48 concordan
ţă cu rolul său, raza r se numeşte rază de interacţiune. Cei doi operatori considera
ţi, mutaţia şi recombinarea se exclud reciproc. Un cromozom a este perturbat prin muta
ţie doar în situaţia în care vecinătatea sa Va,r nu permite stabilirea unui partener pentru recombinare. Decizia de alegere a
operatorilor genetici este condi ţionată atât de cadrul problemei concrete cât şi de
metoda de reprezentare a indivizilor. Spre exemplu, pentru o reprezentare real ă, putem
considera încruci şarea convexă de tipul 2,1 şi o lege aditivă de mutaţie prin care fiecare
variabil ă a cromozomului suferă o perturbaţie normală:
Fie a cromozomul selectat pentru recombinare, şi m dimensiunea sa numărul de
variabile, în vecin ătatea sa Va,r este determinat partenerul b de recombinare. Unicul
descendent al perechii a,b este cromozomul c, pentru care:
i i
i i
b a
c 1
1
α α
− +
=
,
m i
, 1
=
unde
] 1
, [
∈
i
α
urmeaz ă o distribuţie uniformă.
Obs: Unicul descendent al perechii a,b va mo şteni culoarea părintelui dominant.
În cazul in care vecin ătatea lui c nu oferă nici un partener valid pentru
încruci şare, cromozomul c este supus mutaţiei..
În general, un descendent mai bun î şi înlocuieşte automat părintele în noua
genera ţie. Aceasta ar putea conduce înspre o convergenţă prematură a procedurii.
Evitarea convergen ţei premature poate fi făcută prin înzestrarea procedurii cu un
mecanism suplimentar de tipul recoacerii simulate. Astfel, un individ mai slab decât p
ărintele său poate fi acceptat în noua generaţie cu o anumită probabilitate p. Un alt aspect specific cromodinamicii genetice este descre
şterea numărului de indivizi ai popula
ţiei, în timp anumiţi indivizi devin foarte apropiaţi şi mai multe subpopula
ţii ar putea evolua înspre acelaşi punct de optim. Acest lucru este neacceptabil dac
ă dorim determinarea numărului corect de optime şi avem în vedere aptul c
ă fiecărui punct de optim îi va corespunde un unic cromozom. Pentru modelarea acestui aspect se va considera c
ă indivizii foarte apropiaţi distanţa dintre aceştia este mai mic
ă decât o valoare pre-fixată se vor unifica devenind unul singur. Condi
ţia de oprire a algoritmului poate fi dată de atingerea unui număr de genera
ţii sau poate fi validată în cazul în care după un număr oarecare de generaţii nu se mai înregistreaz
ă modificări semnificative ale populaţiei. ; Rezultatele acestei tehnici sunt pe de o parte, determinarea punctelor
de optim şi pe de altă parte stabilirea numărului corect de puncte de optim. Dacă,
popula ţia finală este alcătuită din s cromozomi atunci numărul de puncte de optim
este s iar fiecare cromozom
s i
x
i
,..., 2
, 1
, =
reprezint ă o soluţie optimă locală sau
global ă a problemei.
Dinamica metodei poate fi urm ărită pe două nivele. Primul nivel corespunde
modific ării cromozomilor iar cel de-al doilea este asociat cu formarea, modificarea şi
stabilizarea subpopula ţiilor.
III. OPTIMIZARE MULTICRITERIAL Ă
49 O clas
ă de probleme cu un grad mare de complexitate admite existenţa mai multor func
ţii obiectiv. Problemele în care mai multe funcţii obiectiv trebuie optimizate simultan se numesc probleme de optimizare multicriterialâ
optimizare multiobiectiv, optimizare vectorial ă. De cele mai multe ori criteriile de
optim sunt contradictorii, îngreunând semnificativ stabilirea unei tehnici de rezolvare a problemelor de acest gen. O abordare simplist
ă permite convertirea criteriilor într-o singur
ă funcţie obiectiv, problema reducăndu-se la o problemă de optimizare clasică cu un singur obiectiv. Fiecare criteriu î
şi va aduce aportul în această funcţie printr-o pondere prestabilit
ă. Alegerea ponderilor pentru definirea unei unice funcţii obiectiv cunoa
şte adesea o rezolvare subiectivă care ar afecta soluţia finală. Motivele prezentate încurajeaz
ă cercetarea altor tehnici de rezolvare a problemelor multicriteriale.
Optimizare Pareto Pentru o problem
ă de optimizare cu m funcţii criteriu: f
i
, i = 1,2,...,m definim vector criteriu, vectorul m-dimensional cu urm
ătoarea formă, având ca şi componente func
ţiile f
i
, i = 1,2,...,m :
=
m
f f
F M
1
Notând cu
Ω
domeniul func ţiei F, F :
m
R →
Ω
, iar
Ω
reprezint ă spaţiul de
c ăutare pentru problema
dat ă.
