1
MATEMATIKA
Set 6 BARISAN ARITMETIKA
A. RINGKASAN FORMULA
a. Suku ke-n = U
n
= a + n – 1b a
= U
1
= suku pertama b
= beda b.
b = U
2
– U
1
= U
3
– U
2
= . . . = U
n
– U
n – 1
c. p
, q, r barisan aritmetika maka 1.
2q = p + r 2.
p + q + r = 3q
d. Suku tengah U
t
U a U
t n
= +
2 U
n
= suku terakhir n
= banyak bilangan e.
Bila U
1
, U
2
, U
3
, . . ., U
n
barisan aritmetika dengan beda b. Bila di antara 2 bilangan berdekatan disisipkan k bilangan baru, maka
1. U
1
tidak berubah 2.
beda berubah menjadi b’, di mana b b
k ’ =
+ 1
MA TERI D
AN L ATIHAN SBMPTN
TOP LE VEL - XII SM
A
2
f. Jumlah n suku pertama S
n
, di mana 1.
S n
a U
n n
= 2
+ Untuk suku awal dan akhir diketahui
2. S
n a
n b
n
= 2
2 + 1
− Untuk beda diketahui
3. U
n
= S
n
– S
n – 1
Contoh Soal
1. Jika suku ke-n dari suatu deret aritmetika adalah U
n
= log c
n
c konstanta positif , maka U
1
+ U
2
+ . . . + U
n
+ . . . + U
2n
= . . . . Soal UMB Tahun 2013
A. 1
2 +1 log
n n c
B. nn + 1 log c C. n2n – 1 log c
D. n2n + 1 log c E. 2nn + 1 log c
Pembahasan:
U
n
= log c
n
• U
1
= a = log c • U
2
= log c
2
= 2 log c • beda = b = 2 log c – log c = log c
• S
n a
n b
S n
c n
c S
n c
n
n n
n 2
2 2
= 2
2 2 + 2
1 =
2log + 2 1 log
= log 2 + 2
1 −
− −
S n
n c
n 2
= 2
1 log −
Jawaban: C
2. Diketahui a
2
– b
2
+ c
2
– d
2
= 2010 dan a + b + c + d = 2.010. Jika a, b, c, d adalah empat suku
pertama dari suatu barisan aritmetika, maka a = . . . . Soal SIMAK UI Tahun 2013
3
A. 1.008 B. 898
C. 788 D. 604
E. 504
Pembahasan:
Misal a, b, c, d barisan aritmetika yang bedanya p a
2
– b
2
+ c
2
– d
2
= 2.010 a + ba – b + c + dc – d = 2.010
a + b-p + c + d-p = 2.010 -p a + b + c + d = 2.010
-p 2010 = 2.010 p = -1
sehingga a + b + c + d = 2.010
a + a – 1 + a – 2 + a – 3 = 2.010 4a – 6 = 2.010
4a = 2.016 a = 504
Jawaban: E
3. Misalkan fx adalah suatu polinomial derajat tiga yang akar-akarnya membentuk barisan
aritmetika dengan nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama; dan jumlah akar- akarnya adalah 12. Maka akar-akar dari fx + 1 adalah . . . . Soal SIMAK UI Tahun 2011
1 1 dan 3 2 1 dan 5
3 3 dan 5 4 2 dan 4
Pembahasan:
misal akar-akar polinom derajat tiga itu adalah x
1
, x
2
, x
3
dimana x
3
= 3x
1
. . . 1 x
1
, x
2
, x
3
barisan aritmetika, maka 2x
2
= x
1
+ x
3
2x
2
= x
1
+ 3x
1
{substitusi 1} 2x
2
= 4x
1
x
2
= 2x
1
. . . 2 jumlah akar-akarnya 12, maka
x
1
+ x
2
+ x
3
= 12 x
1
+ 2x
1
+ 3x
1
= 12 {substitusi 1 dan 2}
6x
1
= 12 x
1
= 2
4
maka x
2
= 4, x
3
= 6 akar-akar fx + 1 adalah
x
1
– 1, x
2
– 1, x
3
– 1 yaitu 1, 3, 5
Jawaban: A
4. Diberikan dua buah barisan aritmetika A
n
dan B
n
. Diketahui jumlah 100 suku pertama dari barisan A
n
dengan beda bernilai satu adalah 5.850. Suku pertama kedua barisan adalah sama dan suku terakhir barisan B
n
sama dengan suku kedua terakhir barisan A
n
. Jika beda barisan B
n
adalah 2, maka jumlah barisan B
n
adalah . . . . Soal SIMAK UI Tahun 2011
A. 2.385 B. 2.470
C. 2.725 D. 2.900
E. 2.925
Pembahasan:
misal A
n
: U
1
, U
2
, U
3
, . . . , U
n
, B
n
= U
1
’, U
2
’, . . . , U
m
’ S
100
= 5.850 b’ = 2
b = 1 S
a b
a a
a a
100
= 100
2 2 + 99
= 5.850 50 2 + 99 1 = 5.850
2 + 99 = 117 2 = 18
= U
1 1
1
= 9 = U ’ misal banyak suku barisan A
n
ada 100 maka untuk barisan B
n
Um’ = U
99
U
1
’ + m – 1b’ = U
1
+ 98b m – 1 2 = 98 . 1
m – 1 = 49 m = 50
maka
S U
b
50 1
= 50
2 2 ’ + 49 ’
= 25 18 + 98 = 2.900
Jawaban: D
5
5. Soal SIMAK UI Tahun 2010
Jumlah p suku pertama dari suatu bilangan aritmetika ialah q dan jumlah q suku pertama ialah p. Maka jumlah p + q suku pertama barisan tersebut adalah . . . .
