P
2
P
1
P
2
+ P
2
P
3
+ P
3
P
4
+P
4
P
5
+ P
5
P
1
= 0 P
1
Gambar 2.7. Perpaduan Vector Berdasarkan Poligon
Ini menggambarkan suatu peraturan umum bahwa jumlah dari vektor-vektor yang merupakan sisi-sisi dari sebuah poligon tertutup senantiasa sama dengan 0 jika
arah sisi-sisi tersebut berurutan.
Suatu sistem koordinat tepat tegak lurus 0xyz dalam ruang dan P
1,
P
2
, P
3
titik-
titik dengan koordinat masing-masing P
1
x, 0, 0; P
2
0, y, 0; P
3
0, 0, z. Vektor i , j, k didefinisikan :
Contoh 2.3. A = 2i + 3 j + 4 k dan B = 3i + 4 j + 2 k, Hitung resultantenya R
Penyelesaian : R = A + B
= 2i + 3j + 4k + 3i + 4j + 2k = 5i + 7 j + 6 k
Sebuah vektor dapat memiliki banyak pasangan komponen, misalnya saja bila sumbu x dan y dalam gambar dirotasikan 10
berlawanan dengan arah jarum jam, z
P
3
P k a
0 j P
2
y I
P
1
X Gambar 2.8. Perpaduan Vektor dalam Ruang
Tiga Dimensi
Vektor i panjang 1 unit
dan searah sumbu x.
Vektor j panjang 1 unit
dan searah sumbu y.
Vektor k panjang 1 unit
dan searah sumbu z.
maka komponen a akan berbeda. Lebih dari itu, dapat pula digunakan sistem koordinat yang tidak siku-siku, yaitu sudut antara kedua sumbunya tidak harus 90
. jadi komponen vector hanya tertentu secara unik jika telah ditetapkan dahulu sistem
koordinatnya. Untuk mencari komponenya, tidak perlu pangkal vector terletak titik asal sistem koodinat.
a
y
a a
x
Gambar 2.9. Penguraian Vektor
dengan adalah sudut yang dibentuk oleh vector a dandengan sumbu x positif
yang diukur berlawanan arah dengan jarum jam dari sumbu ini. Harga a
x
dan a
y
dapat positif dan negatif
Sekali suatu vektor diuraikan atas komponen-komponennya, maka komponen- komponen itu dapat digunakan untuk menentukan vektornya. Untuk memperoleh a dan
dari a
x
dan a
y
,
a =
2 2
a a
y x
dan tan = a
y
a
x
Contoh 2.4 : Sebuah benda ditarik dengan gaya 50 Newton. Gaya tersebut
membentuk sudut 30 terhadap bidang horizontal. Hitung gaya tersebut
terhadap bidang datar dan bidang vertical dan lukiskan gaya tersebut.
Penyelesaian : F
y
F
30
F
x
F
x
= F cos 30 Fx = 50 N . 0,867
Vektor dapat dipindahkan ke mana saja dalam ruang koordinat, asal sudutnya terhadap sumbu
koordinat dijaga tetap, komponennya pun tidak akan berubah.
Komponen ax dan ay dapat diperoleh dari
a
x
= a cos dan a
y
= a sin
Fx = 43,35 Newton
Fy = F sin 30 Fy = 50 N . 05
Fy = 25 Newton
2. Perkalian Vektor
