sistem asal yang diambil dari bentuk elemen dan bukan berdasarkan perpindahan elemen dalam koordinat sistem global.
Pada umumnya, fungsi bentuk elemen dengan ordo yang lebih tinggi dapat dikembangkan dengan penambahan titik simpul pada sisi-sisi dari elemen yang
linear. Elemen-elemen ini akan menghasilkan variasi nilai regangan yang lebih teliti dalam setiap elemen, sehingga konversi menjadi penyelesaian yang tepat
dapat dilakukan dengan cepat menggunakan sedikit elemen. Keuntungan yang lain dari penggunaan elemen dengan tingkat ordo yang lebih tinggi adalah kurva
batas dari bentuk yang tidak beraturan dapat lebih akurat daripada penggunaan elemen dengan sisi yang lurus.
a. Koordinat Natural Dari Elemen Segitiga
Karakteristik geometri dari elemen hingga tertentu, seperti misalnya elemen segitiga, kuadrilateral, serta elemen segitiga tiga dimensi lainnya,
membuat kecendurangan penyelesaian suatu permasalahan dengan sistem koordinat yang tidak berdimensi alami lebih sering digunakan dibandingkan
dengan sistem koordinat Cartesius. Turunan dan integrasi yang dibutuhkan dalam perhitungan kekakuan dan beban titik nodal ekuivalen dapat disederhanakan
dengan menggunakan koordinat geometrik lokal. Sebuah elemen segitiga seperti tergambar pada gambar 2.19.
Gambar 2.19 Koordinat Alami untuk sebuah segitiga
Universitas Sumatera Utara
Titik sudutnya diberi nomor 1, 2, dan 3, sedangkan letak titik 4 ditentukan dengan membagi segitiga tadi menjadi segitiga-segitiga kecil A
1
, A
2
, dan A
3
. Koordinat luas yang tidak berdimensi untuk segitiga didefinisikan
2.133 dan dapat memeriksa bahwa
2.134 jadi
2.135 yang menunjukkan bahwa ξ
1
, ξ
2,
dan ξ
3
tidak saling bergantung. Gambar 2.19b menunjukkan
pada titik 1 dan sepanjang sisi 2-3 juga ditunjukkan yang linear hingga sisi yang berhadapan, demikian juga untuk dan
. Bila koordinat global x dan y dinyatakan dalam koordinat lokal, akan kita peroleh
2.136 Sebaliknya, dapat dinyatakan koordinat lokal dalam x dan y dengan mencari nilai
ξ
1
, ξ
2,
dan ξ
3
dari persamaan 2.135 dan 2.136 sebagai berikut
2.137 Karena koordinat alaminatural ξ
1
, ξ
2,
dan ξ
3
elemen segitiga sama dengan fungsi bentuk peralihannya f
1
, f
2,
dan f
3
maka dapat disimpulkan bahwa elemen segitiga tersebut adalah isoparametrik. Untuk menyederhanakan persamaan 2.137,
dimisalkan Aij sebagai luas segitiga dengan titik nodal i dan j serta memiliki koordinat global yang terletak pada ujung. Selain itu
Universitas Sumatera Utara
a
1
= x
23
a
2
= x
31
a
3
= x
12
b
1
= -y
23
b
2
= -y
31
b
3
= -y
12
Persamaan 2.137 kemudian dapat ditulis menjadi
2.138 Bila fungsi fξ
1
, ξ
2,
dan ξ
3
diturunkan terhadap x dan y akan diperoleh
2.139
Dari persamaan 2.138 dilihat bahwa
Sehingga persamaan 2.139 menjadi 2.140
Hasil integral suku polinom dalam koordinat luas ξ
1
, ξ
2,
dan ξ
3
akan diperoleh sebagai berikut
2.141
Universitas Sumatera Utara
b. Integrasi Numerik
