II.2 Tegangan Geser pada Balok akibat Tegangan Lentur II.2.1 Umum
Sebelumnya telah dibahas tentang tegangan langsung memanjang pada sebuah kantilever atau balok jepit bebas dengan gaya lateral pada ujung yang bebas.
Tegangan ini terdistribusi secara merata pada setiap penampang balok yang mengalami momen lentur. Pada kenyataan umum, tegangan geser terjadi seiring
terjadinya tegangan lentur dan tegangan geser juga terjadi pada setiap penampang dari balok seperti tegangan lentur. Tegangan lentur pada balok hampir tidak
dipengaruhin oleh gaya geser pada setiap bagian dan berpengaruh besar nilainya terhadap momen lentur. Misalkan sebuah balok kantilever yang dibebani gaya geser
pada ujung yang bebas dengan penampang segi empat seperti gambar 2.4a.
Jika balok tersebut dipotong secara melintang pada bagian tertentu, maka harus dimasukkan momen M dan gaya geser F pada bagian tersebut untuk menjaga
keseimbangan. Momen lentur M tersebar pada penampang balok dalam arah sejajar sumbu memanjang balok. Gaya
geser F terdistribusi dalam bentuk tegangan geser τ yang bekerja tegak lurus penampang balok dan pada arah yang sejajar gaya geser.
Gambar 2.4a Reaksi geser pada balok kantilever
Universitas Sumatera Utara
Bentuk distribusi dari τ tergantung pada bentuk penampang potongan dan arah gaya F. Tegangan geser ini yang terjadi ini menambah nilai dari tegangan geser pelengkap
yang kemudian sejajar dengan bidang memanjang dari balok.
II.2.2 Tegangan Geser penampang segi empat sempit
Sebuah balok sederhana berupa sebuah kantilever dengan penampang segi empat yang sempit, dibebani dengan gaya lateral F pada ujung bebas balok, gambar
2.5a yang memiliki ketinggian h dari penampang dan ketebalan t yang nilainya besar dibandingkan dengan ketebalan. Gaya lateral F dibebankan pada arah sejajar dengan
ketinggian pada penampang balok.
Ditinjau bagian kecil sepanjang δz dari balok pada jarak z dari ujung yang dibebani. Pada bidang BC dari balok momen lentur yang terjadi adalah
2.17 Tegangan lentur yang terjadi sejauh y dari sumbu utama Cx adalah sama dengan
lenturan seragam dari elemen kecil yang ditinjau sehingga 2.18
Gambar 2.5a Tegangan geserpada balok penampang sempit
Universitas Sumatera Utara
dimana Ix adalah momen kedua dari luas terhadap sumbu utama dari pembengkokkan Cx yang juga merupakan sumbu netral. Pada bidang DE dari
elemen momen lentur bertambah menjadi 2.19
Tegangan lentur pada jarak y dari sumbu netral bertambah menurut 2.20
Tegangan lentur akan ditinjau diantara serat paling atas BD sebesar dan serat
GH sebesar , gambar 2.5b. Total gaya lentur pada bidang BG akibat tegangan
lentur σ adalah 2.21
Dengan cara yang sama untuk δσ maka total gaya pada bidang DH akibat σ + δσ adalah
2.22
Gambar 2.5b Gaya geser pada balok penampang sempit
Universitas Sumatera Utara
Gaya-gaya lentur yang terjadi memanjang pada sumbu Cz tidak cukup seimbang dengan selisih nilai sebesar
2.23 Sekarang bidang paling atas BD bebas dari tegangan geser, dan ketidakseimbangan
ini harus diseimbangkan dengan gaya geser pada permukaan GH dimana gaya geser yang bekerja ini tersalur secara merata pada permukaan GH.
