Sehingga dapat disimpulkan bahwa setiap fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit dapat diubah menjadi bentuk implisit, akan tetapi ada
fungsi implisit yang tidak dapat diubah menjadi bentuk eksplisit. Fungsi pada contoh 6 adalah bentuk implisit yang tidak dapat dinyatakan
dalam bentuk eksplisit. Untuk pengembangan lebih lanjut pembaca dapat membuat beberapa contoh fungsi dengan mengelompokkannya
kedalam bentuk eksplisit atau implisit. Disamping itu dapat pula membuat contoh lain fungsi implisit yang dapat diubah menjadi fungsi
eksplisit atau fungsi implisit yang tidak dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Pada prinsip bentuk eksplisit y = fx, x dinamakan peubah
bebas independen, sedangkan y disebut peubah tak bebas dependen. Bentuk fx,y = 0 jika dapat diubah dalam bentuk ekplisit,
x, dan y secara berturut juga dinamakan peubah bebas dan tak bebas. Akan tetapi jika tidak dapat diubah dalam bentuk ekplisit, maka tidak
ada peubah bebas dan tak bebas dalam fungsi tersebut.
1.2 Turunan dan Antiturunan
Andaikan y = fx adalah suatu fungsi eksplisit, maka turunan derevative pertamanya dinyatakan dengan y’ = f’x. Notasi lain yang
digunakan untuk menyatakan turunan pertama suatu fungsi y = fx
adalah D
x
[fx] atau
dx dy
atau
dx x
df
. Selanjutnya turunan fungsi banyak digunakan dalam mempelajari persamaan differensial.
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
2
Berikut ini diberikan beberapa formula dasar tentang turunan fungsi.
Misal u,v, dan w adalah fungsi-fungsi dalam x dan mempunyai turunan differensiable, c sebarang bilangan real, maka:
1.
dx d
c = 0
2.
dx d
x = 1
3.
dx d
x
n
= nx
n-1
4.
dx d
u
n
= nu
n-1
dx d
u
5.
dx d
u + v =
dx d
u +
dx d
v
6.
dx d
u - v =
dx d
u -
dx d
v
7.
dx d
u
v
w
... =
dx d
u
dx d
v
dx d
w
...
8.
dx d
cu = c
dx d
u
9.
dx d
uv = u
dx d
v + v
dx d
u
10.
dx d
uvw = uv
dx d
w + uw
dx d
v + vw
dx d
u
11.
dx d
v u
=
2
v dx
dv u
dx du
v
12.
dx d
sinx = cos x
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
3
13.
dx d
cos x = -sin x
14.
dx d
tan x = sec
2
x
15.
dx d
cot x = -csc
2
x
16.
dx d
sec x = sec x tan x
17.
dx d
csc x = -csc x cot x
Formula di atas berlaku jika fungsi dinyatakan dalam bentuk eksplisit, sedangkan untuk fungsi yang dinyatakan dalam bentuk implisit
fx,y = 0, turunannya dapat ditentukan dengan menggunakan kaidah differensial, yaitu dengan cara mendifferensialkan masing-masing
variabel fungsi tersebut. Perhatikan beberapa contoh berikut:
1. Tentukan
dx dy
dari x
2
+ y
2
– 4 = 0 Jawab
Dengan aturan differensial masing-masing variabel diperoleh
dx
2
+ dy
2
– d4 = d0
dx
2
+ dy
2
– d4 = d0
2x dx + 2y dy = 0
dx dy
= -
y x
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
4
2. Tentukan
dx dy
dari x
2
y + xy
2
– 2 = 0
dx
2
y + dxy
2
– d2 = d0
x
2
dy + 2xydx + 2xydy + y
2
dx = 0
2xy + y
2
dx + 2xy +x
2
dy = 0
dx dy
= -
2 2
2 2
x xy
y xy
3. Tentukan
dx dy
dari y =
x x
x
Untuk menentukan
dx dy
dari fungsi di atas, maka bentuknya diubah menjadi bentuk implisit, dan diperoleh:
y =
x x
x
y
8
– x
7
= 0
dy
8
– dx
7
= d0
8y
7
dy – 7x
6
dx = 0
dx dy
= -
7 6
8 7
y x
Latihan soal Tentukan
dx dy
dari fungsi berikut ini
1. y =
2
1 4
x x
2. 2xy + 3y
2
- 2
xy
- 3 = 0
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
5
3. y =
x sin
2 1
4. y – cos
2
1 2
x
5. y = 1 +
1 2
x
6. y = sec
2 3
1 x
7. cos xy – 2x + 3y
2
= 0 8. y =
x x
1
9. yx + x
2
– 3y +1 = 0 10.
