2)
Scrambling index dari digraf dwiwarna D pada Gambar 2.5 sama dengan
4 karena untuk setiap dua baris pada (R, B)(2,2) terdapat paling sedikit satu
(2)
entri positif
] kolom yang sama. Jadi, diperoleh k(D ) = 4 dengan
[ pada
2
.
komposisi
2
2.5 Batas Scrambling Index Digraf Dwiwarna
Pada subbab ini akan dibahas mengenai batas atas dan batas bawah untuk scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) primitif, terkhusus digraf dwiwarna D(2)
primitif yang terdiri atas dua cycle (Mulyono dan Suwilo, 2014).
Setiap walk berarah pada suatu digraf dwiwarna D(2) dapat diuraikan men(h,ℓ)
jadi sebuah path dan beberapa cycle. Hal ini berarti untuk setiap vi −→ vj walk
memiliki hubungan sebagai berikut.
[
h
ℓ
]
=
[
r(Pvi ,vj )
b(Pvi ,vj )
]
+ z1
=
[
r(Pvi ,vj )
b(Pvi ,vj )
]
+ Mz
[
r(C1 )
b(C1 )
]
+ z2
[
r(C2 )
b(C2 )
]
+ · · · + zq
[
r(Cq )
b(Cq )
]
untuk beberapa path Pvi ,vj dari titik vi ke titik vj dan beberapa vektor bilangan
bulat tak negatif z.
Proposisi berikut ini digunakan untuk menentukan batas atas scrambling
index digraf dwiwarna.
Proposisi 2.5.1. (Mulyono dan Suwilo, 2014) Andaikan D(2) adalah digraf
dwiwarna primitif yang terdiri atas dua cycle C1 dan C2 . Andaikan vj adalah
sebuah titik yang berada pada kedua cycle. Jika untuk beberapa bilangan bulat
positif h dan ℓ, terdapat sebuah path Pvi ,vj dari titik vi ke titik vj sedemikian
hingga sistem
Mz +
[
r(Pvi ,vj )
b(Pvi ,vj )
]
=
[
h
ℓ
]
(2.1)
memiliki solusi bilangan bulat tak negatif, maka terdapat sebuah (h, ℓ)-walk berarah dari titik vi ke titik vj .
17
Bukti. Asumsikan bahwa solusi dari sistem (2.1) adalah z =
[
]
z1
. Terdapat
z2
empat kemungkinan nilai z1 dan z2 sebagai berikut.
Jika z1 > 0 dan z2 > 0, maka walk berarah bergerak mulai dari titik vi ke
vj melalui sepanjang (r(Pvi ,vj ), b(Pvi ,vj ))-path Pvi ,vj dan akhirnya bergerak mengelilingi cycle C1 sebanyak z1 kali dan bergerak mengelilingi cycle C2 sebanyak z2
kali, dan kembali ke titik vj adalah sebuah (h, ℓ)-walk berarah dari titik vi ke vj .
Jika z1 = 0 dan z2 > 0, maka walk berarah bergerak mulai dari titik vi ke
vj melalui sepanjang (r(Pvi ,vj ), b(Pvi ,vj ))-path Pvi ,vj dan akhirnya bergerak mengelilingi cycle C2 sebanyak z2 kali. Dengan cara yang sama, Jika z1 > 0 dan
z2 = 0, maka walk berarah bergerak mulai dari titik vi ke vj melalui sepanjang
(r(Pvi ,vj ), b(Pvi ,vj ))-path Pvi ,vj dan akhirnya bergerak mengelilingi cycle C1 sebanyak z1 kali dan kembali ke titik vj adalah sebuah (h, ℓ)-walk berarah dari titik
vi ke vj .
Jika z1 = z2 = 0, maka (r(Pvi ,vj ), b(Pvi ,vj ))-path Pvi ,vj dari titik vi ke vj
adalah sebuah (h, ℓ)-walk berarah.
Lemma berikut ini digunakan untuk menentukan batas bawah scrambling
index digraf dwiwarna. Didefinisikan bahwa ℓ(C1 ) adalah panjang dari cycle C1
dan ℓ(C2 ) adalah panjang dari cycle C2 .
Lemma 2.5.2. (Mulyono et al. 2015) Andaikan D(2) adalah digraf dwiwarna
primitif yang terdiri atas dua cycle C1 dan C2 dengan matriks cycle
M=
[
r(C1 ) r(C2 )
b(C1 ) b(C2 )
]
,
dan andaikan vi dan vj adalah sebarang dua titik yang berbeda di D(2) . Jika
kvi ,vj (vt ) diperoleh dari sebuah (h, ℓ)-walk berarah, maka
[
h
ℓ
]
≥M
[
b(C2 )r(Pvi ,vt ) − r(C2 )b(Pvi ,vt )
r(C1 )b(Pvj ,vt ) − b(C1 )r(Pvj ,vt )
]
.
Oleh karena itu,
kvi ,vj (vt ) ≥ ℓ(C1 )[b(C2 )r(Pvi ,vt )−r(C2 )b(Pvi ,vt )]+ℓ(C2 )[r(C1 )b(Pvj ,vt )−b(C1 )r(Pvj ,vt )]
untuk beberapa path Pvi ,vt dan Pvj ,vt .