Tegangan geser pada permukaan ini adalah kemudia menjadi 2.24
Tegangan geser yang terjadi pada bidang sejajar bidang netral dari balok menimbulkan terjadinya tegangan geser pelengkap pada penampang sejauh y dari
sumbu netral yang bekerja tegak lurus penampang tersebut. Analisis tersebut memberikan tegangan geser yang bervariasi sesuai dengan ketinggian dari balok dari
penampang. Untuk kasus sederhana dengan tipe penampang ini
2.25 kemudian
2.26 Pertama harus diketahui bahwa tegangan ini tidak tergantung pada z karena resultan
gaya geser pada semua penampang adalah sama dan sama dengan F. Resultan gaya geser yang terjadi dari variasi nilai tegangan τ adalah
2.27
Universitas Sumatera Utara
Tegangan geser ini akan cukup kemudian untuk menyeimbangkan gaya F yang dibebankan pada penampang dari balok.
Variasi tegangan dari τ pada penampang balok berbentuk parabola, gambar 2.5c dengan nilai tegangan τ mencapai nilai maksimum pada sumbu netral dari
balok, dimana dan
2.28
Tegangan geser harus bernilai nol pada serat terluar sejak tidak adanya tegangan geser pelengkap pada arah memanjang pada permukaan paling atas dan bawah dari
balok. Pada kasus kantilever dengan beban tunggal terpusat F pada ujung bebas maka gaya geser untuk setiap penampang adalah sama, dan penyaluran dari tegangan geser
juga sama untuk setiap penampang. Pada kasus yang lebih umum, tegangan geser yang terjadi itu bervariasi dari penampang yang satu dengan penampang yang lain.
Gambar 2.5c Variasi nilai tegangan geser pada ketinggian balok
Universitas Sumatera Utara
II.2.3 Tegangan Geser penampang dengan satu sumbu simetris
Balok dengan penampang yang memiliki satu sumbu simetris akan memiliki tegangan geser yang berbeda dengan balok dengan penampang sempit segi empat.
Ini disebabkan karena balok dengan bentuk penampang yang berbeda akan memiliki nilai tegangan geser yang berbeda. Balok di bawah ini memiliki sumbu simetri Cy
seperti gambar 2.6a. Pada balok ini dibebani dengan gaya F yang bekerja sejajar dengan sumbu Cy dan berada pada titik pusat dari penampang balok sedangkan Cx
adalah sumbu lentur.
Ditinjau sebuah elemen kecil sepanjang δz pada balok dengan jarak sejauh z dari sisi bebas dari balok kantilever, maka momen lentur yang terjadi adalah
Gaya ini akan menimbulkan tegangan lentur pada penampang sehingga tegangan lentur longitudinal pada titik tertentu pada penampang sejauh y dari sumbu netral Cx
adalah
Gambar 2.6a Tegangan geser pada balok satu sumbu simetris
Universitas Sumatera Utara
Sekarang akan ditinjau bagian dari elemen yang dipotong dengan permukaan berbentuk silinder BDEGHJ, gambar 2.6b, yang sejajar pada sumbu Cz. Misalkan A
adalah luas dari masing-masing ujung dari elemen silinder, maka total gaya memanjang pada ujung BDE akibat tegangan lentur adalah
dimana δA adalah elemen kecil pada A dan y adalah elemen ini dari sumbu netral Cx. Total gaya longitudinal pada ujung yang lain GHJ akibat tegangan lentur adalah
karena momen lentur pada bagian ini adalah M +δM = Fz + δz
Beban tarik pada ujung dari elemen BDEGHJ dibedakan dengan nilai
Jika ỳ adalah jarak dari titik pusat luas A dari sumbu Cx, maka
Ketidakseimbangan beban tarikan yang terjadi dapat diseimbangkan dengan gaya geser yang terjadi pada permukaan silindris BDEGHJ. Gaya geser ini adalah
kemudian
dan bekerja di sepanjang permukaan BDEGHJ dan sejajar dengan cumbu Cz. Total gaya geser per satuan panjang pada balok adalah
2.29
Universitas Sumatera Utara
Jika b adalah panjang dari lengkung BDE, atau GHJ, maka rata-rata tegangan geser yang terjadi pada permukaan BDEGHJ adalah
2.30 Ketika nilai b kecil dibandingkan dengan ukuran-ukuran linear lainnya dari
penampang maka didapat bahwa tegangan geser tersebar merata pada seluruh permukaan BDEGHJ. Ini sering dijumpai pada balok-balok dengan penampang tipis
seperti profil I dan profil canal.
