Konsep : Penalaran deduktif : Kesimpulan diperoleh setelah mengurai pembuktian kasus per kasus Dari
sesuatu yang berlaku secara umum ke sesuatu yang khusus. Penalaran induktif : Kesimpulan diperoleh dari menghimpun pembuktian dari kasus per kasus Dari
sesuatu yang berlaku khusus ke sesuatu yang umum Kebenaran mutlak : kebenaran yang berlaku kapanpun, dimanapun,tetap mempunyai nilai
kebenaran yang sama tidak dipengaruhi ruang dan waktu . Kebenaran tidak mutlakrelatif : kebenaran yang bisa berubah nilai kebenaranya karena waktu,
tempat atau faktor tertentu terpengaruh oleh ruang dan waktu. Penarikan kesimpulan secara induktif yang umum tidak bisa diterima sebagai kebenaran mutlak di
matematika. Kebenaran yang diperoleh pada Prinsip Induksi Matematis merupakan kebenaran yang berlaku
dalam semesta pembicaraannya. Jadi pembuktian dengan induksi matematis juga merupakan penalaran deduktif.
Prinsip : - Prinsip Induksi Matematis
Misalkan Pn adalah suatu pernyataan dimana kebenarannya ditentukan oleh nilai n. Jika Pn memenuhi dua sifat berikut.
1.
Pn itu benar untuk n = 1 2.
Untuk setiap bilangan asli k, jika Pk bernilai benar maka P k + 1 juga bernilai benar. Maka Pn bernilai benar untuk setiap bilangan asli n.
- Prinsip Induksi Matematis yang diperluas Misalkan Pn adalah suatu pernyataan dimana kebenarannya ditentukan oleh nilai n. Jika Pn
memenuhi dua sifat berikut. 1.
Pn itu benar untuk n = m 2.
Untuk setiap bilangan asli k ≥ m, jika Pk bernilai benar maka P k + 1 juga bernilai benar. Maka Pn bernilai benar untuk setiap bilangan asli yang lebih atau sama dengan n.
E. Metode Pembelajaran
Metode pembelajaran koperatif cooperative learning menggunakan kelompok diskusi dengan pendekatan saintifik scientific dalam model pembelajaran Problem Based Learning.
F. Media, Alat dan Sumber Pembelajaran
Media : White Board, Tayangan Power Point dan Lembar Kerja Siswa Alat : Laptop, LCD
Sumber Pembelajaran :
- Buku Siswa Matematika Kelas XII Semester 1
- Buku Guru Matematika Kelas XII
G. Langkah-langkah Kegiatan Pembelajaran Kegiatan
Deskripsi Kegiatan Alokasi
Waktu
Pendahuluan 1. Guru mengucapkan salam kepada siswa
2. Guru meminta ketua kelas memimpin do’a sebelum memulai pembelajaran.
3. Guru memberikan motivasi 4. Guru mengecek kahadiran siswa.
5. Guru memberikan gambaran tentang pentingnya membuktikan kebenaran suatu pernyataan dalam
kehidupan sehari-hari. 6. Sebagai apersepsi untuk mendorong rasa ingin tahu
siswa sehingga diharapkan dapat aktif dalam proses pembelajaran, siswa diajak memecahkan masalah
pembuktian suatu pernyataan. 7. Guru menyampaikan indikator pencapaian kompetensi
yang ingin dicapai. 8. Guru mengingatkan kembali tentang deret bilangan.