18
Bukti. Karena D(2) adalah primitif, maka berdasarkan Teorema 2.3.2 diperoleh
det(M ) = 1 atau det(M ) = −1. Tanpa menghilangkan keumuman diasumsikan
bahwa det(M ) = 1. Karena det(M ) = 1, terdapat bilangan bulat e1 dan e2
sedemikian hingga
[
h
ℓ
]
=M
[
e1
e2
]
(2.2)
.
Karena setiap walk berarah dapat diuraikan menjadi sebuah path dan beberapa
cycle, maka
[
h
ℓ
]
=
[
r(Pvi ,vt )
b(Pvi ,vt )
]
+ M z,
(2.3)
untuk beberapa path Pvi ,vt dari titik vi ke vt dan beberapa vektor bilangan bulat
tak negatif z. Bandingkan persamaan (2.2) dan (2.3), maka diperoleh
z=
[
e1
e2
]
−M
−1
[
r(Pvi ,vt )
b(Pvi ,vt )
]
≥ 0.
Oleh karena itu,
[
e1
e2
]
≥M
−1
[
r(Pvi ,vt )
b(Pvi ,vt )
]
=
[
b(C2 )r(Pvi ,vt ) − r(C2 )b(Pvi ,vt )
r(C1 )b(Pvi ,vt ) − b(C1 )r(Pvi ,vt )
]
.
Sehingga, diperoleh e1 ≥ b(C2 )r(Pvi ,vt )−r(C2 )b(Pvi ,vt ) untuk beberapa path Pvi ,vt
dari titik vi ke vt dan e2 ≥ r(C1 )b(Pvj ,vt ) − b(C1 )r(Pvj ,vt ) untuk beberapa path
Pvj ,vt dari titik vj ke vt . Jika kvi ,vj (vt ) diperoleh dari sebuah (h, ℓ)-walk berarah,
maka
[
h
ℓ
]
=M
[
e1
e2
]
≥M
[
b(C2 )r(Pvi ,vt ) − r(C2 )b(Pvi ,vt )
r(C1 )b(Pvj ,vt ) − b(C1 )r(Pvj ,vt )
]
dan diperoleh
kvi ,vj (vt ) ≥ ℓ(C1 )[b(C2 )r(Pvi ,vt )−r(C2 )b(Pvi ,vt )]+ℓ(C2 )[r(C1 )b(Pvj ,vt )−b(C1 )r(Pvj ,vt )]
untuk beberapa path Pvi ,vt dan Pvj ,vt .
DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF
Pada bab ini akan dibahas mengenai teori-teori yang berhubungan dengan penelitian digraf Hamilton dwiwarna dan menjadi landasan berfikir untuk mempermudah dalam pembahasan hasil pada bab berikutnya. Adapun teori-teori yang akan
dibahas mencakup definisi, primitifitas, scrambling index dan batas scrambling
index digraf dwiwarna.
2.1 Definisi Digraf Dwiwarna
Pada subbab ini akan dipaparkan definisi digraf dwiwarna, notasi dan terminologi
yang akan digunakan pada pembahasan selanjutnya.
Secara sederhana, suatu digraf D didefinisikan sebagai kumpulan titik berhingga V dan sisi berarah atau arc A. Secara matematika, suatu digraf D adalah
sebuah objek yang terdiri atas dua himpunan, yaitu
1. Himpunan berhingga dan tak kosong V = {v1 , v2 , v3 , · · · , vn }, dimana vi
dengan i = 1, 2, 3, · · · , n disebut titik dari digraf D.
2. Himpunan A yang merupakan himpunan bagian dari himpunan V × V .
Unsur himpunan A disebut sisi berarah atau arc dari digraf D.
Suatu digraf dwiwarna, dinotasikan dengan D(2) , adalah sebuah digraf D yang
setiap arc-nya diberi warna merah atau biru (Fornasini dan Valcher, 1997). Bila
a = (vi , vj ) ∈ V × V adalah sebuah arc pada digraf dwiwarna D(2) , maka titik
vi disebut sebagai titik asal dan titik vj disebut titik terminal. Suatu a = (vi , vj )
dikatakan arc merah dinotasikan dengan vi −→ vj dan a = (vi , vj ) dikatakan arc
biru dinotasikan dengan vi − → vj .
Contoh 2.1.1. Himpunan titik V = {v1 , v2 , v3 , v4 } bersama dengan himpunan
arc yang terdiri dari himpunan arc merah R = {(v1 , v2 ), (v3 , v4 ), (v4 , v1 )} dan
himpunan arc biru B = {(v2 , v3 ), (v4 , v1 )} merupakan sebuah digraf dwiwarna
D(2) dengan 4 titik dan 5 arc. Representasi grafis dari digraf dwiwarna D(2)
berikut dapat dilihat pada Gambar 2.1.