II.2.4 Tegangan Geser profil I
Aplikasi pada metode yang umum dikembangkan pada subbab ini adalah tegangan geser yang bekerja pada dinding tipis thin-walled dengan penampang
berbentuk I karena diberikan beban terpusat sebesar F pada ujung bebas dari balok. Gaya yang bekerja ini sejajar dengan sumbu Cy, gambar 2.7a.
Gambar 2.7a Tegangan geser akibat lentur
Universitas Sumatera Utara
Penampang I ini memiliki dua sumbu simetris yaitu Cx dan Cy, lebar sayap I sebesar b, jarak di antara sayap atas dan sayap bawah sebesar h, dan ketebalan dari profil
diasumsikan sama untuk badan dan sayap dari I-beam. Persamaan 2.29 memberikan gaya geser sebesar q per satuan panjang dari
balok pada setiap bagian dari potongan penampang. Ditinjau titik 1 pada sayap dengan jarak s
1
dari ujung yang bebas, gambar 2.7a, sehingga luasan yang terbentuk dari potongan pada titik 1 adalah
2.31 Jarak titik berat dari luasan ini ke sumbu netral Cx adalah
2.32 Kemudian gaya geser yang terjadi pada potongan penampang pada titik 1 adalah
2.33 Jika ketebalan dari profil t adalah sama besarnya dibandingkan dengan ukuran
dimensi dari bagian lain, maka dapat dinyatakan bahwa q tersebar secara merata pada setiap ketebalan dinding dengan tebal t. Tegangan geser yang terjadi pada titik 1
adalah 2.34
Pada ujung sayap yang memberikan nilai s
1
= 0 , maka τ = 0, maka tidak akan ada tegangan ge
ser arah memanjang pada ujung dari sayap penampang. Tegangan geser τ akan bertambah secara beraturan linear dengan besaran nilai s
1
yang semakin bertambah dari nol hingga
, pada sambungan antara badan dan sayap maka
2.35
Universitas Sumatera Utara
Karena penampang I juga memiliki kesimetrisan terhadap Cy, maka tegangan geser pada pertemuan antar sayap juga bertambah secara linear dari ujung bebas yang
bernilai nol sampai pertengahan sayap. Pada bagian kedua akan ditinjau pada bagian badan dengan titik 2 sebagai
titik tinjauan yang berjarak s
2
dari sambungan antara sayap dan badan. Dalam meninjau
untuk bagian ini maka harus diperhitungkan keseluruhan luasan yang terpotong oleh titik 2. Luasan tersebut adalah
Maka gaya geser yang terjadi adalah
Jika gaya geser yang bekerja ini diasumsikan terjadi secara merata seperti tegangan geser, maka
2.36 Pada hubungan antara badan dan sayap s
2
= 0, dan 2.37
Pada sumbu netral, s
2
= , dan
2.38 Tegangan geser yang terjadi memiliki nilai bervariasi yang membentuk parabola
pada ketinggian badan dari profil I, mencapai nilai maksimum pada s
2
= yang
merupakan sumbu netral, gambar 2.7b. Di setiap bagian dari penampang balok
Universitas Sumatera Utara
terjadi tegangan geser yang nilainya beragam, pada sayap profil tegangan geser yang terjadi adalah sejajar sumbu Cx, dan tidak memberikan pengaruh pada total gaya
pada bagian yang sejajar sumbu Cy.
