7 sejumlah yang diperlukan setiap waktu
tanpa khawatir ceknya ditolak atau mereka harus membayar denda cerukan
overdraft penalty, 8
pinjaman komersial commercial loans, yaitu pinjaman yang diberikan kepada
pengusaha, pedagang, atau pegawai yang digunakan untuk modal kerja atau modal
usaha dengan jaminan benda bergerak atau benda tidak bergerak.
BI 2010
2.2 Pemrograman Linear
Sebelum membahas pemrograman linear PL atau linear programming LP, terlebih
dahulu akan dibahas fungsi linear yang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 1 Fungsi Linear
Suatu fungsi
�
1
, �
2
, … , � dari
�
1
, �
2
, … , � disebut sebagai fungsi linear jika
dan hanya jika untuk beberapa kendala
1
,
2
, … , ; fungsi dapat dituliskan dengan
�
1
, �
2
, … , � =
1
�
1
+
2
�
2
+ ⋯ + � .
Winston 2004 Pemrograman
linear adalah
suatu masalah optimasi yang memenuhi ketentuan-
ketentuan sebagai berikut: a.
Tujuan masalah
tersebut adalah
memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi linear dari sejumlah variabel
keputusan. Fungsi
yang akan
dimaksimumkan atau diminimumkan ini disebut fungsi objektif.
b. Nilai variabel-variabel keputusan harus
memenuhi suatu himpunan kendala. Setiap kendala harus berupa persamaan
linear atau pertaksamaan linear. c.
Ada pembatasan tanda untuk setiap variabel dalam masalah ini. Untuk
sembarang variabel � , pembatasan tanda
menentukan � harus taknegatif �
atau tidak dibatasi tanda unrestricted sign.
Winston 2004
2.3 Goal Programming GP
Goal programming adalah salah satu teknik yang dapat digunakan oleh pembuat
keputusan untuk menyelesaikan masalah optimasi dengan tujuan lebih dari satu
multiobjektif.
Winston 2004 Model goal programming merupakan
perluasan dari model pemrograman linear, sehingga dapat menggunakan asumsi, notasi,
formulasi model, prosedur perumusan model dan penyelesaian yang sama. Model goal
programming memiliki sepasang variabel deviasi
−
dan
+
yang taknegatif. Variabel
−
mendefinisikan sejumlah nilai yang menampung deviasi yang berada di bawah
sasaran ke-
j sedangkan
variabel
+
mendefinisikan sejumlah
nilai yang
menampung deviasi yang berada di atas sasaran ke-
j. Variabel-variabel deviasi ini harus diminimumkan pada model goal
programming. Suatu tujuan ke- j dianggap
berhasil bila variabel deviasi pada fungsi objektif tujuan ke- bernilai 0.
Winston 2004
2.3.1 Preemptive Goal Programming
Preemptive goal programming adalah masalah goal programming dengan mengatur
urutan prioritas
peminimuman variabel
deviasi. Preemptive
goal programming
digunakan jika
pembuat keputusan
dihadapkan pada masalah penentuan prioritas tujuan. Untuk mengaplikasikan model ini,
pembuat keputusan
harus menentukan
peringkat tujuan mulai dari yang paling penting hingga tujuan yang tidak terlalu
penting. Diasumsikan
bahwa pembuat
keputusan memiliki tujuan. Koefisien fungsi objektif
untuk variabel
yang merepresentasikan tujuan ke-
i dinotasikan sebagai
� . Diasumsikan bahwa �
1
≫ �
2
≫ �
3
≫ ⋯ ≫ � , yang berarti bahwa tujuan ke-1 menjadi
prioritas pertama, tujuan ke-2 menjadi prioritas kedua, tujuan ke-3 menjadi prioritas
ketiga dan seterusnya. Oleh karena itu, pembuat keputusan akan memenuhi tujuan ke-
1 terlebih dahulu, kemudian tujuan ke-2 dan seterusnya sampai tujuan ke- .
