1
MATEMATIKA
Set 7 BARISAN GEOMETRI
A. RUMUS SUKU KE-n U
N
a. U
n
= ar
n – 1
b. U
n
= U
p
.r
q
, n = p + q
B. RASIO R
a. r U
U U
U U
U
n n
= =
= ... =
2 1
3 2
+1
b. r U
U n
p q
n p
q
= , =
−
C. SUKU TENGAh U
T
, PADA n GANJIL
a. U a U
t n
= ×
b. t n
= 1+
2
D. JUMLAh n SUKU PERTAMA
S a r
r a
r r
n n
n
= 1
1 =
1 1
− −
− −
MA TERI D
AN L ATIHAN SBMPTN
TOP LE VEL - XII SM
A
2
E. DERET GEOMETRI TAK hINGGA S
∞
a. S a
r
∞
− =
1 b. -1 r 1 syarat barisan konvergen
F. U
1
U
2
. . . U
T
. . . U
n
= U
T n
n bilangan ganjil
Contoh Soal
1. Misalkan x
1
dan x
2
adalah akar-akar persamaan kuadrat x
2
– 2k
2
– k – 1 + 3k + 4 = 0 dan kedua akar itu bilangan bulat dengan k konstan. Jika x
1
, k, x
2
merupakan 3 suku pertama barisan geometri, maka jumlah n suku pertama dari barisan tersebut adalah . . . .
A. - 1
2 -1 +
1 2
n
B. -
1 2
-1 1
2
n
− C.
1 2
-1 + 1
2
n
D. - -1
n
E. 1
2 -1
1 2
n
−
Pembahasan:
• x
2
– 2k
2
– k – 1 + 3k + 4 = 0 a
= 1 b = -2k
2
– k – 1 c = 3k + 4
• x
1
, k, x
2
barisan geometri k
2
= x
1
x
2
k
2
= 3k + 4 k
2
– 3k – 4 = 0 k – 4k + 1 = 0
k = 4 atau k = -1
• kembali ke persamaan kuadrat untuk k = 4
3
P.K. x
2
– 27x + 16 = 0 akar-akarnya bukan bilangan bulat k ≠ 4
untuk k = -1 P.K. x
2
– 2x + 1 = 0 akar-akarnya bulat yaitu x
1
= 1, x
2
= 1 • Barisan geometrinya menjadi
1, -1, 1 dengan r = -1 maka U
n
= ar
n – 1
= 1 -1
= -1
-1 = - -1
1 1
×
− n
n n
Jawaban: D
2. Pada suatu barisan geometri dengan r 1, diketahui dua kali jumlah empat suku pertama
adalah tiga kali jumlah dua suku genap pertama. Jika di antara suku-suku tersebut disisipkan empat bilangan, dengan cara: antara suku kedua dan ketiga disisipkan satu
bilangan, dan antara suku ketiga dan keempat disisipkan tiga bilangan, maka akan terbentuk barisan aritmetika dengan beda r. Jumlah bilangan yang disisipkan adalah . . . .
Soal SIMAK UI Tahun 2011 A. 14
B. 24 C. 28
D. 32 E. 42
Pembahasan:
• Dua kali jumlah empat suku pertama adalah tiga kali jumlah dua suku genap pertama 2
= 3 +
2 1
1 = 3
1 1
4 2
4 4
4 2
S U
U a r
r ar r
r
−
− −
− 2 =
3 +1
2 + 2 = 3 = 2
r r
r r
r →
• Misal barisan geometrinya a, 2a, 4a, 8a, disisipkan bilangan-bilangan dengan beda = r = 2
a, 2a, 2a + 2, 4a, 4a + 2, 4a + 4, 4a + 6, 8a ekuivalen dengan
4
a, 2a, 2a + 2, 2a + 4, 2a + 6, 2a + 8, 2a + 10, 2a + 12 4a = 2a + 4
2a = 4 a = 2
• Maka barisannya menjadi 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16
disisipkan • maka jumlah bilangan yang disisipkan
6 + 10 + 12 + 14 = 42
Jawaban: E
