KEGIATAN II VEKTOR
Bagian ini tentang vektor yang meliputi penjumlahan vector, pembelajaran untuk penjumlahan vektor dengan menjumlahkan dua buah vector atau lebih dengan
cara analisis dan menjumlahkan dua buah vector atau lebih dengan cara grafis. Perkalian vector, pembelajaran untuk perkalian vektor dengan mengalikan dua buah
vector atau lebih secara dot product dan mengalikan dua buah vector atau lebih secara cross product.
Setelah pembelajaran bagian ini, guru dapat menerapkan konsep vektor dalam memecahkan masalah yang berhubungan dengan penggunaan vector dalam kehidupan
sehari-hari, sedangkan prasyarat dalam mempelajari bagian ini adalah telah mempelajari dan menguasai tentang besaran, satuan, dan dimensi.
Spesifikasi kinerja yang diharapkan adalah dapat menjumlahkan dua buah vektor atau lebih dengan cara analisis, menjumlahkan dua buah vektor atau lebih
dengan cara grafis, mengalikan dua buah vector atau lebih secara dot product, dan mengalikan dua buah vector atau lebih secara cross product Berdasarkan spesifikasi
kinerja memungkinkan penerapan konsep vector secara mendalam di dunia kerja diantaranya untuk menyelesaikan persoalan di bidang produktif.
a. Tujuan
Setelah membaca uraian kegiatan bagian ini diharapkan dapat : -
Memiliki pemahaman tentang vektor. -
Memberikan notasi vektor. -
Menentukan hasil penjumlahan vektor. -
Menghitung besar penjumlahan vektor. -
Menuliskan rumus besar pengurangan vektor. -
Melukiskan penjumlahan vektor segaris -
Melukiskan penjumlahan dua vektor. -
Melukiskan penjumlahan vektor secara poligon -
Menguraikan vektor -
Memiliki pemahaman tentang operasi perkalian dengan vektor.
- Menghitung nilai perkalian antara dua vektor dengan hasil scalar
- Menghitung perkalian antara dua vektor dengan hasil vektor lain.
- Menghitung besar perkalian antara dua vektor dengan hasil vektor lain
b. Uraian materi dan contoh 1. Penjumlahan dan Penguraian vektor
Vektor adalah besaran yang memiliki besar magnitudo dan arah, serta memenuhi aturan-aturan penjumlahan tertentu. Besaran yang dapat dinyatakan secara
tepat hanya oleh sebuah bilangan dan satuannya saja disebut skalar. Sebuah vector dinyatakan oleh tanda panah di atas huruf atau huruf dicetak tebal.
Untuk menyatakan vector dengan diagram digunakan gambar anak-panah. Panjang anak panah dipilih sebanding dengan besar vector dan arah anak panah, yang
ditunjukkan oleh arah ujungnya menyatakan arah vector. Notasi vektor mempunyai kegunaan besar dalam bidang fisika dan matematika. Diantaranya keuntungan
menggunakan vektor adalah memungkinkan penelitian masalah dalam ruang tanpa memakai sumbu-sumbu koordinat.
Besar atau panjang dari sebuah vektor a dinyatakan dengan
a atau a.
Bilangan ini memenuhi hukum-hukum :
a 0; a = 0 jika dan hanya jika a = 0 a + b a + b
Jika bilangan-blangan real dapat ditampilkan sebagai titik-titik pada garis lurus, demikian hingga setiap bilangan x berkaitan dengan suatu titik P, maka setiap bilangan
x akan berkaitan dengan sebuah vektor OP.
Besarnya
OP tepat sama dengan nilai absolut dari x, ditulis x = OP
Contoh 2–1 Besar vector Sebuah vektor A = 4i + 4 j + 2 k. Hitung besar vektor A tersebut.
