Scrambling Index dari Kelas Digraf Hamilton Dwiwarna dengan n Titik Ganjil

SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON
DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL

SKRIPSI

MERRYANTY LESTARI P
110803067

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015

SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON
DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai
gelar Sarjana Sains

MERRYANTY LESTARI P
110803067

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015

PERSETUJUAN

Judul

:

Scrambling Index dari Kelas Digraf Hamilton
Dwiwarna dengan n Titik Ganjil

Kategori

:

Skripsi

Nama

:

Merryanty Lestari P

Nomor Induk Mahasiswa

:

110803067

Program Studi

:

Sarjana (S1) Matematika

Departemen

:

Matematika

Fakultas

:

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara

Disetujui di
Medan,

Juli 2015

Komisi Pembimbing:
Pembimbing 2,

Pembimbing 1,

Dr. Mardiningsih, M.Si
NIP. 19630405 198811 2 001

Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
NIP. 19640109 198803 1 004

Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,

Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901 198803 1 002
i

PERNYATAAN

SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON
DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan,

Juli 2015

MERRYANTY LESTARI P
110803067

ii

PENGHARGAAN

Segala puji hanya bagi Allah SWT yang senantiasa memberikan pertolongan
dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul
”SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL” ini dengan baik. Shalawat beriring
salam kepada Nabi Muhammad SAW beserta keluarga dan para sahabat.
Dalam penulisan skiripsi ini penulis banyak mendapatkan bimbingan, motivasi dan bantuan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan
terima kasih kepada:
1. Ibunda Tetti Mahrani Lubis, AMS dan Ayahanda Anwar Pasaribu, S.Hut
serta Kakanda Rahmelya Oktari, S.IA yang telah mendo’akan, memotivasi,
dan memberikan dukungan selama penulisan skripsi ini.
2. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Dosen Pembimbing I, dan
Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si, selaku Dosen Pembimbing II dan Sekretaris
Departemen Matematika FMIPA USU Medan, yang telah banyak membantu penulis dan memberikan dukungan baik berupa nasihat, motivasi
maupun ilmu pengetahuan kepada penulis dalam menyelesaikan penelitian
ini.
3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, selaku Dosen Pembanding I dan Ketua
Departemen Matematika FMIPA USU Medan, dan Bapak Dr. Suwarno
Ariswoyo, M.Si, selaku Dosen Pembanding II, yang telah memberikan nasihat, kritik dan saran yang membangun selama penelitian ini.
4. Seluruh staf pengajar dan staf administrasi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara,
Medan.

Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada sahabat terbaik Intayashu,
Indah, Mantari, Ratih, Tika, Tilsa, Aisyah, dan Nisa yang senantiasa menyemangati dan memotivasi dalam menyelesaikan skripsi ini. Selain itu, penulis

iii

mengucapkan terima kasih kepada seluruh rekan-rekan Matematika 2011 terkhusus kepada Matematika Murni 2011 yang telah memberikan bantuan moril kepada
penulis. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas bantuan yang diberikan
kepada penulis.
Penulis menyadari skripsi ini jauh dari kesempurnaan, untuk itu penulis
mengharapkan kritik dan saran dari berbagai pihak untuk penyempurnaan skripsi
ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca.

iv

SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON
DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL

ABSTRAK

Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) primitif adalah bilangan bulat positif

terkecil h + ℓ dari seluruh pasangan bilangan bulat tak negatif (h, ℓ) sedemikian
hingga untuk setiap pasangan titik u dan v di D(2) terdapat sebuah titik w di D(2)
dengan sifat bahwa terdapat sebuah (h, ℓ)-walk dari titik u ke titik w dan sebuah
(h, ℓ)-walk dari titik v ke titik w. Tulisan ini membahas mengenai scrambling
index dari kelas digraf Hamilton dwiwarna atas n ≥ 5 titik ganjil yang terdiri
dari dua cycle dengan panjang n dan (n − 1)/2. Pertama, tulisan ini membahas
primitifitas dari sebuah digraf dwiwarna D(2) dan selanjutnya memperlihatkan
rumus scrambling index yang bergantung pada n titik dan posisi arc biru yang
relatif terhadap titik berderajat masuk dua.
Kata kunci: Primitif, digraf dwiwarna, digraf Hamilton, scrambling index.