3. Bentuk deret geometri bilangan 8,88888… adalah . . . . Soal SBMPTN Tahun 2010
A. 8
1 10
+1 =1
∑
n n
∞
B. 8
1 10
+1 =0
∑
n n
∞
C. 8
1 10
1 =0
∑
n n
− ∞
D. 0, 8
1 10
=1
∑
n n
∞
E. 8
1 10
1 =1
∑
n n
− ∞
Pembahasan:
• 8,8888… = 8 + 0,8 + 0,08 + 0,008 + … = 8 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + …
• Mencari rumus U
n
barisan geometri dengan a = 1, r = 0,1
U ar
n n
= =
1 10
n 1 1
− −
• Menyusun notasi sigma 8,8888… =
8
=1
U
n n
∞
∑
5
= 8
1 10
+1 =1
∑
n n
∞
Jawaban: A
4. Tiga bilangan bulat membentuk barisan aritmetika. Jika suku kedua ditambah 3 dan
suku ketiga dikurangi 21, maka akan diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan semula ditambah 9, maka ia menjadi tiga kali suku kedua barisan geometri. Jumlah ketiga
suku barisan aritmetika sama dengan . . . . Soal UMB Tahun 2009 A. 8
B. 9 C. 15
D. 21 E. 28
Pembahasan:
• Misal barisan aritmetikanya a – b, a, a + b
• Barisan geometrinya a – b, a + 3, a + b – 21
maka a + 3
2
= a – ba + b – 21 . . . 1 • Sifat lainnya
a + b + 9 = 3a + 3 a + b + 9 = 3a + 9
b = 2 . . . 2 • pers 1 substitusi ke pers 2
a + 3
2
= a – 2aa + 2a – 21 a
2
+ 6a + 9 = -a3a – 21 a
2
+ 6a + 9 = -3a
2
+ 21a 4a
2
– 15a + 9 = 0 4a – 3a – 3 = 0
maka a = 3
4 atau a = 3
kita ambil a = 3 maka jumlah 3 bilangan semula
a – b + a + a + b = 3a = 9
Jawaban: B
5. Misalkan U
n
menyatakan suku ke-n suatu barisan geometri. Jika diketahui U
6
= 64 dan log U
2
+ log U
3
+ log U
4
= 9 log 2, maka nilai U
3
adalah . . . . Soal SNMPTN Tahun 2009
A. 8 B. 6
6
C. 4 D. 2
E. 1
Pembahasan:
• log U
2
+ log U
3
+ log U
4
= 9 log 2 log U
2
.U
3
.U
4
= log 29 U
2
.U
3
.U
4
= 29 U
r
3
. U
3
.U
3
.r = 29 U
33
= 29 U
3
= 23 = 8
Jawaban: A
6. Barisan geometri diketahui S
n
= 150 , S
n + 1
= 155, dan S
n + 2
= 157
1 2
. Maka suku pertamanya adalah . . . .
A. 72,5 B. 75
C. 80 D. 85,5
E. 90
Pembahasan:
• U
n + 1
= S
n + 1
– S
n
ar
n
= 155 – 150 ar
n
= 5 . . . 1 • U
n + 2
= S
n + 2
– S
n + 1
ar
n + 1
= 157,5 – 155 ar
n
.r = 2,5 {substitusi 1}
5r = 2,5 r =
157 1
2 •
S r
r
n n
= a 1
1 = 150
− −
a
a
n
n
1 1
2 1
2 = 150
1 1
2 = 75
−
− −
−
7
1 1
2 −
− −
n n
a a
a =
75 1
2 =
75 ... 2
−
S a
n n
+1 +1
= 1
1 2
1 1
2 = 155
− −
a a
a a
n
1 1
2 1
2 = 75,25
1 75
1 2
= 75,25 substi
− ×
− −
×
ttusi 2
2 + 75
2 = 75,25
+ 75 2
= 75,25 + 75 = 155
= 80
{ }
a a a
a a
a a
−
Jawaban: C
7. Deret geometri dengan 10 suku. Diketahui suku ketiga adalah
25 3
dan jumlah logaritma semua suku-sukunya adalah 45log 5 – 35log 3. Suku ke-2 barisan itu adalah . . . .