6
v4
bc
v1
bc
bc
v3
bc
v2
Gambar 2.1 : Digraf dwiwarna dengan 4 titik dan 5 arc
Konsep insidensi antara titik dengan arc pada digraf dwiwarna D(2) didefinisikan sama dengan konsep insidensi pada digraf D. Andaikan a = (vi , vj )
adalah sebuah arc pada digraf dwiwarna D(2) . Titik vi dikatakan insiden ke arc a
dan titik vj dikatakan insiden dari arc a. Sedangkan, arc a dikatakan insiden dari
titik vi dan arc a dikatakan insiden ke titik vj . Derajat masuk (indegree) dari
sebuah titik vi , dinotasikan dengan id(vi ), adalah banyaknya arc yang insiden
ke titik vi . Derajat keluar (outdegree) dari sebuah titik vi , dinotasikan dengan
od(vi ), adalah banyaknya arc yang insiden dari titik vi . Pada Gambar 2.1 perhatikan arc (v1 , v2 ), maka titik v1 insiden ke (v1 , v2 ) dan titik v2 insiden dari (v1 , v2 ).
Selain itu, diperoleh bahwa id(v1 ) = 2 dan od(v1 ) = 1, sedangkan id(v2 ) = 1 dan
od(v2 ) = 1.
Sebuah (h, ℓ)-walk berarah pada digraf dwiwarna D(2) adalah sebuah walk
berarah dengan panjang h+ℓ yang terdiri dari h arc merah dan ℓ arc biru. Notasi
(h,ℓ)
vi −→ vj digunakan untuk menyatakan sebuah (h, ℓ)-walk berarah dari titik vi
ke titik vj . Andaikan W adalah sebuah walk berarah, banyaknya arc merah dari
W dinotasikan dengan r(W ) dan banyaknya arc biru dari W dinotasikan
] dengan
[
r(W )
adalah
b(W ). Panjang dari W adalah ℓ(W ) = r(W )+b(W ) dan vektor
b(W )
komposisi dari W .
Sebuah walk berarah yang memuat setiap titik berbeda kecuali pada titik
awal dan titik akhir disebut path. Sebuah (h, ℓ)-path adalah sebuah path yang
terdiri dari h arc merah dan ℓ arc biru. Notasi Pvi ,vj menyatakan terdapat path
dari titik vi ke titik vj . Andaikan Pvi ,vj adalah sebuah path, banyaknya arc merah
dari Pvi ,vj dinotasikan dengan r(Pvi ,vj ) dan banyaknya arc biru dari Pvi ,vj dino]
[
r(Pvi ,vj )
adalah komposisi dari Pvi ,vj . P ath
tasikan dengan b(Pvi ,vj ). Vektor
b(Pvi ,vj )
yang memuat titik awal sama dengan titik akhir disebut path tertutup (closed
path) atau cycle.
7
Perhatikan Gambar 2.1, akan diperlihatkan walk, path, dan cycle yang ada
pada digraf dwiwarna D(2) tersebut.
1. v1 −→ v2 − → v3 [−→]v4 − → v1 −→ v2 − → v3 adalah walk berarah
3
dan bukan path karena titik v1 , v2 , v3 muncul 2
dengan komposisi
3
kali.
[ ]
2
2. v1 −→ v2 − → v3 −→ v4 adalah path dengan komposisi
.
1
[ ]
3
.
3. v1 −→ v2 − → v3 −→ v4 −→ v1 adalah cycle dengan komposisi
1
Definisi 2.1.2. Path Hamilton adalah path yang memuat setiap titik yang ada
pada digraf dwiwarna D(2) tepat satu kali. Cycle Hamilton adalah cycle yang
melalui setiap titik yang ada pada digraf dwiwarna D(2) tepat satu kali, kecuali
pada titik awal dan titik akhir.
Suatu digraf dwiwarna D(2) yang memuat cycle Hamilton disebut digraf
Hamilton dwiwarna, sedangkan digraf dwiwarna D(2) yang memuat path Hamilton disebut digraf semi-Hamilton dwiwarna.
2.2 Matriks Ketetanggaan Digraf Dwiwarna
Suatu digraf dwiwarna D(2) atas n titik dapat direpresentasikan dalam bentuk
matriks ketetanggaan (adjacency matrix). Matriks ketetanggaan dari suatu digraf
dwiwarna D(2) terbagi menjadi dua, yaitu matriks ketetanggaan merah R dan
matriks ketetanggaan biru B.
Matriks ketetanggaan merah dari D(2) adalah matriks bujursangkar R =
(rij ) berordo n didefinisikan sebagai
1, jika (vi , vj ) adalah arc merah,
rij =
0, jika sebaliknya.
Matriks ketetanggaan biru dari D(2) adalah matriks bujursangkar B = (bij )
berordo n didefinisikan sebagai
1, jika (vi , vj ) adalah arc biru,
bij =
0, jika sebaliknya.
8
Contoh 2.2.1. Perhatikan digraf dwiwarna D(2) dengan 7 titik dan 10 arc berikut ini.
v6
v5
bc
v1
bc
bc
bc
bc
v4
v7
bc
bc
v2
v3
Gambar 2.2 : Digraf dwiwarna dengan 7 titik dan 10 arc
Matriks ketetanggaan
berikut.
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
R= 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 1 1 0 1
merah dan biru dari Gambar 2.2 adalah sebagai
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
dan B =
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
.