v

SCRAMBLING INDEX OF A CLASS OF TWO-COLORED
HAMILTONIAN DIGRAPH WITH N ODD VERTICES

ABSTRACT

The scrambling index of a primitive two-colored digraph D(2) is the least positive
integer h + ℓ over all pairs of nonnegative integers (h, ℓ) such that for each pair

of vertices u and v in D(2) there is a vertex w in D(2) with the property that there
is an (h, ℓ)-walk from u to w and an (h, ℓ)-walk from v to w. This paper discuss
the scrambling index of a class of two-colored Hamiltonian digraph on n ≥ 5 odd
vertices consist of two cycles of length n and (n − 1)/2, respectively. First, this
paper discuss the primitivity of a two-colored digraph D(2) and then present formulae for scrambling index that depend on n vertex and the position of the blue
arcs relative to the vertex of indegree two.

Keywords: Primitive, two-colored digraph, Hamiltonian digraph, scrambling index.

vi

DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN

i

PERNYATAAN

ii

PENGHARGAAN

iii

ABSTRAK

v

ABSTRACT

vi

DAFTAR ISI

vii

DAFTAR GAMBAR

viii

BAB 1 PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang

1

1.2 Perumusan Masalah

4

1.3 Tujuan Penelitian

4

1.4 Manfaat Penelitian

4

BAB 2 DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF

5

2.1 Definisi Digraf Dwiwarna

5

2.2 Matriks Ketetanggaan Digraf Dwiwarna

7

2.3 Primitifitas Digraf Dwiwarna

8

2.4 Scrambling Index Digraf Dwiwarna

11

2.5 Batas Scrambling Index Digraf Dwiwarna

16

BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN

19

BAB 4 SCRAMBLING INDEX DIGRAF HAMILTON DWIWARNA

21

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN

41

5.1 Kesimpulan

41

5.2 Saran

41

DAFTAR PUSTAKA

42

vii

DAFTAR GAMBAR

Nomor

Judul

Halaman

1.1

Digraf Wielandt Wn

3

1.2

(a) D(2) dengan 2 arc biru dan (b) D(2) dengan 3 arc biru

4

2.1

Digraf dwiwarna dengan 4 titik dan 5 arc

6

2.2

Digraf dwiwarna dengan 7 titik dan 10 arc

8

2.3

(a) D(2) terhubung kuat, (b) D(2) tidak terhubung kuat

9

2.4

Digraf dwiwarna D(2) terhubung kuat primitif

10

2.5

Digraf dwiwarna D(2) primitif

13

viii

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Matriks stochastic S adalah sebuah matriks bujursangkar berordo n yang setiap
entri memenuhi 0 < sij < 1 dan jumlah entri setiap baris dan kolom sama dengan
1. Andaikan matriks stochastic S memenuhi sifat koefisien ergodicity τ1 (S) < 1,
dimana
n

τ1 (S) =

}
∑
1{
max
|sil − sjl | .
ij
2
l=1

Matriks stochastic S disebut matriks scrambling jika dan hanya jika untuk setiap
dua baris dari matriks stochastic S memiliki paling sedikit satu entri positif
pada kolom yang sama (Seneta, 1979). Matriks tak negatif A adalah sebuah
matriks persegi berordo n yang setiap entri aij ≥ 0. Matriks tak negatif A
dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat positif k sehingga Ak bernilai
positif. Scrambling index dari matriks tak negatif A primitif adalah bilangan
bulat positif terkecil k sedemikian hingga Ak merupakan matriks scrambling.
Termotivasi dari gagasan Seneta diatas, Akelbek dan Kirland memperkenalkan scrambling index dari digraf primitif D. Suatu digraf primitif D dengan
n titik dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks ketetanggaan A(D), yaitu
matriks berukuran n × n yang setiap entrinya didefinisikan dengan aij = 1 jika
terdapat walk berarah dari titik vi ke titik vj dan aij = 0 jika tidak terdapat
walk berarah dari titik vi ke titik vj . Berdasarkan definisi matriks ketetanggaan
A(D) dapat dilihat bahwa A(D) adalah sebuah matriks tak negatif. Scrambling
index dari digraf primitif D bernilai sama dengan scrambling index dari matriks
tak negatif A(D).
Akelbek dan Kirland (2009a) mendefinisikan scrambling index dari digraf
primitif D, dinotasikan dengan k(D), adalah bilangan bulat positif terkecil k
sedemikian hingga untuk setiap pasangan titik u dan v di D, terdapat sebuah
titik w dengan sifat terdapat walk berarah (directed walk) dari titik u ke titik w
di D dan sebuah sebuah walk berarah dari titik v ke titik w di D dengan panjang
k.