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
E. 6
Pembahasan:
• log U
1
+ log U
2
+ log U
3
+ . . . + log U
10
= 45log 5 – 35log 3 log U
1
U
2
U
3
. . . U
10
= log 5
3
45 35
U
1
U
2
U
3
U
4
U
5
U
6
U
7
U
8
U
9
U
10
= 5
3
45 35
U r
U r
U U rU r U r U r U r U r U r
3 2
3 3 3
3 2
3 3
3 4
3 5
3 6
3 7
45 35
= 5
3 ×
8
U r
r r
3 10 25
45 35
10 25
45 35
25 45
35 10
2
= 5
3 25
3 =
5 3
= 5
3 3
5
×
25 25
= 5
3 =
5 3
r r
→
• U
U r
2 3
= =
25 3
5 3
= 5
Jawaban: D
8. Diketahui U
1
, U
3
, U
13
, dan U
n
dari barisan aritmetika membentuk barisan geometri. Nilai n adalah . . . .
A. 60 B. 63
C. 65 D. 68
E. 72
Pembahasan:
• U
1
, U
3
, U
13
barisan geometri U
32
= U
1
U
13
[a + 2b]
2
= a[a + 12b] a
2
+ 4ab + 4b
2
= a
2
+ 12ab 4b
2
= 8ab b = 2a
• Barisan geometrinya dapat ditulis a, a + 2b, a + 12b, U
n
a, a + 22a, a + 122a, U
n
a, 5a,
25a, U
n
= 125a ×5 ×5 ×5
• maka Un = 125a a + n – 1b = 125a
a + n – 12a = 125a n – 12a = 124a
n – 1 = 62 n = 63
Jawaban: B
9
9. Misal 3x, 4y, 5z membentuk barisan geometri, sementara
1 ,
1 ,
1 x y z
membentuk barisan aritmetika. Nilai dari
x z
z x
+ adalah . . . .
A. 30
16 B.
34 15
C. 35
17 D.
39 19
E. 41
21
Pembahasan:
• 3x, 4y, 5z barisan geometri 16y
2
= 15xz → xz
y =
16 15
2
• 1
, 1
, 1
x y z barisan aritmetika
2 =
1 +
1 2
= +
2 =
15 16
+ =
15 32
+ + =
32 15
2
y x
z y
x z
xz y
x z
y y
x z
x z
y ×
→ • Nilai
x z
z x
x z
xz +
= +
2 2
= +
2
= +
2
= 32
15 16
15 2 =
34 15
2 2
2 2
x z
xz xz
x z
xz y
y
−
−
−
Jawaban: B
10
10. Barisan geometri positif yang banyak sukunya ganjil. Hasil kali suku pertama dan terakhirnya 2.500. Jumlah logaritma semua suku-sukunya sama dengan lima kali logaritma
suku tengahnya dan kuadrat dari suku kedua sama dengan 2
5 kali suku keempat. Suku
kedua barisan itu adalah . . . . A. 5
B. 8 C. 10
D. 15 E. 25
Pembahasan:
• U
1
U
n
= 2.500 U U
1 n
= 50 U
t
= 50 • log U
1
+ log U
2
+ . . . + log U
n
= 5log U
t
log U
1
U
2
… U
t
… U
n
= log U
t
5 U
t n
= U
t
5 n = 5
maka t = n
+1 2
= 3 sehingga U
3
= 50 •
U U
2 2
4
= 2
5 U
r U
r
r r
r r
3 2
3 2
2 3
= 2
5 50
= 2
5 50
125 = maka
= 5
×
× ×
• maka nilai U
U r
2 3
= =
50 5
= 10
Jawaban: C
11
Latihan Soal
1. Hasil penjumlahan 3 + 3
3 9
+ 6 3
81 +12
3 729
adalah . . . . A.
9 7
3 B.
10 7
3 C.
11 7
3 D. 12
7 3
E. 13
7 3
2. Diketahui barisan bilangan yang dikelompokkan sebagai berikut 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,
128, 256, …. Suku ke-5 dari kelompok ke-10 adalah . . . . A. 2
85
B. 2
86
C. 2
87
D. 2
88
E. 2
89
3. Misal sin
θ, cos θ, tan θ, … adalah barisan geometri untuk beberapa θ ∈ R. Pada urutan ke berapa sukunya menjadi cosec
θ? A. 5
B. 6 C. 7
D. 8 E. 9
12
1
MATEMATIKA
MA TERI D
AN L ATIHAN SO
AL UJIAN NASIONAL UN TOP LE
VEL - XII SM A
Set 8 LOGARITMA
A. REVIEw SINGKAT MATERI
Kategori