Suatu matriks bujursangkar M = (mij ) berordo n, untuk setiap i, j = 1, 2, . . . , n,
dikatakan matriks tak negatif jika mij merupakan bilangan bulat tak negatif dan
dikatakan matriks positif jika mij merupakan bilangan bulat positif.
Contoh 2.2.2. Berikut diperlihatkan contoh matriks tak negatif dan matriks
positif.
1 0 5
Matriks M = 3 2 7 adalah matriks tak negatif.
6 0 9
2 3 5
Matriks M = 1 9 6 adalah matriks positif.
8 7 4
2.3 Primitifitas Digraf Dwiwarna
Suatu digraf dwiwarna D(2) dikatakan terhubung kuat (strongly connected) apabila digraf dari D(2) , tanpa memperhatikan warna setiap arc, adalah terhubung
kuat. Suatu digraf D dikatakan terhubung kuat jika untuk setiap pasang titik vi
9
dan titik vj terdapat walk berarah dari titik vi ke titik vj dan walk berarah dari
titik vj ke titik vi . Terdapat sifat khusus dari digraf dwiwarna D(2) terhubung
kuat yang berkaitan dengan keberadaan cycle.
Proposisi 2.3.1. Andaikan D(2) adalah sebuah digraf dwiwarna terhubung kuat.
Setiap titik di D(2) terletak pada sebuah cycle.
Bukti. Andaikan vi adalah sebarang titik di D(2) . Dapat dibentuk sebuah cycle
yang memuat titik vi . Karena D(2) terhubung kuat, maka terdapat titik vj di D(2)
sehingga (vi , vj ) adalah sebuah arc di D(2) . Karena D(2) terhubung kuat, terdapat
sebuah path Pvi ,vj dari titik vi ke titik vj . Sekarang arc (vi , vj ) dilanjutkan dengan
path Pvi ,vj adalah sebuah cycle yang memuat titik vi .
Berikut diperlihatkan contoh digraf dwiwarna D(2) terhubung kuat dan
tidak terhubung kuat.
v5
v4
b
b
v1
b
b
v2
(a)
b
v3
v5
v4
b
b
v1
b
b
v2
(b)
b
v3
Gambar 2.3 : (a) D(2) terhubung kuat, (b) D(2) tidak terhubung kuat
Gambar 2.3(a) merupakan digraf dwiwarna D(2) terhubung kuat karena
terdapat walk berarah yang menghubungkan setiap pasangan titik di D(2) atau
berdasarkan Proposisi 2.3.1 setiap titik berada pada sebuah cycle, sedangkan
Gambar 2.3(b) merupakan digraf dwiwarna D(2) tidak terhubung kuat karena
tidak terdapat walk berarah yang menghubungkan titik v2 ke titik v5 atau berdasarkan Proposisi 2.3.1 titik v1 dan v5 tidak berada pada sebuah cycle.
Suatu digraf dwiwarna D(2) terhubung kuat dikatakan primitif dengan syarat terdapat bilangan bulat tak negatif h dan ℓ sehingga untuk setiap pasangan
(h,ℓ)
(h,ℓ)
titik vi dan vj di D(2) terdapat vi −→ vj walk dan vj −→ vi walk. Bilangan bulat tak negatif h + ℓ terkecil merupakan eksponen dari D(2) , dinotasikan dengan
exp(D(2) ).
Andaikan D(2) adalah digraf dwiwarna dan andaikan C = {C1 , C2 , . . . , Cq }
adalah himpunan semua cycle di D(2) . Matriks cycle M dari D(2) didefinisikan
10
sebagai matriks 2 × q yang mana kolom ke-i adalah komposisi dari cycle Ci , i =
1, 2, . . . , q yaitu sebagai berikut
M=
[
r(C1 ) r(C2 ) · · ·
b(C1 ) b(C2 ) · · ·
r(Cq )
b(Cq )
]
.
Jika M memiliki rank 1, maka content dari M adalah 0 dan content dari M
didefinisikan sebagai pembagi bersama terbesar dari determinan submatriks 2 ×
2 dari M . Berikut diberikan karakteristik dari sebuah digraf dwiwarna D(2)
primitif.
Teorema 2.3.2. (Fornasini dan Valcher, 1998) Andaikan D(2) adalah digraf
dwiwarna terhubung kuat dengan paling sedikit satu arc setiap warna dan andaikan
M adalah matriks cycle dari D(2) . Digraf dwiwarna D(2) dikatakan primitif jika
dan hanya jika content dari M adalah 1.
Contoh 2.3.3. Perhatikan digraf dwiwarna D(2) terhubung kuat pada Gambar
2.4. Digraf dwiwarna D(2) tersebut terdiri atas dua cycle sehingga diperoleh
matriks cycle M sebagai berikut.