Winston 2004 Tahapan penyelesaian preemptive goal
programming memenuhi ketentuan sebagai berikut:
1 ditentukan
prioritas tujuan
yang didasarkan pada tingkat kepentingan
tujuan; tujuan yang menjadi prioritas pertama akan diselesaikan terlebih dahulu,
kemudian tujuan kedua dan seterusnya sampai tujuan ke- ,
2 setelah tujuan pertama terpenuhi, maka
fungsi tujuan pada prioritas pertama akan menjadi kendala tambahan pada prioritas
kedua, begitu seterusnya sampai prioritas ke- ,
3 jika tujuan pada prioritas pertama adalah
meminimumkan, maka fungsi tujuan pada prioritas pertama akan menjadi kendala
tambahan pada prioritas kedua dengan tanda pertaksamaan
, sedangkan jika tujuan pada prioritas pertama adalah
memaksimumkan, maka fungsi tujuan pada prioritas pertama akan menjadi
kendala tambahan pada prioritas kedua dengan tanda pertaksamaan
, begitu seterusnya sampai prioritas ke- ,
4 jika tidak diperoleh solusi fisibel pada
prioritas ke- , maka solusi optimal yang digunakan adalah solusi yang diperoleh
pada prioritas ke- − 1.
Gupta dan Bhattacharya 2010b Ilustrasi
model preemptive
goal programming dan penyelesaiannya dapat
dilihat pada Contoh 1. Contoh 1
Misalkan diberikan model pemrograman linear dengan tujuan lebih dari satu atau
multiobjective linear programming MLP sebagai berikut:
1
Minimumkan �
1
≔ 8�
1
+ 11 �
2
+ 10 �
3
+ 12 �
4
2 Maksimumkan
�
2
≔ �
1
5 +
�
2
4 dengan kendala
�
1
+ �
2
+ �
3
+ �
4
= 300 �
1
125 �
2
100 �
3
150 �
4
120 �
0, = 1,2, 3, 4. Diasumsikan bahwa tujuan pertama menjadi
prioritas pertama dan tujuan kedua menjadi prioritas kedua, maka model preemptive goal
programming menjadi: Prioritas pertama
` Minimumkan
�
1
≔ 8�
1
+ 11 �
2
+ 10 �
3
+ 12 �
4
dengan kendala �
1
+ �
2
+ �
3
+ �
4
= 300 �
1
125 �
2
100 �
3
150 �
4
120 �
0, = 1,2, 3, 4 Penyelesaian masalah ini menghasilkan solusi
optimal �
1
= 125, �
2
= 25, �
3
= 150, �
4
= 0 dengan nilai fungsi objektif
�
1
= 2775 dan �
2
= 31.25 detail penghitungan dapat dilihat di Lampiran 1. Kemudian ditambahkan
kendala baru �
1
2775 pada pemaksimuman fungsi objektif kedua, sehingga modelnya
menjadi: Prioritas kedua
Maksimumkan
�
2
≔ �
1
5 +
�
2
4 dengan kendala
�
1
+ �
2
+ �
3
+ �
4
= 300 �
1
125 �
2
100 �
3
150 �
4
120 �
1
2775 �
0, = 1,2, 3, 4. Penyelesaian masalah ini menghasilkan solusi
optimal �
1
= 125, �
2
= 25, �
3
= 150, �
4
= 0 dengan total nilai fungsi objektif
�
1
= 2775 dan
�
2
= 31.25 detail penghitungan dapat dilihat di Lampiran 2.
Dari hasil preemptive goal programming pada prioritas kedua, maka solusi optimal dari
masalah pada Contoh 1 ialah �
1
= 125, �
2
= 25,
�
3
= 150, �
4
= 0 dengan nilai fungsi objektif pada prioritas pertama sebesar
2775 dan total nilai fungsi objektif
�
1
= 2775 dan �
2
= 31.25.
2.4 Logika Fuzzy Fuzzy Logic
Konsep fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965. Teori
logika fuzzy merupakan perluasan dari teori himpunan tegas crisp yang menggunakan
derajat keanggotaan {0, 1} menjadi selang [0, 1]. Pada teori himpunan klasik, keberadaan
suatu elemen pada suatu himpunan hanya akan memiliki dua kemungkinan keanggotaan,
yaitu
1, jika
0, jika
A
x A
x x
A
dengan � �
menyatakan derajat
keanggotaan dari � di himpunan .
Chak et al. 1998 Pada teori logika fuzzy dikenal himpunan
fuzzy fuzzy set yang mengelompokkan sesuatu
berdasarkan variabel
bahasa linguistic variable, yang dinyatakan dalam
fungsi keanggotaan.
