Z = nilai awal bilangan bulat positif
Untuk mendapatkan bilangan acak Ui i = 1, 2,… pada interval [0,1], maka 3.2
m Z
U
i i
=
dimana:
, m
dan
, m
a ,
m c
m Z
Bilangan acak yang dihasilkan dengan menggunakan metode LCG ini dapat dilihat pada Tabel 3.1.
Tabel 3.1 Bilangan Acak Metode LCG i Zi
Ui
0 2147483647 --
1 139646976 0.065028190612793
2 82952360 0.038627702742815
3 146355436 0.0681520607322454
4 1700390088 0.7918058373034
5 533626304 0.248489111661911
6 1901565280 0.885485336184502
7 294768512 0.137262284755707
8 539969056 0.251442685723305
9 1188739904 0.553550153970718
10 2013477120 0.937598347663879
Pada Tabel 3.1, bilangan acak Ui yang dihasikan berada pada interval [0,1] dengan distribusi uniform. Distribusi ini dilambangkan dengan U0,1.
3.4.3 Disiplin Antrian
Disiplin antrian yang digunakan dalam simulasi ini adalah disiplin antrian First In First Out FIFO, di mana pelanggan yang datang akan diterima di
penyangga dan menunggu di sana. Jika pelanggan yang datang menemui server
31
Ipengadohar Ezra Pangaribuan : Simulasi Sistem Antrian Pada Statistical Time Division Multiplexing Dengan Bahasa Pemrograman Visual C++ 6.0, 2007.
USU Repository © 2009
dalam kondisi idle, maka pelanggan akan langsung dilayani oleh server. Akan tetapi jika pelanggan yang datang menemui kondisi server dalam keadaan sibuk busy,
maka pelanggan akan mengantri di dalam penyangga sampai semua pelanggan yang duluan datang selesai dilayani.
Selain disiplin antrian FIFO, ada beberapa disiplin antrian lain yang lazim digunakan, yaitu
[6]
: 1. Last In, First Out LIFO
Paket yang lebih dahulu tiba, belakangan dilayani. 2. Random service
Paket yang akan dilayani dipilih secara acak. 3. Service sharing
Setiap paket yang menunggu di dalam antrian akan mendapat porsi pelayanan yang sama meskipun belum lengkap, sehingga dalam hal ini sebenarnya tidak ada
antrian yang menunggu. 4. Preemptive priority
Jika pelanggan yang memiliki prioritas lebih tinggi datang, maka pelanggan dengan prioritas lebih rendah yang sedang dalam pelayanan akan diinterupsi dan
dilanjutkan kembali jika pelanggan dengan prioritas lebih tinggi selesai dilayani.
3.4.4 Pola Kedatangan
Pola kedatangan merupakan salah satu komponen utama dalam sistem antrian yang akan sangat mempengaruhi simulasi. Kondisi yang paling realistis adalah pola
kedatangan yang bersifat acak, dimana kedatangan berikutnya sama sekali tidak
32
Ipengadohar Ezra Pangaribuan : Simulasi Sistem Antrian Pada Statistical Time Division Multiplexing Dengan Bahasa Pemrograman Visual C++ 6.0, 2007.
USU Repository © 2009
tergantung pada kedatangan sebelumnya. Pembangkitan pola kedatangan yang acak dalam penyusunan Tugas Akhir ini menggunakan distribusi Poisson.
Kejadian pembangkitan pola kedatangan acak ini dapat dijelaskan dengan suatu fungsi penghitung Nt yang dibatasi untuk t
≥ 0. Fungsi penghitung ini akan mewakili jumlah kedatangan yang muncul selama interval [0,t]. Proses penghitung
{Nt, t ≥ 0} disebut dengan proses Poisson dengan rata-rata kedatangan
λ bila memenuhi asumsi berikut ini
[1]
: 1. Kedatangan yang terjadi hanya satu pada setiap saat.
2. {Nt, t ≥ 0} memiliki pertambahan yang tetap. Distribusi jumlah kedatangan
antara t hingga t + s hanya tergantung pada interval kedatangan s, dan tidak tergantung pada waktu awal t.
3. {Nt, t
≥ 0} memiliki pertambahan yang bebas. Jumlah kedatangan pada interval waktu yang tidak bersamaan adalah variabel acak yang bebas. Sehingga besar
kecilnya jumlah kedatangan pada suatu interval waktu tertentu tidak mempengaruhi jumlah kedatangan pada interval waktu berikutnya, dengan
demikian kedatangan yang berikut benar-benar acak. Jika distribusi kedatangan sesuai dengan proses Poisson dan memenuhi tiga
kondisi di atas, maka peluang bahwa Nt sama dengan t dapat diperoleh dengan rumus
[1]
:
n t
e n]
P[Nt
n t
-
λ
λ
= =
untuk t
≥ 0 dan n = 0, 1, 2, ... 3.3
Dengan, λ = Rata-rata kedatangan per satuan waktu
33
Ipengadohar Ezra Pangaribuan : Simulasi Sistem Antrian Pada Statistical Time Division Multiplexing Dengan Bahasa Pemrograman Visual C++ 6.0, 2007.