M=
[
r(C1 ) r(C2 )
b(C1 ) b(C2 )
]
=
[
5 2
2 1
]
karena det(M ) = 1, berdasarkan Teorema 2.3.2 maka digraf dwiwarna D(2) tersebut adalah primitif.
v7
v6
v5
b
b
b
v1
b
b
b
v4
v3
b
v2
Gambar 2.4 : Digraf dwiwarna D(2) terhubung kuat primitif
Andaikan D(2) adalah digraf dwiwarna terhubung kuat dengan n titik. Untuk sebarang pasangan matriks tak negatif (A, B) berukuran n × n dapat ditemukan digraf dwiwarna D(2) atas n titik yang berhubungan dengan (A, B) sebagai
berikut. Sebuah (vi , vj ) di D(2) adalah arc merah jika dan hanya jika aij > 0 dan
(vi , vj ) di D(2) adalah arc biru jika dan hanya jika bij > 0.
11
Untuk sebarang pasangan matriks tak negatif (A, B), suatu (h, ℓ)-Hurwitz
product dari matriks A dan B, dinotasikan dengan (A, B)(h,ℓ) , didefinisikan secara
rekursif sebagai berikut. Untuk sebarang bilangan bulat tak negatif h ≥ 1 dan
ℓ ≥ 1, (A, B)(h,0) = Ah , (A, B)(0,ℓ) = B ℓ , dan
(A, B)(h,ℓ) = A(A, B)(h−1,ℓ) + B(A, B)(h,ℓ−1) .
Lemma 2.3.4. Andaikan D(2) adalah digraf dwiwarna dengan n titik dan andaikan
R dan B adalah matriks ketetanggaan merah dan biru dari D(2) . Maka entri (i, j)
dari (R, B)(h,ℓ) adalah banyaknya (h, ℓ)-walk dari titik vi ke titik vj .
Bukti. Akan dibuktikan induksi pada (h + ℓ) dan (h + ℓ + 1), jika h = 0 maka
(0,1)
ℓ = 1 atau jika h = 1 maka ℓ = 0.
=B
] h = 0 maka entri (i, j) dari (R, B)
[ Jika
0
. Dengan cara yang sama, jika ℓ = 0 maka
adalah walk dengan kompisisi
1
[ ]
1
(1,0)
di D(2) .
entri (i, j) dari (R, B)
= R adalah walk dengan kompisisi
0
Asumsikan Lemma 2.3.4 adalah benar untuk bilangan bulat tak negatif h′
dan ℓ′ dengan h′ + ℓ′ ≤ h + ℓ, akan diperlihatkan untuk h + ℓ + 1 adalah benar
dengan catatan sebagai berikut.
(R, B)(h+1,ℓ) = R(R, B)(h,ℓ) + B(R, B)(h+1,ℓ−1) .
Berdasarkan hipotesis induksi, entri (i, j) pada R(R, B)(h,ℓ) adalah walk dari titik vi ke titik vj yang dimulai dengan arc merah dan diikuti oleh (h, ℓ)-walk dan
entri (i, j) pada B(R, B)(h+1,ℓ−1) adalah walk dari titik vi ke titik vj yang dimulai
dengan arc biru dan diikuti oleh (h + 1, ℓ − 1)-walk sedemikian hingga entri (i, j)
dari R(R, B)(h+1,ℓ) adalah banyaknya (h + 1, ℓ)-walk dari titik vi ke titik vj . Jadi,
entri (i, j) pada (R, B)(h,ℓ) adalah banyaknya (h, ℓ)-walk dari titik vi ke titik vj .
2.4 Scrambling Index Digraf Dwiwarna
Andaikan D(2) adalah digraf dwiwarna primitif dan andaikan titik vi dan vj adalah
dua titik berbeda di D(2) . Scrambling index lokal dari titik vi dan vj di titik
vt ∈ V (D(2) ), kvi ,vj (vt ), adalah bilangan bulat positif terkecil h + ℓ dari seluruh
pasangan bilangan bulat tak negatif (h, ℓ) sedemikian hingga terdapat sebuah
(h,ℓ)
(h,ℓ)
vi −→ vt walk dan vj −→ vt walk. Scrambling index lokal dari titik vi dan vj di
12
D(2) didefinisikan sebagai,
kvi ,vj (D(2) ) =
min
{kvi ,vj (vt )}.
vt ∈V (D(2) )
Scrambling index dari D(2) , dinotasikan dengan k(D(2) ), adalah bilangan bulat
positif terkecil h + ℓ dari seluruh pasangan bilangan bulat tak negatif (h, ℓ) sedemikian hingga untuk setiap pasangan titik vi dan vj di D(2) terdapat sebuah
(h,ℓ)
(h,ℓ)
titik vt dengan sifat bahwa terdapat vi −→ vt walk dan vj −→ vt walk.