2
Setelah diperkenalkannya definisi scrambling index, mulai banyak pengembangan penelitian mengenai scrambling index. Diawali Akelbek dan Kirland
(2009a) mengemukakan batas atas scrambling index dari digraf primitif dengan n
titik dan girth s. Andaikan D adalah digraf primitif dengan n titik dan girth s.
Maka k(D) ≤ K(n, s) terpenuhi, jika D = Ds,n dan gcd(s, n) = 1, dimana Ds,n
adalah sebuah digraf dengan sebuah cycle Hamilton v1 → vn → vn−1 → · · · →
v2 → v1 dan sebuah cycle v1 → vs → vs−1 → · · · → v2 → v1 dengan panjang s,
K(n, s) = n − s + k(n, s) dan
k(n, s) =

{

((s − 1)/2)n,
((n − 1)/2)s,

ketika s ganjil,
ketika s genap.

Akelbek dan Kirland (2009b) menjelaskan karakteristik dari digraf-digraf
primitif dengan scrambling index terbesar. Andaikan D adalah digraf primitif
dengan n titik, girth s ≥ 2 dan k(D) = K(n, s), maka memenuhi sifat berikut
ini.
1. Tidak terdapat cycle dengan panjang p, s < p < n, sehingga gcd(s, p) = 1.
2. D memuat Ds,n sebagai subgraf dan gcd(s, n) = 1.
Chen dan Liu (2010) menentukan hubungan antara scrambling index dan eksponen dari digraf simetrik primitif D dengan n ≥ 2 titik. Andaikan titik u dan v
⌈
⌉
⌈
⌉
berada di D, maka ku,v (D) ≤ expD (u, v)/2 dan k(D) = exp(D)/2 , dimana
⌈ ⌉
a adalah bilangan bulat terkecil yang tidak kurang dari a.

Liu dan Huang (2010) menentukan scrambling index dari digraf-digraf primitif yang salah satunya adalah digraf primitif dengan d loop. Andaikan Ln,d
adalah digraf dengan himpunan titik V = {1, 2, · · · , n} dan himpunan arc A =
{(i, i + 1)|1 ≤ i ≤ n − 1} ∪ {(n, 1)} ∪ {(i, i)|n − d ≤ i ≤ n}, dimana n, d ada⌈ ⌉
lah bilangan bulat dengan n ≥ 2 dan 1 ≤ d ≤ n, maka k(Ln,d ) = n − d/2 .
Selanjutnya, Gao dan Shao (2013) mengemukakan scrambling index dari digraf
primitif dengan cycle ganjil Cn , dimana n ≡ 1 (mod 2), maka k(Cn ) = (n − 1)/2.
Terlihat bahwa penelitian terdahulu pada umumnya membahas mengenai srcambling index dari digraf primitif. Kemudian, Mulyono dan Suwilo (2014) memperkenalkan gagasan scrambling index dari digraf dwiwarna primitif.
Digraf dwiwarna D(2) adalah digraf yang mana setiap arcnya diberi warna
merah atau biru (Fornasini dan Valcher, 1997). Digraf dwiwarna D(2) dikatakan
terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap pasang titik u dan v di D(2)