Penyelesaian: A = A =
2 2
2
2 4
4
A =
36
A = 6
Untuk menghitung besar penjumlahan dua vektor, misalnya
A + B A + B =
Cos B
A B
A 2
2 2
Adapun rumus untuk menghitung besar dari pengurangan vektor :
A - B = A - B =
Cos B
A B
A 2
2 2
Contoh 2-2: Vektor A = 2i + 4j + 4k dan B = 4i + 2j + 4 k, besar sudut yang
terbentuk antara kedua vector tersebut adalah 60 . Hitung besar A + B dan A - B
Penyelesaian : A + B =
Cos B
A B
A 2
2 2
=
2 2
60 6
. 6
. 2
6 6
Cos
=
108
A - B =
Cos B
A B
A 2
2 2
=
2 2
60 6
. 6
. 2
6 6
Cos
=
36
= 6
Suatu vektor dalam ruang adalah kombinasi dari suatu besaran dan suatu arah. Maka suatu vector dapat dinyatakan oleh segmen garis berarah misalnya PQ dalam
ruang. Segmen garis kedua P’Q’ sejajar PQ sama panjang dan searah dapat dinyatakan oleh vector yang sama dengan a adalah vector.
Gambar 2.1. Vector searah dan segaris
Gambar 2.2. Vektor segaris dan berlawanan arah
Gambar 2.3. Vektor Searah dan Sejajar
Diberikan dua vector a, b. Vektor ketiga c = a + b diperoleh dengan melukisnya sebagai berikut :
P
4
P
3
b c = a + b
P
1
a P
2
Gambar 2.4. Perpaduan Dua vektor dengan cara Jajaran Genjang Dipilih titik mula P
1
, kemudian lukiskan P
1
P
2
= a, P
2
P
3
= b, maka vektor c adalah P
1
P
3
sehingga P
1
P
2
+ P
2
P
3
= P
1
P
3
. Jika P
4
dipilih sehingga P
1
P
4
= P
2
P
3
= b, maka c dapat diartikan sebagai diagonal dari jajaran genjang P
1
P
2
P
3
P
4
Penjumlahan vector dapat dianggap sebagai pemindahan. Jika sebuah benda bergerak dari P
1
ke P
2
maka benda telah menjalan pemindahan sebesar vektor a =
P
1
P
2
. Jumlah a + b merupakan hasil pemindahan gabungan dari P
1
ke P
2
dan P
2
ke P
3
. Hal ini jelas sama dengan perpindahan dari P
1
ke P
3
ialah perpindahan c.
Diberikan a dan c, maka selalu terdapat vector b sehingga a + b = c. Dapat pula ditulis b = c – a, maka hal ini didefinisikan sebagai pengurangan.
Penjumlahan dan pengurangan mengikuti hukum-hukum :
a + b = b + a hukum Komunikatif d + e + f = d + e + f hukum asosiatif
a + b + c = a + b + c
a + b b + c b c a c
a b
Kedua hukum ini menyatakan bahwa bagaimanapun urutan ataupun pengelompokan vector dalam penjumlahan, hasilnya tidak akan berbeda. Dalam hal ini
penjumlahan vector dan penjumlahan scalar memenuhi aturan yang sama. Operasi pengurangan vector dapat dimasukkan ke dalam aljabar dengan
mendefinisikan negatif suatu vector sebagai sebuah vector lain yang besarnya sama, tetapi arahnya berlawanan, sehingga
a – b = a + - b
seperti diperlihatkan dalam Gambar 2.6
- b b - b
a
a - b
Gambar 2.6. Selisih Dua Vektor, a – b = a + - b Hukum asosiatif dapat diperluas sehingga pernyataan a
1
+ a
2
+ a
3
+ … + a
n
mempunyai arti sama walaupun digabungkan dengan cara yang berlainan. Jumlah ini selalu bisa diartikan sepenggal garis dari titik ujung dari sebuah garis patah. Maka
P
4
P
3
P
1
P
2
+ P
2
P
3
+ P
3
P
4
+P
4
P
5
= P
5
P
1
P
5
Jika arah P
1
P
2
dibalik lihat gambar di sebelah maka diperoleh pernyataan :
Gambar 2.5.PerpaduanVektor Berdasarkan Hukum Asosiatif
P
2
P
1
P
2
+ P
2
P
3
+ P
3
P
4
+P
4
P
5
+ P
5
P
1
= 0 P
1
Gambar 2.7. Perpaduan Vector Berdasarkan Poligon
Ini menggambarkan suatu peraturan umum bahwa jumlah dari vektor-vektor yang merupakan sisi-sisi dari sebuah poligon tertutup senantiasa sama dengan 0 jika
arah sisi-sisi tersebut berurutan.
Suatu sistem koordinat tepat tegak lurus 0xyz dalam ruang dan P
1,
P
2
, P
3
titik-
titik dengan koordinat masing-masing P
1
x, 0, 0; P