Pada sambungan antara badan dan sayap, tegangan geser yang terjadi pada badan adalah dua kali lebih besar dari tegangan geser. Alasan untuk pernyataan ini
dapat dilihat dengan menganggap bahwa kondisi yang seimbang terjadi pada sambungan antara badan dan sayap. Tegangan geser yang terjadi pada sayap adalah
dimana tegangan geser pada badan yang telah dihitung adalah
Untuk keseimbangan longitudinal, gambar 2.7c, dari satuan panjang untuk sambungan antara badan dan sayap akan didapat
2.39
Gambar 2.7b Variasi tegangan geser pada I-beam
Universitas Sumatera Utara
Persamaan ini benar dan dalam kenyataannya telah dibuktikan dengan kombinasi persamaan-persamaan yang didapat dari peninjauan terhadap setiap bagian dari
penampang profil. Jika sayap dan badan dari profil memiliki ketebalan yang berbeda, t
f
dan t
w
, maka kondisi keseimbangan pada sambungan akan terjadi persamaan 2.40
Keadaan keseimbangan ini terjadi pada sambungan, seperti antara sayap dan badan dari penampang I dimana jumlah dari gaya geser per satuan panjang yang terjadi dan
bertemu pada sambungan memiliki nilai nol. Untuk persamaan di sambungan adalah 2.41
dimana τ adalah tegangan geser pada sebuah elemen di sambungan, dan t adalah ketebalan dari elemen tesebut. Penjumlahan terjadi pada semua elemen-elemen yang
bertemu pada satu titik sambungan.
Gambar 2.7c Keseimbangan pada pertemuan sayap dan badan profil
Universitas Sumatera Utara
Untuk sebuah profil dengan penampang berbentuk I yang menerima gaya geser sejajar dengan badan profil maka akan terjadi tegangan geser maksimum pada
bagian tengah badan profil seperti yang terjadi pada persamaan 2.38 Jika Ix dari penampang adalah
2.42 maka
2.43 Total gaya geser yang terjadi pada badan profil yang sejajar dengan sumbu Cy adalah
F dan jika gaya ini tersebar merata pada seluruh permukaan badan dari profil maka tegangan rata-rata adalah
2.44
II.2.5 Tegangan Geser profil kanal
Pada kasus-kasus umum telah dibahas mengenai tegangan geser dalam balok yang mengalami lentur yang hanya memiliki satu sumbu simetris dari bentuk
penampangnya dimana beban dianggap bekerja sejajar dengan sumbu simetris tersebut. Kasus seperti ini hanya memiliki masalah yang sederhana karena dengan
bekerjanya gaya sejajar sumbu simetris maka tidak terjadi puntiran atau perputaran pada balok pada saat di beri beban. Sekarang akan di bahas bagaimana jika beban
geser diberikan dengan arah tegak lurus sumbu simetris penampang. Misalkan ada profil kanal dengan bentuk penampang simetris terhadap sumbu Cx, gambar 2.8a.
Universitas Sumatera Utara
Profil kanal ini memiliki ketebalan t yang seragam, b adalah total lebar dari masing-masing sayap, h adalah jarak antara kedua sayap, dan C yang merupakan
pusat berat dari penampang kanal. Balok dijepit pada salah satu ujung dan gaya geser dibebani pada ujung bebas dengan jarak tertentu yang sejajar dengan sumbu Cy.
Gaya geser yang diberikan pada titik O pada sumbu Cx sehingga tidak terjadi torsi pada kanal, gambar 2.8b.
Gambar 2.8a Balok kanal terkantilever
Gambar 2.8b Tegangan Geser pada tiap bagian kanal
Universitas Sumatera Utara
Jika beban diberikan pada sebelah kiri dari C maka puntiran atau perputaran akan terjadi dalam arah berlawanan jarum jam, sedangkan jika beban diberikan di sebelah
kanan C maka puntiran dan perputaran akan terjadi searah jarum jam. Ada suatu posisi dari titik O dimana tidak terjadi puntiran, seperti yang terlihat dimana titik
tersebut tidak bertepatan dengan titik pusat massa C. Masalah yang terjadi akan lebih sederhana jika beban terpusat F diberikan
tepat pada titik O pada sumbu Cx yang tidak memberikan torsi pada kanal, seperti titik O yang memiliki jarak e dari pusat dari badan kanal, gambar 2.8b. Karena pada