USU Repository © 2009
n = Jumlah kedatangan dalam interval waktu tertentu t = Perioda waktu
Sedangkan mean dan variance pada proses Poisson adalah
[1]
: E[Nt]
= V[Nt]
= λt
3.4 Dengan,
E[Nt] = Mean V[Nt] = Variance
Untuk sembarang waktu s dan t dimana s t, maka asumsi pertambahan tetap menunjukkan bahwa variabel acak Nt - Ns mewakili jumlah kedatangan pada
interval waktu antara s hingga t, sehingga diperoleh
[1]
:
n s]
- t
[ e
Ns] -
P[Nt
n s
- t
-
λ
λ
= untuk n = 0, 1, 2, ...
3.5 dan
E[Nt – Ns] = V[Nt - Ns] = λt – s
3.6 Jika A adalah waktu antar kedatangan, maka kedatangan pertama terjadi pada
saat A1, kemudian kedatangan kedua terjadi pada waktu A1 + A2, demikian seterusnya seperti pada Gambar 3.1. Karena kedatangan pertama terjadi setelah
waktu t jika dan hanya jika tidak ada kedatangan selama interval [0,t], maka dapat dituliskan :
{ A1 t } = { Nt = 0 } 3.7
sehingga, 3.8
t -
e 0]
P[Nt t
PA1
λ
= =
=
34
Ipengadohar Ezra Pangaribuan : Simulasi Sistem Antrian Pada Statistical Time Division Multiplexing Dengan Bahasa Pemrograman Visual C++ 6.0, 2007.
USU Repository © 2009
Maka, peluang terjadinya kedatangan pada interval waktu [0,t] pada proses Poisson adalah
[1]
: 3.9
t -
e -
1 t
PA
λ
= Yang merupakan cdf cumulative distribution function dari distribusi eksponensial.
Maka, A1 adalah terdistribusi secara eksponensial dengan rata-rata EA
1
= 1 λ. Ini
juga menunjukkan bahwa waktu antar kedatangan A
1,
A
1
, . . . , adalah terdistribusi eksponensial dan tidak memiliki ketergantungan satu sama lain
[1]
.
t A1
A1 + A2 . . . .
A1 A2
Gambar 3.9 Proses Kedatangan pada Proses Poisson
Proses pembangkitan waktu antar kedatangan yang berdistribusi Poisson berdasar Persamaan 3.10. dengan rata-rata waktu antar kedatangan disimbolkan
dengan . Dengan algoritma, bangkitkan bilangan acak U
i
, lalu dapatkan nilai t
i
dari Persamaan 3.10.
i 1
- i
i
U ln
- t
= t
1
3.10
Pada Tabel 3.2 dan 3.3 dapat dilihat waktu kedatangan yang dihasilkan dengan mengikuti distribusi Poisson untuk beberapa nilai .
35
Ipengadohar Ezra Pangaribuan : Simulasi Sistem Antrian Pada Statistical Time Division Multiplexing Dengan Bahasa Pemrograman Visual C++ 6.0, 2007.
USU Repository © 2009
Tabel 3.2 Urutan Waktu Kedatangan dengan = 5 kedatangans Kedatangan
ke - i Waktu Kedatangan
0 0,0 1 0,186441
2 0,245196 3 0,263828
4 0,606247 5 0,782175
6 0,845165 7 0,908419
8 1,00867 9 1,33441
10 1,42009
Tabel 3.3 Urutan Waktu Kedatangan dengan = 10 kedatangans Kedatangan
ke - i Waktu Kedatangan
0 0,0 1 0,0155119
2 0,0420377 3 0,107401
4 0,238285 5 0,264539
6 0,343687 7 0,375621
8 0,437341 9 0,616148
10 0,640373
Sedangkan waktu antarkedatangan pelanggan di atas dapat dilihat pada Tabel 3.4 dan Tabel 3.5.
36
Ipengadohar Ezra Pangaribuan : Simulasi Sistem Antrian Pada Statistical Time Division Multiplexing Dengan Bahasa Pemrograman Visual C++ 6.0, 2007.
USU Repository © 2009
Tabel 3.4 Waktu Interval Antar Kedatangan dengan = 5 kedatangans
i ∆ ti detik
1 0,186441 2
0,058755
3 0,018362 4 0,342419
5 0,175928 6 0,06299
7 0,063254 8 0,100251
9 0,35274
10 0,08568
Tabel 3.5 Waktu Interval Antar Kedatangan dengan = 2 kedatangans
i ∆ ti detik
1 0,0155119 2 0,0265258
3 0,0653633 4 0,130884
5 0,026254
6 0,079148 7 0,031934
8 0,06172 9 0,178807
10 0,024225
3.4.5 Pola Pelayanan