A. p + q B.
p + q 2
C. p + q + 1 D. -p + q
E. -p + q + 1 Pembahasan:
S q
p a
p b
q ap
p b pb
q S
p q
a q
b
p
p
= 2
2 + 1
= +
2 2
= ...1
= 2
2 + 1
=
2
→ −
− →
− p
p aq
q b qb
p +
2 2
= ...2
2
− 1 dan 2 eliminasi
1 2
+ 2
2 =
+ 2
2 =
2 2
2 2
× ×
− −
q p
apq p qb
pqb q
apq p qb
pqb p
p q pq
b q
p pq
p q b
q p q
p b
p q
pq
2 2
2 2
2 =
2 =
+ = -
2 +
...3 −
− −
−
6
S p q
a p q
b p
a p
b qb
q a
q b
pb
p+q
= +
2 2 +
+ 1
= 2
2 + 1 +
+ 2
2 + 1 +
− −
− =
2 2 +
1 +
2 +
2 2 +
1 +
2 = + +
substitus p
a p
b pqb
q a
q b
pqb q
p pqb
− −
ii 3 = + +
-2 +
= - +
p q pq
p q pq
p q
Jawaban: D
6. Jumlah lima puluh suku pertama deret log 5 + log 55 + log 605 + log 6.655 + . . . adalah . . . .
Soal SNMPTN Tahun 2010 A. log 55
1150
B. log 5
25
11
1225
C. log 25
25
11
1225
D. log 275
1150
E. 1.150 log 5
Pembahasan:
log 5 + log 55 + log 605 + . . . barisan aritmetika karena log 55 – log 5 = log 605 – log 55
log 11 = log 11 = b diketahui: a = log 5
b = log 11 S
a
50
50
= 50
2 2 + 49b
= 25 2log5 + 49log11 = 50log5 +1225log11
= log 5 ××
× 11
= log 25 11
1225 25
1225
Jawaban: C
7. Diketahui barisan dengan suku pertama U
1
= 15 dan memenuhi U
n
– U
n – 1
= 2n + 3, n ≥ 2. Nilai U
50
+ U
2
adalah . . . . Soal SNMPTN Tahun 2010
7
A. 2.688 B. 2.710
C. 2.732 D. 2.755
E. 2.762
Pembahasan:
U
n
– U
n – 1
= 2n + 3 U
n
= U
n – 1
+ 2n + 3 n = 2
U
2
= U
1
+ 7 = 22 n = 3
U
3
= U
2
+ 9 = U
1
+ 7 + 9 n = 4
U
4
= U
3
+ 11 = U
1
+ 7 + 9 + 11 maka
U
50
= U
1
+ S
49
di mana S
49
jumlah 49 suku pertama dari deret 7 + 9 + 11 + 13 + . . . + U
49
S a
b
49
= 49
2 2 + 48
= 49
2 2 7 + 48 2
= 2.695 ×
×
maka U
50
= U
1
+ 2.695 = 2.710 maka U
50
+ U
2
= 2.732
Jawaban: C
8. Diketahui p, q, r, dan s adalah empat bilangan bulat berurutan yang memenuhi
1 2
+ 1
3 +
1 4
p q
r = s. Nilai p + q adalah . . . . Soal SNMPTN Tahun 2010
A. 51 B. 52
C. 53 D. 54
E. 56
Pembahasan:
p, q, r, s barisan aritmetika dengan b = 1 maka q = p + 1
r = p + 2 s = p + 3
8
1 2
+ 1
3 +
1 4
= 1
2 +
1 3
+1 + 1
4 + 2 = + 3
12 p
q r
s p
p p
p ×
6P + 4P + 4 + 3P + 6 = 12P + 36 13P + 10P = 12P + 36
P = 26
maka q = 27 p + q = 53
Jawaban: C
9. Suatu segitiga siku-siku memiliki panjang sisi yang membentuk barisan aritmetika. Jika
luas segitiga tersebut adalah 42, maka kelilingnya adalah . . . . Soal UMB Tahun 2009 A. 6
B. 12 C. 13
D.