y = sin
4
1 x
Selain turunan fungsi, hal mendasar lain yang perlu dipahami untuk mendalami persamaan differensial adalah antiturunan.
Antiturunan fungsi disebut juga integral fungsi.
Misal y = fx adalah sebuah fungsi, antiturunannya dinotasikan dengan A
x
fx. Dalam hal yang lain dinyatakan dengan
fx dx. fx disebut integran.
Misal y = fx dan antiturunannya Fx, maka
fx dx = Fx + c, c
Real. Jika y = fx yang mempunyai antiturunan maka fungsi tersebut
dikatakan terintegralkan integrable. Beberapa rumus dasar dalam pengintegralan fungsi.
1.
dx = x + c, c
Real
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
6
2.
fx dx = Fx + c, c
Real 3.
x
n
dx = 1
1
n x
n+1
+ c, c
Real, n
-1 4.
u+v dx =
u dx +
v dx 5.
a u dx = a
u dx 6.
x 1
dx = ln | x | + c =
e
log │x│+ c, c
Real
7.
a
u
du =
a a
ln
+ c, c
Real
8.
fn
n
f’x dx =
1
1
n x
f
n
+ c, c
Real 9.
e
u
du = e
u
+ c, c
Real 10.
sin x dx = - cos x + c, c
Real 11.
cos x dx = sin x + c, c
Real 12.
tan x dx = ln | sec x | + c, c
Real 13.
sec x dx = ln | sec x + tan x | + c, c
Real 14.
cot x dx = ln | sin x | + c, c
Real 15.
csc x dx = ln | csc x – cot x | + c, c
Real 16.
sec
2
x dx = tgn x + c, c
Real 17.
csc
2
x dx = - cot x + c, c
Real 18.
sec x tan x dx = sec x + c, c
Real 19.
csc x ctgn x dx = -csc x + c, c
Real 20.
cos
m
x dx =
n n
n x
x
n
1 sin
cos
1
cos
m-2
x dx
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
7
21.
sin
m
x dx =
n n
n x
x
n
1 cos
sin
1
sin
m-2
x dx 22.
u dv = uv -
v du 23.
2 2
a x
dx
=
a 2
1
ln
a x
a x
+ c, c
Real
24.
2 2
x a
dx
=
a 2
1
ln
a x
a x
+ c, c
Real
25.
2 2
x a
dx
= arc sin
a x
+ C
26.
2 2
a x
dx
=
a 1
arc tan
a x
+ C
27.
2 2
a x
x dx
=
a 1
arc sec
a x
+ C
28.
2 2
a x
dx =
2 1
u
2 2
a x
+
2 1
a
2
Ln u +
2 2
u x
+ C
29.
2 2
a x
dx =
2 1
u
2 2
a x
-
2 1
a
2
Ln u +
2 2
u x
+ C
30.
2 2
a x
dx =
2 1
u
2 2
a x
+
2 1
a
2
Ln u +
2 2
u x
+ C
30.
2 2
a x
dx
= arc Sinh
a x
+ Cm
31.
2 2
a x
dx
= arc Cosh
a x
+ C
32.
au m
e u
du =
au m
au m
e u
a m
e u
a
1
1
du
1.3 Persamaan Differensial PD