15 menit
Inti
Pertemuan pertama Fase 1: Mengorientasi siswa kepada masalah
Mengamati 1. Guru memberikan suatu permasalahan dalam bentuk
pernyataan kontekstual tentang fenomena alam atau lingkungan. Siswa diminta mengamati dan
menyebutkan hal-hal yang mengarah ke suatu pembuktian pernyataan tersebut proses penalaran
deduktif dan sebaliknya dari kasus-kasus tersebut,apakah valid untuk menyimpulkan kebenaran
pernyataan dimaksud?proses penalaran induktif
2. Dengan berkelompok siswa diminta untuk mengamati
dan menyelidiki beberapa pernyataan matematik contoh 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 pada halaman 130 – 135,
proses penalaran deduktif, dan sebaliknya dari kasus- kasus tersebut, apakah sudah dapat membuktikan dan
menyimpulkan kebenaran dari pernyataan dimaksud proses penalaran induktif
Fase 2: Mengorganisasikan siswa Menanya :
Dengan diskusi kelompok, siswa diminta untuk menuliskan pertanyaan yang diharapkan muncul berkenaan dengan
induksi matematis halaman 134
Fase 3: Membimbing penyelidikan individu dan kelompok
Mengumpulkan informasi Dengan berdiskusi kelompok siswa menggali informasi
bagaimana induksi matematis digunakan dalam pembuktian matematis halaman 135 – 136
Fase 4:Mengembangkan dan menyajikan hasil karya Mengasosiasikan
Dengan penalaran deduktif prinsip induksi matematis, dengan diskusi kelompok siswa di ajak untuk menalar,
apakah pernyataan Pn yang berkenaan dengan semua bilangan asli n, jika memenuhi dua sifat P1 benar dan
Untuk setiap bilangan asli k,jika Pk benar maka Pk+1 juga benar, sudah dapat untuk menyimpulkan Pn
tersebut ? halaman 137 Mengkomunikasikan
Perwakilan dari salah satu kelompok diminta untuk mempresentasikan hasilnya di depan kelas dan kelompok
lainnya dipersilahkan untuk membandingkan hasil diskusinya. halaman 137
Fase 5: Menganalisa dan mengevaluasi proses pemecahan masalah
Mengasosiasikan
Peserta didik menganalisa masukan,tanggapan dan koreksi dari guru
75 menit
Pertemuan kedua
Fase 1: Mengorientasi siswa kepada masalah Mengamati
Dengan berkelompok siswa diminta untuk mengamati dan menyelidiki beberapa pernyataan matematik contoh 3.5,
3.6, 3.7 pada halaman 139 – 143, proses penalaran deduktif
Fase 2: Mengorganisasikan siswa Menanya
Dengan diskusi kelompok, siswa diminta untuk menuliskan pertanyaan yang diharapkan muncul berkenaan dengan
induksi matematis halaman 143
Fase 3: Membimbing penyelidikan individu dan kelompok
Mengumpulkan informasi Dengan berdiskusi bersama kelompoknya siswa menggali
informasi prinsip induksi matematis dan prinsip induksi matematis yang diperluas digunakan dalam pembuktian
matematis pada halaman 144 - 145
Fase 4:Mengembangkan dan menyajikan hasil karya Mengasosiasi
Dengan prinsip induksi matematis dan prinsip induksi matematis diperluas, dengan diskusi kelompok siswa
diajak untuk menalar, apakah pernyataan Pn benar untuk setiap bilangan asli n? Dan bagaimana langkah-langkah
suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis yang diperluas bahwa suatu pernyataan Pn benar untuk
setiap bilangan asli n≥m, untuk suatu bilangan asli m? halaman 146
Mengkomunikasikan Perwakilan dari salah satu kelompok diminta untuk
mempresentasikan hasilnya di depan kelas dan kelompok lainnya dipersilahkan untuk membandingkan hasil
diskusinya. Guru membantu siswa apabila ditemukan kesulitan atau terjadi ketidaksepahaman antar siswa
halaman 147
Fase 5: Menganalisa dan mengevaluasi proses pemecahan masalah
Mengasosiasikan Peserta didik menganalisa masukan,tanggapan dan koreksi
dari guru 75 menit
Penutup 1. Siswa diminta menyimpulkan tentang induksi
matematis. 2. Guru memberikan PR beberapa soal pembuktian dengan
induksi matematis 3. Guru mengajak siswa untuk bersyukur kepada Allah
SWT telah diberi pengetahuan tentang Fungsi Invers dengan ucapan Hamdalah bersama-sama.
