4.
2 2
dx y
d -
dx dy
- 2y = 0, persamaan tingkat dua derajat satu 2-1
5.
3 3
dx y
d
2 2
dx y
d
- 4
dx dy
+ 4y = 0, persamaan tingkat 3 derajat 1 3-1 6. y’’
2
+ y’
3
+ 3y = x
2
, persamaan tingkat dua derajat dua 2-2 7. y” = y’
3
+ y’, persamaan tingkat dua derajat satu 2-1 8.
x
z
z + x
y z
= 0, persamaan tingkat satu derajat satu 1-1
9.
2 2
x z
+
2 2
y z
= x
2
+ y, persamaan tingkat dua derajat satu 2-1
10. x
x z
+ y
y z
= z, persamaan tingkat satu derajat satu 1-1
1.4 Primitif suatu Persamaan Differensial
Sebagaimana telah disebutkan dalam definisi persamaan differensial, bahwa suatu persamaan differensial memuat turunan dari
suatu fungsi yang belum diketahui. Dengan demikian jika diketahui
suatu persamaan differensial maka dapat ditentukan fungsi yang belum diketahui tersebut. Untuk menentukan fungsi yang belum diketahui
suatu persamaan differensial terdapat beberapa cara, tergantung jenis persamaan, tingkat, dan derajatnya.
Sebelum dirincikan secara mendetail tentang cara menentukan fungsi yang belum diketahui suatu persamaan differensial, maka yang
perlu diperhatkan adalah koefisein dari masing-masing differensial apakah sudah sejenis. Perhatikan beberapa contoh soal di bawah ini.
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
11
1.
dx dy
= 2 – x
2-x dx – dy = 0
dx x
2
dy = 0
2x –
2 1
x
2
– y = C, C
R
4x – x
2
– 2y = C Berdasarkan uraian di atas, maka fungsi yang belum diketahui dari
persamaan
dx dy
= 2 – x, adalah 4x – x
2
– 2y = C. Untuk selanjutnya 4x – x
2
– 2y = 0 dinamakan selesaian umum primitif. Selesaian umum persamaan differensial juga disebut sebagai
persamaan keluarga kurva.
2. xy-x dx + xy + y dy = 0
xy-1 dx + yx+1 dy = 0
1
x x
dx +
1
y y
dy = 0
1
x x
dx +
1
y y
dy = C
1
-
1 1
x
dx +
1 +
1 1
y
dy = C
dx
-
1 1
x
dx +
dy +
1 1
y
dy = C
x - Ln │x+1 │+ y + Ln │y - 1│= C
x + y + Ln
1 1
x y
= C
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
12
e
x+y
x+1
-1
y-1 = C Berdasarkan uraian di atas, maka selesaian umum persamaan
differensial xy-x dx + xy + y dy = 0 adalah e
x+y
x+1
-1
y-1 = C. Kasus lain yang muncul adalah menentukan persamaan
differensial suatu primitif. Jika hal ini yang terjadi maka kita harus melihat angka penting dalam suatu primitif. Primitif selalu memuat
konstanta sebarang sebanyak n-buah. Konstanta tersebut dikatakan penting esensial dan sangat menentukan bentuk persamaan
differensialnya. Contoh
1. x
2
+ y
2
= c adalah primitif dengan satu angka penting 2. y = c
1
e
x
+ c
2
e
3x
adalah primitif dengan dua angka penting 3. y = A sin ax + B cox bx adalah primitif dengan dua angka penting
4. x-c
2
+ y
2
= r
2
adalah primitif dengan dua angka penting. Jika ditentukan primitif maka untuk menentukan persamaan
differensialnya mengikuti langkah penting, langkah tersebut adalah: 1. Tentukan banyaknya konstanta sebarang angka penting primitif
yang diketahui. 2. Misal angka pentingnya sebanyak n, maka turunkan primitif tersebut
sampai turunan ke-n. Hasil akhirnya adalah persamaan yang diminta jika dalam persamaan tersebut tidak terdapat konstanta sebarang
yang lain. Jika fungsinya dinyatakan dalam bentuk implisit, maka
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
13
dapat digunakan kaidah differensial pada masing-masing variabelnya.
3. Pada langkah kedua, jika masih terdapat konstanta sebarang, eliminir semua konstanta sebarang tersebut. Jika banyaknya konstanta
sebarang n, maka untuk mengeliminirnya diperlukan n+1 persamaan dan diperoleh setelah primitif diturunkan sampai turunan
ke-n. 4. Banyaknya konstanta sebarang menunjukkan order tertinggi turunan
dalam persamaan differensial yang dicari. 5. Yang perlu diingat bahwa dalam primitif selalu terdapat konstanta
sebarang yang disebut angka penting, sedangkan dalam persamaan differensial tidak terdapat konstanta sebarang.
Perhatikan beberapa contoh berikut: Tentukan persamaan differensial dari primitif di bawah ini:
1. x
2
+ 2y
2
= C Primitif mempunyai 1 angka penting, sehingga
dx
2
+ d2y
2
= dC
2x dx + 4y dy = 0
dx dy
= -
y x
2
Persamaan differensial primitif x
2
+ 2y
2
= C adalah
dx dy
= -
y x
2
2. y = A cos ax + B sin ax Primitif di atas mempunyai 2 angka penting, maka
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
14
dx dy
= -Aa sin ax + Ba cos ax
2 2
dx y
d
= -Aa
2
cos ax – Ba
2
sin ax = -a
2
A cos ax + B sin ax = -a
2
y Sehingga persamaan differensial primitif di atas adalah
2 2
2
y a
dx y
d
3. y = cx
2
+ c
2
Primitif di atas mempunyai 2 angka penting, sehingga
y’ = 2cx + 0
y’’ = 2c
c =
2 y
Substitusikan ke persamaan y = cx
2
+ c
2
Didapat y = y”2x
2
+ y’’2
2
4. y = c
1
e
2x
+ c
2
e
x
Primitif mempunyai 2 angka penting
y’ = 2c
1
e
2x
+ c
2
e
x
y” = 4c
1
e
2x
+ c
2
e
x
Karena sampai pada turunan kedua masih terdapat konstanta c, maka dengan menggunakan cara substitusi diperoleh persamaan.
y” – 3y’ + 2y = 0.
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
15
5. Tentukan persamaan differensial dari keluarga lingkaran dengan jari- jari r satuan yang tetap dan berpusat pada sumbu x.
Jawab Persamaan keluarga lingkaran dengan jari-jari r satuan yang tetap
dan berpusat pada sumbu x adalah x-c
2
+ y
2
= r
2
.
2x-c + 2y
dx dy
= 0
2 + 2 y
2 2
dx y
d
+
dx dy
= 0
y
2 2
dx y
d
+
dx dy
+ 1 = 0 adalah persamaan differensial yang diminta.
6. Tentukan persamaan differensial keluarga kurva parabola yang fokusnya di titik asal dan sumbu simetrinya sepanjang sumbu x.
Jawab Persamaan bola yang diminta adalah y
2
= 4cc+x Dengan menurukan masing-masing peubah, diperoleh
2y y’ = 4c + 0
y y’ = 2c
c = ½ y y’ Substitusikan ke persamaan semula
y
2
= 2y y’ 12 y y’ + x
2y
2
– 2yy’yy’ +x = 0
2y
2
– 2y
2
y’
2
– 2xyy’ = 0
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
16
1.5 Masalah Nilai awal dan Syarat Batas
