umumnya digunakan untuk meng-enkripsi pesan berukuran kecil seperti kata kunci dari enkripsi simetris seperti DES dan AES yang kemudian kunci tersebut dikirim
secara bersamaan dengan pesan utama.
2.6 Teori Bilangan
2.6.1 Sifat Habis Dibagi Pada Bilangan Bulat
Suatu bilangan bulat b dikatakan habis dibagi divisible oleh suatu bilangan bulat tak nol a jika ada suatu bilangan bulat q sedemikian sehingga b = aq. Atau dapat juga
dikatakan a membagi habis b dan ditulis dengan a | b.
Sifat – sifat hasil bagi :
a. jika a | b maka a | bc untuk sebarang c bilangan bulat. b. jika a | b dan b | c maka a | c.
c. jika a | b dan a | c maka a | bx+cy untuk sebarang x,y bilangan bulat. d. jika a | b dan b | a maka a =
b. e.
jika a b dan b ≠ 0, maka |a|
b|
f. jika m ≠ 0, maka a | b jika hanya jika ma | mb
Jika a | b maka a disebut faktor dari b. Kemudian jika suatu bilangan bulat d membagi dua bilangan bulat a dan b maka d disebut faktor persekutuan dari a dan b.
Bilangan bulat terbesar di antara semua faktor persekutuan bagi a dan b dinamakan faktor persekutuan terbesar greatest common divisor bagi a dan b dan dilambangkan
dengan GCDa,b atau sering juga sering dilambangkan dengan FPBa,b.
Contoh : Faktor pembagi 45 adalah : 1, 3, 5, 9, 15, 45
Faktor pembagi 36 adalah : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 Faktor pembagi bersama dari 45 dan 36 adalah : 1, 3, 9. Sehingga gcd45, 36 = 9
Universitas Sumatera Utara
Untuk menentukan faktor persekutuan terbesar dapat pula digunakan teorema algoritma euclide berikut :
Diberikan dua bilangan bulat a dan b dengan a b 0, maka GCDa,b dapat dicari dengan mengulang algoritma pembagian.
a = q
1
.b + r
1
... 0 r
1
b b = q
2
.r
1
+ r
2
... 0 r
2
r
1
r
1
= q
3
.r
2
+ r
3
...0 r
3
r
2
: :
r
n-2
= q
n
.r
n-1
+ r
n
r
n-1
= q
n+1
.r
n
+ 0
Maka, r
n
, sisa terakhir dari pembagian diatas yang bukan nol merupakan GCDa,b.
Akibat selanjutnya dari teorema euclide yaitu persamaan linear Diophantine sebagai berikut :
Suatu persamaan linear Diophantine ax + by = c dengan a,b dan c bilangan bulat mempunyai penyelesaian bilangan bulat jika dan
hanya jika GCDa,b membagi habis c.
Bukti : Dari akibat sebelumnya diketahui bahwa untuk setiap GCDa,b maka terdapat
bilangan bulat m dan n sedemikian hingga GCDa,b = am + bn. Selanjutnya karena GCDa,b membagi habis c maka terdapat bilangan k sedemikian hingga
c = k. GCDa,b c = k. am +bn
c = akm + bkn
Jadi salah satu penyelesain untuk persamaan linear Diophantine tersebut yaitu x = km dan y = kn.
Universitas Sumatera Utara
2.6.2 Kongruensi