Berdasarkan definisi scrambling index, diperoleh hubungan sebagai berikut
max
{kvi ,vj (D(2) )} ≤ k(D(2) ).
vi ,vj ∈V (D(2) )
Contoh 2.4.1. Representasi digraf dwiwarna D(2) primitif dengan 3 titik, 2 arc
merah, dan 2 arc biru seperti pada Gambar 2.5. Scrambling index lokal dari
digraf dwiwarna D(2) tersebut sebagai berikut.
kv1 ,v2 (D(2) ) = min{kv1 ,v2 (v1 ), kv1 ,v2 (v2 ), kv1 ,v2 (v3 )}
= min{(1, 1), (2, 1), (3, 1)} = min{2, 3, 4} = 2,
kv1 ,v3 (D(2) ) = min{kv1 ,v3 (v1 ), kv1 ,v3 (v2 ), kv1 ,v3 (v3 )}
= min{(2, 2), (3, 2), (4, 2)} = min{4, 5, 6} = 4,
kv2 ,v3 (D(2) ) = min{kv2 ,v3 (v1 ), kv2 ,v3 (v2 ), kv2 ,v3 (v3 )}
= min{(0, 1), (1, 1), (2, 1)} = min{1, 2, 3} = 1.
Dari definisi, maka diperoleh k(D(2) ) ≥ max{kv1 ,v2 (D(2) ), kv1 ,v3 (D(2) ), kv2 ,v3 (D(2) )}
= max{2, 4, 1} = 4 dengan komposisi 2 arc merah dan 2 arc biru.
Selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa k(D(2) ) ≤ 4 dengan komposisi 2 arc
merah dan 2 arc biru, yaitu akan diperlihatkan untuk setiap dua pasang titik
(vi , vj ) yang berbeda di D(2) terdapat titik vt di D(2) sedemikian hingga terdapat
(2,2)
(2,2)
vi −→ vt walk dan vj −→ vt walk. Pada Contoh 2.4.1, diperoleh setiap dua
pasang titik yang berbeda, yaitu (v1 , v2 ), (v2 , v3 ), (v1 , v3 ) di D(2) .
(2,2)
1. Untuk pasangan titik (v1 , v2 ) terdapat v1 sedemikian hingga terdapat v1 −→
(2,2)
v1 walk dan v2 −→ v1 walk, yaitu
v1 −→ v2 − → v1 −→ v2 − → v1 dan v2 −→ v3 − → v1 −→ v2 − → v1 .
(2,2)
2. Untuk pasangan titik (v1 , v3 ) terdapat v1 sedemikian hingga terdapat v1 −→
(2,2)
v1 walk dan v3 −→ v1 walk, yaitu
v1 −→ v2 − → v1 −→ v2 − → v1 dan v3 − → v1 −→ v2 −→ v3 − → v1 .
13
v3
b
b
b
v1
v2
Gambar 2.5 : Digraf dwiwarna D(2) primitif
(2,2)
3. Untuk pasangan titik(v2 , v3 ) terdapat v1 sedemikian hingga terdapat v2 −→
(2,2)
v1 walk dan v3 −→ v1 walk, yaitu
v2 −→ v3 − → v1 −→ v2 − → v1 dan v3 − → v1 −→ v2 −→ v3 − → v1 .
Telah diperlihatkan bahwa k(D(2) ) ≤ 4 dan k(D(2) ) ≥ 4 dengan kompisisi 2
arc merah dan 2 arc biru. Jadi, dapat disimpulkan scrambling index dari digraf
dwiwarna D(2) primitif pada Gambar 2.5 adalah 4.
Berdasarkan Lemma 2.3.4, scrambling index dari suatu digraf dwiwarna
D(2) primitif dapat dicari dengan menggunakan (h, ℓ)-Hurwitz product dari matriks ketetanggaan merah R dan matriks ketetanggaan biru B. Jika untuk setiap
dua baris pada (R, B)(h,ℓ) terdapat paling sedikit satu entri bernilai positif pada
kolom yang sama, maka k(D(2) ) = h + ℓ.
Contoh 2.4.2. Matriks ketetanggaan merah dan biru dari digraf dwiwarna D(2)
primitif pada Gambar 2.5 diberikan sebagai berikut.
0 0 0
0 1 0
R = 0 0 1 dan B = 1 0 0 ,
1 0 0
0 0 0
maka untuk h + ℓ = 1, diperoleh
0 1 0
1. (R, B)(1,0) = R = 0 0 1 .
0 0 0
Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak sama
dengan 1 karena baris pertama dan baris kedua pada matriks (R, B)(1,0)
tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama.
0 0 0
2. (R, B)(0,1) = B = 1 0 0 .
1 0 0
14
Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak sama
dengan 1 karena baris pertama dan baris kedua pada matriks (R, B)(0,1)
tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama.
Untuk h + ℓ = 2, diperoleh
0 0 1
1. (R, B)(2,0) = R2 = 0 0 0 .
0 0 0
Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak sama
dengan 2 karena baris pertama dan baris kedua pada matriks (R, B)(2,0)
tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama.
0 0 0
2. (R, B)(0,2) = B 2 = 0 0 0 .
0 0 0
Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak sama
dengan 2 karena untuk setiap dua baris pada matriks (R, B)(0,2) tidak
memiliki entri positif pada kolom yang sama.
1 0 0
3. (R, B)(1,1) = R(R, B)(0,1) + B(R, B)(1,0) = 1 1 0 .
0 1 0
Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak sama
dengan 2 karena baris pertama dan baris ketiga pada matriks (R, B)(1,1)
tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama.
Untuk h + ℓ = 3, diperoleh
0 0 0
1. (R, B)(3,0) = R3 = 0 0 0 .