Principalul neajuns al problemelor de optimizare multicriterial ă constă în
incompatibilitatea diferitelor criterii şi, în consecinţă, imposibilitatea comparării
solu ţiilor, în optimizarea Pareto această dificultate este înlăturată prin definirea unei
50 rela
ţii de ordine relaţie de dominare peste mulţimea soluţiilor. O solu
ţie nedominată sau optimală în sens Pareto se defineşte intuitiv prin urm
ătoarele propoziţii: a
Nu este o soluţie mai proastă decât celelalte. b
Este mai bună decât oricare alta în raport cu cel puţin un criteriu. Pentru a defini rela
ţia de dominare peste mulţimea soluţiilor spaţiul
Ω
se define
şte în prealabil o relaţie de dominare peste mulţimea valorilor funcţiei vector F spa
ţiul R
m
. Fie urm
ătoarea problemă de optimizare multicriterială:
Ω
∈ =
→ x
m i
x f
P
i
,..., 1
max, :
Valorile func ţiei vector F constituie mulţimea V, unde:
V={v
m
R ∈
|
Ω ∈
∃x
, v = Fx}
Defini ţie. Fie u şi v doi vectori din V. Spunem că vectorul v îl domină pe u notat
u
p
v în raport cu problema considerat ă, ddacă sunt îndeplinite următoarele:
a u
i
, i= 1,2,...,m; b
∃
j = 1,2,...,m : u
j
v
j
.
Defini ţie. Spunem că valoarea v a funcţiei F este nedominată Pareto-optimală
dac ă nu există nici o altă valoare care să o domine.
Rela ţia definită peste mulţimea V induce în spaţiul
Ω
o rela ţie de dominare:
Defini ţie: Spunem ca soluţia x e
Ω
este nedominat ă soluţie Pareto - optimală
ddac ă nu există nici o altă soluţie care să genereze o valoare a funcţiei F care domină pe Fx.
Solu ţiile optimale - Pareto ale problemei constituie frontul Pareto asociat problemei
respective:
Ω
P
= {
Ω ∈
x
|
F X
- nedominata}
Optimizare Pareto cu algoritmi genetici În 1989 Goldberg aplic
ă cu succes tehnicile algoritmilor genetici pentru rezolvarea problemelor de optimizare multicriterial
ă utilizând conceptul de nedominare în sens Pareto. Algoritmul genetic este îmbog
ăţit printr-un mecanism de etichetare a cromozomilor la fiecare genera
ţie. Astfel, la o generaţie oarecare toţi indivizii nedominaţi sunt eticheta
ţi cu valoarea l şi sunt eliminaţi din populaţie. Din populaţia rămasă se vor extrage din nou indivizii nedomina
ţi, aceştia din urmă primind rangul 2. Procedeul continuă în aceast
ă manieră până când toţi indivizii generaţiei respective au fost etichetaţi. Submul
ţimile de soluţii nedominate realizează o partiţie a generaţiei curente. Valorile rangurilor sunt utilizate în calcularea probabilit
ăţilor de selecţie şi reproducere.
în 1995, Srintvas şi Deb implementează un algoritm de optimizare Pareto în care
este folosit ă metoda nişelor ecologice. La fiecare generaţie sunt stabilite submulţimile de
solu ţii nedominate în maniera descrisă anterior. Pentru fiecare submultime de soluţii
nedominate se recalculeaz ă performanţa indivizilor apartenenţi folosind metoda nişei.
Submul ţimile de soluţii nedominate reprezintă de fapt o partiţie a populaţiei. Fiecare
51 submultime subpopula
ţie corespunde unei nişe în care indivizii partajează resursele comune. Performan
ţele recalculate intervin în selecţia cromozomială. În continuare este dat algoritmul de optimizare vectorial
ă bazat pe metoda nişei ecologice.
Algoritmul de optimizare P carete bazat pe metoda ni şei ecologice - prelucrarea
genera ţiei Ptl
1. Fie P
1
- submultimea solu ţiilor nedominate din Pt
2. Se generează o valoare mare de adecvare ce se atribuie fiecărui individ din P
1
; 3.
Se recalculează performanţele indivizilor nedominaţi folosind metoda nişei; 4.
Fie v
1
cea mai mic ă valoare de adecvare a cromozomilor din P
1
şi i = 2; 5.
Pt = Pt\P
1
; 6.
Cât timp Pt
Φ ≠
execut ă:
6.1. Fie P - submultimea solu
ţiilor nedominate din Pt 6.2.
Fie v
i
, v
i
v
i-1
, o valoare de adecvare ce se atribuie fiec ărui individ din
P
i
; 6.3.
Se recalculeaz ă performanţele indivizilor nedominaţi folosind metoda
ni şei;
6.4. Pt=P{tP;
6.5. i = i + 1;
7. n = i; num ărul de subpopulaţii
n 8. Pt =
i n
i
P
1 =
∪
; refacerea popula ţiei
i=i 9. Se aplic
ă operatorii genetici asupra indivizilor populaţiei Pt utilizând valorile adecv
ărilor recalculate.
IV. OPTIMIZARE MULTICRTTERIAL Ă CU CROMODINAMICĂ