12 7 E. 15
Pembahasan:
misal segitiga siku-siku itu a – b, a, a + b
dengan [a + b]
2
= [a – b]
2
+ a
2
a
2
+ 2ab + b
2
= a
2
– 2ab + b
2
+ a
2
4ab = a
2
Luas = 42, maka 1
2 b
a = 42 1
2 1
4 = 42
3 8
= 42 = 112
= 4 7 = 7
2 2
a a
a a
a a
a b
− ×
− ×
→
Keliling = K = 3a = 12 7
Jawaban: D
9
10. Jika akar-akar persamaan suku banyak x
4
– 8x
3
+ 2ax
2
+ 5b + 3x + 4c – 3 = 0 diurutkan menurut nilainya dari yang terkecil ke yang terbesar, maka terbentuk barisan aritmetika
dengan beda 2. Nilai a + b + c = . . . . Soal SIMAK UI Tahun 2009 A. -3
B. 1 C. 3
D. 5 E. 6
Pembahasan:
misal akar x
1
, x
2
, x
3
, x
4
di mana x
1
x
2
x
3
x
4
atau x
1
x
1
+ 2 x 1 + 4 x
1
+ 6 x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
= -
b a
x
1
+ x
1
+ 2 + x
1
+ 4 + x
1
+ 6 = 8 4x
1
+ 12 = 8 x
1
= -1 maka
x
2
= 1, x
3
= 3, x
4
= 5 maka polinomnya
x
1
+ 1x
2
– 1x
3
– 3x
4
– 5 = 0 x
2
– 1x
2
– 8x + 15 = 0 x
4
– 8x
3
+ 14x
2
+ 18x – 5 = 0 dapat disimpulkan
2a = 14; 5b + 3 = 8;
4c – 3 = -15 a = 7
b = 1 c = -3
maka a + b + c = 5
Jawaban: D
11. Jumlah sebuah barisan aritmetika dengan n suku adalah S. Diantara 2 suku disisipkan 4 buah bilangan sehingga terjadi barisan aritmetika baru yang jumlahnya S’. Perbandingan
S dan S’ adalah . . . . A. n : 2n + 1
B. n : 3n + 1 C. n : 5n – 4
D. n : 5n + 4 E. n : 5n – 3
Pembahasan:
Barisan pertama S
n a
n b
n
= 2
2 + 1
−
10
Barisan kedua menjadi m suku b
b b
’ = 4 +1
= 5
berlaku Um = Un
a + m – 1b’ = a + n – 1b m – 1 = n – 1b – m = 5n – 4
maka
S S
n a U
m a U
n m
n n
n m
n m
= 2 +
2 +
= =
5 4
−
Jawaban: C
Latihan Soal
1. Diketahui 3 buah bilangan memiliki perbandingan 2 : 3 : 5. Jika bilangan kedua ditambah
2, maka ketiga bilangan tersebut membentuk barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan itu adalah . . . .
A. 30 B. 40
C. 60 D. 80
E. 100
2. Misalkan fx adalah suatu polinomial derajat tiga yang akar-akarnya membentuk barisan
aritmetika dengan nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama dan jumlah akar- akarnya sama dengan 12. Maka sisa dari pembagian fx + 6 oleh x
2
+ 1 adalah . . . . Soal SIMAK UI Tahun 2011
3. Empat buah bilangan a, b, c, dan d membentuk barisan aritmetika. Jika b – a = p + 5, d – c
= 2p + 3, dan d = 6, maka nilai a adalah . . . . A. -5
B. -10 C. -15
D. -20 E. -25
11
4. Jika U
p
= q dan U
q
= p, maka S
p + q
= . . . . A.
1 2
+ p
q B.
1 2
+
2
p q
C. 1
2 +
+ +1 p
q p q
D. 1
2 +
+ 1
p q p
q −
E. 1
2 p
q −
1
MATEMATIKA
Set 7 BARISAN GEOMETRI
A. RUMUS SUKU KE-n U
Kategori