0 0 0
Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak
dengan 3 karena untuk setiap dua baris pada matriks (R, B)(3,0)
memiliki entri positif pada kolom yang sama.
0 0 0
2. (R, B)(0,3) = B 3 = 0 0 0 .
0 0 0
Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak
dengan 3 karena untuk setiap dua baris pada matriks (R, B)(0,3)
memiliki entri positif pada kolom yang sama.
sama
tidak
sama
tidak
15
1 1 0
3. (R, B)(2,1) = R(R, B)(1,1) + B(R, B)(2,0) = 0 1 1 .
0 0 1
(2)
Scrambling index dari digraf dwiwarna D pada Gambar 2.5 tidak sama
dengan 3 karena baris pertama dan baris ketiga pada matriks (R, B)(2,1)
tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama.
0 0 0
4. (R, B)(1,2) = R(R, B)(0,2) + B(R, B)(1,1) = 1 0 0 .
1 0 0
(2)
Scrambling index dari digraf dwiwarna D pada Gambar 2.5 tidak sama
dengan 3 karena baris pertama dan baris kedua pada matriks (R, B)(1,2)
tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama.
Untuk h + ℓ = 4, diperoleh
1.
2.
3.
4.
0 0 0
(R, B)(4,0) = R4 = 0 0 0 .
0 0 0
Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak sama
dengan 4 karena untuk setiap dua baris pada matriks (R, B)(4,0) tidak
memiliki entri positif pada kolom yang sama.
0 0 0
(R, B)(0,4) = B 4 = 0 0 0 .
0 0 0
Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak sama
dengan 4 karena untuk setiap dua baris pada matriks (R, B)(0,4) tidak
memiliki entri positif pada kolom yang sama.
0 1 1
(R, B)(3,1) = R(R, B)(2,1) + B(R, B)(3,0) = 0 0 1 .
0 0 0
(2)
Scrambling index dari digraf dwiwarna D pada Gambar 2.5 tidak sama
dengan 4 karena baris pertama dan baris ketiga pada matriks (R, B)(3,1)
tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama.
0 0 0
(R, B)(1,3) = R(R, B)(0,3) + B(R, B)(1,2) = 0 0 0 .
0 0 0
Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) pada Gambar 2.5 tidak sama
dengan 4 karena untuk setiap dua baris pada matriks (R, B)(1,3) tidak
memiliki entri positif pada kolom yang sama.
16
1 0 0
5. (R, B)(2,2) = R(R, B)(1,2) + B(R, B)(2,1) = 2 1 0 .
1 1 0
(2)
Scrambling index dari digraf dwiwarna D pada Gambar 2.5 sama dengan
4 karena untuk setiap dua baris pada (R, B)(2,2) terdapat paling sedikit satu
(2)
entri positif
] kolom yang sama. Jadi, diperoleh k(D ) = 4 dengan
[ pada
2
.
komposisi
2
2.5 Batas Scrambling Index Digraf Dwiwarna
Pada subbab ini akan dibahas mengenai batas atas dan batas bawah untuk scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) primitif, terkhusus digraf dwiwarna D(2)
primitif yang terdiri atas dua cycle (Mulyono dan Suwilo, 2014).
Setiap walk berarah pada suatu digraf dwiwarna D(2) dapat diuraikan men(h,ℓ)
jadi sebuah path dan beberapa cycle. Hal ini berarti untuk setiap vi −→ vj walk
memiliki hubungan sebagai berikut.
[
h
ℓ
]
=
[
r(Pvi ,vj )
b(Pvi ,vj )
]
+ z1
=
[
r(Pvi ,vj )
b(Pvi ,vj )
]
+ Mz
[
r(C1 )
b(C1 )
]
+ z2
[
r(C2 )
b(C2 )
]
+ · · · + zq
[
r(Cq )
b(Cq )
]
untuk beberapa path Pvi ,vj dari titik vi ke titik vj dan beberapa vektor bilangan
bulat tak negatif z.
Proposisi berikut ini digunakan untuk menentukan batas atas scrambling
index digraf dwiwarna.
Proposisi 2.5.1. (Mulyono dan Suwilo, 2014) Andaikan D(2) adalah digraf
dwiwarna primitif yang terdiri atas dua cycle C1 dan C2 . Andaikan vj adalah
sebuah titik yang berada pada kedua cycle. Jika untuk beberapa bilangan bulat
positif h dan ℓ, terdapat sebuah path Pvi ,vj dari titik vi ke titik vj sedemikian
hingga sistem
Mz +
[
r(Pvi ,vj )
b(Pvi ,vj )
]
=
[
h
ℓ
]
(2.1)
memiliki solusi bilangan bulat tak negatif, maka terdapat sebuah (h, ℓ)-walk berarah dari titik vi ke titik vj .
17
Bukti. Asumsikan bahwa solusi dari sistem (2.1) adalah z =
[
]
z1
. Terdapat
z2
empat kemungkinan nilai z1 dan z2 sebagai berikut.