setiap bagian dari balok hanya terjadi tegangan lentur, dapat digunakan persamaan berikut
2.45 Pada jarak s
1
dari ujung bebas dari sayap kanal
Pada jarak s
2
sepanjang badan kanal mulai dari sambungan badan dan sayap kanal
Tegangan geser yang terjadi pada sayap
dan pada badan adalah
Tegangan geser τ
1
pada sayap bertambah secara linear dari nol sampai pada nilai maksimum yang berada pada ujung dari sayap yang berhubungan dengan badan
kanal. Sedangkan variasi dari tegangan geser τ
2
terjadi secara parabola pada badan kanal dan mencapai nilai maksimum
Universitas Sumatera Utara
pada pertengahan ketinggian dari badan kanal, gambar 2.8c. Tegangan geser τ
1
pada sayap kanal menghasilkan total gaya geser sebesar
2.46
yang bekerja sejajar terhadap garis pusat dari sayap kanal dimana total tegangan geser pada kedua sayap kanal bekerja dalam dua arah yang berlawanan. Jika
distribusi dari tegangan geser τ
1
dan τ
2
adalah statis ekuivalen terhadap gaya geser yang diberikan maka diperlukan adanya keseimbangan pada pertengahan ketinggian
dari badan kanal B dimana
Kemudian 2.47
Gambar 2.8c Variasi nilai tegangan geser; e adalah jarak ke pusat geser O
Universitas Sumatera Utara
adalah seperti yang diharapkan dimana beban terpusat yang diberikan seharusnya terjadi. Kita ketahui bahwa titik O adalah tidak bertepatan atau jauh dari titik pusat
massa C dari penampang kanal, titik O ini biasanya disebut sebagai titik pusat geser. Titik O adalah titik dari penampang kanal dimana total resultan gaya geser harus
bekerja jika lentur yang terjadi tidak disertai dengan timbulnya torsi pada balok.
II.2.6 Tegangan Geser profil berongga
Sebuah bagian dari balok dengan profil kotak tunggal yang berdinding tipis tertutup berongga dilenturkan terhadap sumbu xx dan diberi beban geser melintang
F yang bekerja langsung pada titik pusar geser, gambar 2.9aa.
Kasus seperti ini dapat diubah menjadi kasus dengan tampang yang terbuka dengan mengadakan pemotongan secara memanjang gambar 2.9ab sehingga teori yang
dikembangkan sebelumnya dapat diaplikasikan pada kasus tersebut. Tegangan geser yang terjadi pada setiap penampang balok dapat dicari dengan menggunakan
persamaan 2.30. Pada titik ini regangan geser yang terjadi adalah τG dan ketika
sebuah bagian kecil dengan lebar ds ditinjau maka terlihat bahwa pergerakan dalam
Gambar 2.9a Tegangan geser pada profil berongga
Universitas Sumatera Utara
arah axial antara kedua permukaan ada lah τ dsG. Oleh karena itu, total perpindahan
relatif dalam arah axial antar D dan C adalah 2.48
Perpindahan ini yang disebut juga dengan dislokasi dapat dihilangkan dengan menambahkan aliran geser C
o
gambar 2.9ac yang hilang ketika terjadi pemotongan secara memanjang pada balok. Seperti sebelumnya dimana aliran geser
seperti C
o
adalah konstan disekililing profil sehingga jika tidak diinginkan terjadinya dislokasi pada D dan C maka
2.49 dimana
2.50
Ketika profil memiliki lebih dari 1 kotak gambar 2.9b maka teknik penyelesaian yang sama juga dapat digunakan. Setelah mengubah profil dari tertutup
menjadi terbuka dengan mengadakan pemotongan dalam arah memanjang profil, aliran geser diberikan pada setiap kotak i=1,…,n. Dislokasi pada setiap daerah
pemotongan dalam setiap kotak adalah sama dengan nol seperti seblumnya G telah dihilangkan.
Gambar 2.9b Profil dengan kotak lebih dari satu
Universitas Sumatera Utara
∮τ +C
i
t ds – Σ ∫
web
C
i
t ds = 0 2.51
dimana rumus terakhir menunjukkan kontribusi dari kotak yang bersebelahan terhadap distorsi pada badan profil yang terjadi secara umum pada profil dengan
penampang lebih dari satu kotak. Persamaan 2.51 menunjukkan aliran geser C
i
sampai C
n
yang sembarang pada profil yang memiliki lebih dari satu kotak beronggahollow.
Universitas Sumatera Utara
II.3 Torsi II.3.1 Umum