3
vn
b

v1
b

v2

b

b

b

v3
b

b

b

b

vn−1

vn−2

vn−3

b

Gambar 1.1 : Digraf Wielandt Wn
terdapat walk berarah dari titik u ke titik v dan walk berarah dari titik v ke
titik u. Digraf dwiwarna D(2) terhubung kuat dikatakan primitif dengan syarat
terdapat bilangan bulat tak negatif h dan ℓ sehingga untuk setiap pasangan titik
u dan v di D(2) terdapat walk berarah dari titik u ke titik v dan walk berarah
dari titik v ke titik u dengan panjang h + ℓ. Bilangan bulat positif terkecil h + ℓ
merupakan eksponen dari D(2) , dinotasikan dengan exp(D(2) ).
Mulyono dan Suwilo (2014) membahas tentang scrambling index dari digraf
Wielandt dwiwarna, yaitu sebuah digraf Hamilton dwiwarna yang terdiri dari
cycle Hamilton v1 → v2 → v3 → · · · → vn−1 → vn → v1 dan cycle v1 → v2 →
v3 → · · · → vn−1 → v1 dengan panjang n − 1. Representasi grafis digraf Wielandt
(2)
Wn dapat dilihat pada Gambar 1.1. Andaikan Wn adalah digraf Wielandt dwi(2)
warna dengan n titik. Scrambling index dari Wn dengan n ≥ 4 ditentukan
(2)
berdasarkan posisi dan jumlah arc biru pada Wn , diperoleh sebagai berikut:
(2)

1. Jika Wn memiliki satu arc biru vx → vx+1 , dimana 1 ≤ x ≤ n − 2, maka
(2)
k(Wn ) = n2 − 2n + 1 − x.
(2)

(2)

(2)

(2)

2. Jika Wn memiliki dua arc biru vn−1 → v1 dan vn → v1 , maka k(Wn ) =
n2 − 2n + 1.
3. Jika Wn memiliki dua arc biru vn−1 → v1 dan vn−1 → vn , maka k(Wn ) =
n2 − 2n + 2.
Lebih lanjut, penulis akan membahas mengenai scrambling index dari kelas
digraf Hamilton dwiwarna dengan n titik ganjil yang terdiri dari cycle Hamilton
v1 → v2 → v3 → · · · → vn−1 → vn → v1 dan cycle v1 → v2 → v3 → · · · →
v(n−3)/2 → v(n−1)/2 → v1 dengan panjang (n − 1)/2.

4
1.2 Perumusan Masalah
Andaikan D(2) adalah digraf Hamilton dwiwarna dengan n ≥ 5 titik ganjil terdiri
atas cycle Hamilton dan cycle dengan panjang n dan (n − 1)/2. Penelitian ini
membahas mengenai D(2) memiliki dua arc biru, yaitu vx → vx+1 dimana 1 ≤ x ≤
(n−3)/2 dan vy → vy+1 dimana (n−1)/2 ≤ y ≤ n dan D(2) memiliki tiga arc biru,
yaitu v(n−1)/2 → v1 , vx → vx+1 , dan vy → vy+1 dimana (n − 1)/2 ≤ x < y ≤ n,
seperti pada Gambar 1.2. Masalah penelitian ini adalah menentukan formula
scrambling index yang bergantung pada n titik dan posisi arc biru yang relatif
terhadap titik berderajat masuk dua atau v1 .

vn−1

vn−2 vy+1

b

vn
v1

b
b

b

vy

b

b

b

v n+1
b

b

b

2

v2

b

b

b

b

v3

b
b

v4

b

b
b

b

vx

v n−7
2

(a)
Gambar 1.2 : (a) D(2)

v n−1 v
1
2

vx+1

vn

vy+1

vy

b

b

vx+1
b

b

b
b

b

vx

b

b

b

v2

b

b

b

v n−1
2

v n−3
2

b

v3

b
b

b

b

b

v4 v n−7
2

b

v n−5
2

(b)
: arc merah
: arc biru
dengan 2 arc biru dan (b) D(2) dengan 3 arc biru

1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk menentukan scrambling index dari kelas digraf
Hamilton dwiwarna dengan n ≥ 5 titik ganjil terdiri atas cycle Hamilton v1 →
v2 → v3 → · · · → vn−1 → vn → v1 dan cycle v1 → v2 → v3 → · · · → v(n−3)/2 →
v(n−1)/2 → v1 dengan panjang (n − 1)/2.

1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah menambah literatur penelitian mengenai scrambling index dari digraf Hamilton dwiwarna.