Jika z1 > 0 dan z2 > 0, maka walk berarah bergerak mulai dari titik vi ke
vj melalui sepanjang (r(Pvi ,vj ), b(Pvi ,vj ))-path Pvi ,vj dan akhirnya bergerak mengelilingi cycle C1 sebanyak z1 kali dan bergerak mengelilingi cycle C2 sebanyak z2
kali, dan kembali ke titik vj adalah sebuah (h, ℓ)-walk berarah dari titik vi ke vj .
Jika z1 = 0 dan z2 > 0, maka walk berarah bergerak mulai dari titik vi ke
vj melalui sepanjang (r(Pvi ,vj ), b(Pvi ,vj ))-path Pvi ,vj dan akhirnya bergerak mengelilingi cycle C2 sebanyak z2 kali. Dengan cara yang sama, Jika z1 > 0 dan
z2 = 0, maka walk berarah bergerak mulai dari titik vi ke vj melalui sepanjang
(r(Pvi ,vj ), b(Pvi ,vj ))-path Pvi ,vj dan akhirnya bergerak mengelilingi cycle C1 sebanyak z1 kali dan kembali ke titik vj adalah sebuah (h, ℓ)-walk berarah dari titik
vi ke vj .
Jika z1 = z2 = 0, maka (r(Pvi ,vj ), b(Pvi ,vj ))-path Pvi ,vj dari titik vi ke vj
adalah sebuah (h, ℓ)-walk berarah.
Lemma berikut ini digunakan untuk menentukan batas bawah scrambling
index digraf dwiwarna. Didefinisikan bahwa ℓ(C1 ) adalah panjang dari cycle C1
dan ℓ(C2 ) adalah panjang dari cycle C2 .
Lemma 2.5.2. (Mulyono et al. 2015) Andaikan D(2) adalah digraf dwiwarna
primitif yang terdiri atas dua cycle C1 dan C2 dengan matriks cycle
M=
[
r(C1 ) r(C2 )
b(C1 ) b(C2 )
]
,
dan andaikan vi dan vj adalah sebarang dua titik yang berbeda di D(2) . Jika
kvi ,vj (vt ) diperoleh dari sebuah (h, ℓ)-walk berarah, maka
[
h
ℓ
]
≥M
[
b(C2 )r(Pvi ,vt ) − r(C2 )b(Pvi ,vt )
r(C1 )b(Pvj ,vt ) − b(C1 )r(Pvj ,vt )
]
.
Oleh karena itu,
kvi ,vj (vt ) ≥ ℓ(C1 )[b(C2 )r(Pvi ,vt )−r(C2 )b(Pvi ,vt )]+ℓ(C2 )[r(C1 )b(Pvj ,vt )−b(C1 )r(Pvj ,vt )]
untuk beberapa path Pvi ,vt dan Pvj ,vt .
18
Bukti. Karena D(2) adalah primitif, maka berdasarkan Teorema 2.3.2 diperoleh
det(M ) = 1 atau det(M ) = −1. Tanpa menghilangkan keumuman diasumsikan
bahwa det(M ) = 1. Karena det(M ) = 1, terdapat bilangan bulat e1 dan e2
sedemikian hingga
[
h
ℓ
]
=M
[
e1
e2
]
(2.2)
.
Karena setiap walk berarah dapat diuraikan menjadi sebuah path dan beberapa
cycle, maka
[
h
ℓ
]
=
[
r(Pvi ,vt )
b(Pvi ,vt )
]
+ M z,
(2.3)
untuk beberapa path Pvi ,vt dari titik vi ke vt dan beberapa vektor bilangan bulat
tak negatif z. Bandingkan persamaan (2.2) dan (2.3), maka diperoleh
z=
[
e1
e2
]
−M
−1
[
r(Pvi ,vt )
b(Pvi ,vt )
]
≥ 0.
Oleh karena itu,
[
e1
e2
]
≥M
−1
[
r(Pvi ,vt )
b(Pvi ,vt )
]
=
[
b(C2 )r(Pvi ,vt ) − r(C2 )b(Pvi ,vt )
r(C1 )b(Pvi ,vt ) − b(C1 )r(Pvi ,vt )
]
.
Sehingga, diperoleh e1 ≥ b(C2 )r(Pvi ,vt )−r(C2 )b(Pvi ,vt ) untuk beberapa path Pvi ,vt
dari titik vi ke vt dan e2 ≥ r(C1 )b(Pvj ,vt ) − b(C1 )r(Pvj ,vt ) untuk beberapa path
Pvj ,vt dari titik vj ke vt . Jika kvi ,vj (vt ) diperoleh dari sebuah (h, ℓ)-walk berarah,
maka
[
h
ℓ
]
=M
[
e1
e2
]
≥M
[
b(C2 )r(Pvi ,vt ) − r(C2 )b(Pvi ,vt )
r(C1 )b(Pvj ,vt ) − b(C1 )r(Pvj ,vt )
]
dan diperoleh
kvi ,vj (vt ) ≥ ℓ(C1 )[b(C2 )r(Pvi ,vt )−r(C2 )b(Pvi ,vt )]+ℓ(C2 )[r(C1 )b(Pvj ,vt )−b(C1 )r(Pvj ,vt )]
untuk beberapa path Pvi ,vt dan Pvj ,vt .