21.
sin
m
x dx =
n n
n x
x
n
1 cos
sin
1
sin
m-2
x dx 22.
u dv = uv -
v du 23.
2 2
a x
dx
=
a 2
1
ln
a x
a x
+ c, c
Real
24.
2 2
x a
dx
=
a 2
1
ln
a x
a x
+ c, c
Real
25.
2 2
x a
dx
= arc sin
a x
+ C
26.
2 2
a x
dx
=
a 1
arc tan
a x
+ C
27.
2 2
a x
x dx
=
a 1
arc sec
a x
+ C
28.
2 2
a x
dx =
2 1
u
2 2
a x
+
2 1
a
2
Ln u +
2 2
u x
+ C
29.
2 2
a x
dx =
2 1
u
2 2
a x
-
2 1
a
2
Ln u +
2 2
u x
+ C
30.
2 2
a x
dx =
2 1
u
2 2
a x
+
2 1
a
2
Ln u +
2 2
u x
+ C
30.
2 2
a x
dx
= arc Sinh
a x
+ Cm
31.
2 2
a x
dx
= arc Cosh
a x
+ C
32.
au m
e u
du =
au m
au m
e u
a m
e u
a
1
1
du
1.3 Persamaan Differensial PD
Perhatikan persamaan-persamaan di bawah ini: 1. 2x dx – 3 dy = 0
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
8
2. dx
dy = 3 – 2x
3.
dx dy
+ 2xy = 4x
4.
2 2
dx y
d -
dx dy
- 2y = 0
5.
3 3
dx y
d
2 2
dx y
d
- 4
dx dy
+ 4y = 0 tingkat-3, derajat-1 6. y’’
2
+ y’
3
+ 3y = x
2
tingkat-2, derajat-2 7. y” = y’
3
+ y’ tingkat-2, derajat-1 8.
x
z
z + x
y z
= 0
9.
2 2
x z
+
2 2
y z
= x
2
+ y tingkat-2, derajat-1
10. x
x z
+ y
y z
= z Setiap persamaan pada contoh di atas, memuat tanda turunan
atau differensial. Oleh karenanya masing-masing persamaan disebut persamaan differensial.
Definisi: Persamaan differensial adalah suatu persamaan yang di dalamnya
terdapat paling sedikit satu turunan atau differensial dari suatu fungsi yang belum diketahui.
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
9
Jika dalam suatu persamaan differensial, turunan yang muncul
adalah turunan biasa
dx dy
maka persamaannya dinamakan persamaan
differensial biasa, sebaliknya jika turunan yang muncul adalah turunan
parsial
x z
dan
y z
, maka persamaannya dinamakan persamaan differensial parsial. Persamaan pada contoh 1-7 di atas dinamakan
persamaan differensial biasa, sedangkan persamaan pada contoh 8-10 di atas dinamakan persamaan differensial parsial.
Selain jenis persamaan differensial biasa dan parsial, dalam persamaan differensial dikenal pula istilah tingkat order dan derajat
degree. Tingkat suatu persamaan differensial ditentukan oleh turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan tersebut, sedangkan derajat
persamaan differensial ditentukan oleh pangkat dari turunan tertinggi dalam persamaan yang diberikan.
Perhatikan beberapa contoh persamaan dibawah ini. 1. 2x dx – 3 dy = 0. Persamaan differensial tingkat satu derajat satu,
karena turunan tertingginya adalah turunan tingkat satu dan berpangkat satu. Dengan cara yang sama dapat ditentukan tingkat
dan derajat fungsi dibawah ini. 2.
dx dy
= 3 – 2x , persamaan tingkat satu derajat satu 1-1
3.
dx dy
+ 2xy = 4x, persamaan tingkat satu derajat satu 1-1
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
10
4.
2 2
dx y
d -
dx dy
- 2y = 0, persamaan tingkat dua derajat satu 2-1
5.
3 3
dx y
d
2 2
dx y
d
- 4
dx dy
+ 4y = 0, persamaan tingkat 3 derajat 1 3-1 6. y’’
2
+ y’
3
+ 3y = x
2
, persamaan tingkat dua derajat dua 2-2 7. y” = y’
3
+ y’, persamaan tingkat dua derajat satu 2-1 8.
x
z
z + x
y z
= 0, persamaan tingkat satu derajat satu 1-1
9.
2 2
x z
+
2 2
y z
= x
2
+ y, persamaan tingkat dua derajat satu 2-1
10. x
x z
+ y
y z
= z, persamaan tingkat satu derajat satu 1-1
1.4 Primitif suatu Persamaan Differensial