4. Guru mengucapkan salam 15 menit
H. Penilaian
a. Teknik Penilaian: melalui pengamatan dan tes tertulis
b. Prosedur Penilaian:
No Aspek yang dinilai
Teknik Penilaian Waktu Penilaian
1 Sikap
2.1.1 Menunjukkan sikap
kerjasama dalam belajar kelompok
2.2.1 Menunjukkan rasa ingin tahu dalam proses pembelajaran
. Pengamatan
Selama pembelajaran dan saat diskusi
2 Pengetahuan
3.3.1 Menjelaskan prinsip induksi matematika
dalam membuktikan rumus jumlah
deret persegi Tes tertulis
Penyelesaian tugas individu dan kelompok
c. Instrumen Penilaian Tugas Kelompok
1. Bentuk
2n−13 3 n−19
bernilai positif untuk setiap n bilangan asli ? Silidiki untuk 10 bilangan asli pertama
2. Tulislah langkah-langkah pembuktian dengan prinsip induksi matematis pada soal berikut :
P n=1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ …+n
2
= n n+12 n+1
6
Kunci Jawaban : 1.
n Nilai
2n−13 3 n−19
Benar Salah 1
11 17
Benar 2
9 13
Benar 3
7 10
Benar 4
5 7
Benar 5
3 4
Benar 6
1 1
Benar 7
1 2
Benar 8
3 4
Benar 9
5 8
Benar 10
7 11
Benar Untuk 10 bilangan asli pertama tampak bahwa pernyataan tersebut benar.
Disimpulkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n bilangan asli. 2.
P n=1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ …+n
2
= n n+12 n+1
6
P1=
1
2
= 11+121+1
6
Untuk setiap bilangan asli k ,apabila Pk benar maka Pk+1 benar.
Penilaian Sikap
Rubrik untuk : 2.1.1
Menunjukkan sikap kerjasama dalam belajar kelompok 2.2.1
Menunjukkan rasa ingin tahu dalam proses pembelajaran N
o Nama
Kerjasama Rasa ingin tahu
4 3
2 1
4 3
2 1
1 Indah
2 Jaelani
3 Lilis
4 Nisa
5 Sofiana
6 Sobirin
7 Sugiyono
Kerjasama : Sangat aktif dalam aktivitas kelompok = 4 Aktif dalam aktivitas kelompok = 3
Kurang aktif = 2 Tidak aktif = 1
Rasa ingin tahu: Sangat sering bertanya dalam aktivitas kelompok = 4 Sering bertanya dalam aktivitas kelompok = 3
Jarang bertanga dalam aktivitas kelompok = 2 Tidak pernah bertanya dalam aktivitas kelompok =1
Penilaian Pengetahuan
Kunci Jawaban : 1.
n Nilai
2n−13 3 n−19
Benar Salah 1
11 17
Benar 2
9 13
Benar 3
7 10
Benar 4
5 7
Benar 5
3 4
Benar 6
1 1
Benar 7
1 2
Benar Benar 9 – 10 bilangan
= 4 Benar 7 -8 bilangan
= 3 Benar 5- 6 bilangan
= 2 Benar
¿ 5 bilangan
8
3 4
Benar 9
5 8
Benar 10
7 11
Benar
Untuk 10 bilangan asli pertama tampak bahwa pernyataan tersebut benar. Disimpulkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n bilangan asli.
2.
P n=1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ …+n
2
= n n+12 n+1
6
1 P1=
1
2
= 11+121+1
6
.............................................................................SKOR 2 2. Untuk setiap bilangan asli k ,apabila Pk benar maka Pk+1 benar..........SKOR 4
Penilaian Keterampilan
N o
Nama Ketepatan waktu
4 3
2 1
1 Indah
2 Jaelani
3 Lilis
4 Nisa
5 Sofiana
6 Sobirin
7 Sugiyono
Kerjasama : Kurang dari 5 menit = 4 Dalam waktu 5 – 6 menit = 3
Dalam waktu 7 – 8 menit = 2 Lebih dari 8 menit = 1
Catatan: Penskoran bersifat komprehensifmenyeluruh, tidak saja memberi skor untuk jawaban akhir, tetapi juga
proses pemecahan masalah yang terutama meliputi pemahaman, tata cara penulisan, ketepatan penggunaan simbol, penalaran logis serta ketepatan strategi memecahkan masalah.
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Satuan Pendidikan : SMAN 1 Kaliwungu
Mata Pelajaran : Matematika-Wajib
KelasSemester : XII 1
Materi pokok : Induksi Matematis
Waktu : 2 × 2 JP 45 menit
A. Kompetensi Inti KI