Definisi 2 Himpunan Fuzzy
Jika � adalah koleksi dari objek-objek
yang dinotasikan dengan �, maka suatu
himpunan fuzzy dalam � adalah suatu
himpunan pasangan berurutan: = �,�
� � ∈ � dengan
� � : � → [0, 1] adalah fungsi
keanggotaan dari suatu himpunan fuzzy yang memetakan
� ke ruang keanggotaan yang terletak pada selang
0,1 . Nilai fungsi �
� menyatakan derajat keanggotaan atau nilai keanggotaan dari
� di himpunan . Zimmermann 1991
Fungsi keanggotaan dalam himpunan fuzzy adalah suatu pemetaan dari suatu objek
ke dalam derajat keanggotaannya yang memiliki interval antara 0 sampai 1.
Beberapa contoh fungsi keanggotaan dalam suatu himpunan fuzzy beserta grafiknya
diberikan dalam Contoh 2 berikut ini. Contoh 2
1
Fungsi keanggotaan segitiga
� � =
0, jika
atau ,
jika 1,
jika ,
jika x
a x
c x
a a
x b
b a
x b
c x
b x
c c
b
� �
1
� Gambar 1 Grafik fungsi keanggotaan
segitiga. 2
Fungsi keanggotaan segitiga kiri
� � =
0, jika
, jika 1,
jika x
a x a
a x
b b a
x b
� �
1
� Gambar 2 Grafik fungsi keanggotaan
segitiga kiri. 3
Fungsi keanggotaan segitiga kanan
� � =
1, jika
, jika
0, jika
x b
c x
b x
c c
b x
c
� �
1
� Gambar 3 Grafik fungsi keanggotaan
segitiga kanan. 4
Fungsi keanggotaan trapesium
� � =
0, jika
atau ,
jika 1,
jika ,
jika x
a x
d x
a a
x b
b a
b x
c d
x c
x d
d c
� �
1
� Gambar 4 Grafik fungsi keanggotaan
trapesium.
Ilustrasi bentuk himpunan fuzzy dan fungsi keanggotaannya dapat dilihat pada
Contoh 3. Contoh 3
Misalkan seseorang dikatakan sudah dewasa jika berumur 17 tahun atau lebih, maka dalam
logika tegas, seseorang yang berumur kurang dari 17 tahun dikatakan tidak dewasa.
Sedangkan pada logika fuzzy, seseorang yang berumur
di bawah
17 tahun
dapat dikategorikan dewasa tetapi tidak penuh.
Secara grafik dapat digambarkan sebagai berikut:
� �
1
� 10 17
Gambar 5
Grafik fungsi
keanggotaan himpunan fuzzy dewasa.
dengan � adalah umur tahun, ialah
himpunan orang dewasa, dan �
� adalah fungsi keanggotaan yang dapat ditulis sebagai
berikut:
� � =
0, jika 0
10 10
, jika 10
17 17 10
1, jika
17 x
x x
x
Dari fungsi keanggotaan tersebut dapat dilihat bahwa seseorang yang berumur 12 tahun
termasuk dalam himpunan orang dewasa dengan
derajat keanggotaan
� 12 =
2 7
.
Derajat keanggotaan menunjukkan seberapa besar eksistensi dari seseorang yang berumur
12 tahun dalam himpunan orang dewasa.
III FUZZY GOAL LINEAR PROGRAMMING
Konsep fuzzy linear programming untuk menyelesaikan masalah pemrograman linear
multiobjektif atau
multiobjective linear
programming MLP
pertama kali
diperkenalkan oleh Zimmerman pada tahun 1978.
Pada tahun
1980, Narasimhan
menggunakan teori himpunan fuzzy untuk metode goal programming. Selanjutnya pada
tahun 1997, Mohamed mempelajari model fuzzy programming dengan menggunakan
konsep goal programming Gupta dan Bhattacharya 2010b.
Dalam karya ilmiah ini akan dikonstruksi masalah fuzzy goal programming FGP yang
merupakan perluasan dari model goal
programming. FGP adalah model goal programming dengan fungsi objektif dan
fungsi kendala yang memiliki parameter dan pertaksamaan
atau persamaan
fuzzy. Parameter FGP memiliki derajat keanggotaan
tertentu dalam selang [0, 1] dan dinyatakan dalam pertaksamaan fuzzy, yaitu mendekati
lebih besar atau sama dengan, atau
mendekati lebih kecil atau sama dengan atau persamaan fuzzy, yaitu
≅ mendekati sama dengan.
Model fuzzy goal programming dapat diformulasikan sebagai berikut:
Tentukan � = �
1
, �
2
, … , �
�
∈ � sehingga memenuhi fungsi tujuan
� , = 1, 2, … , �, terhadap kendala
� ≅ , =
1
,
2
, … ,
�
∈ � dengan
� = vektor variabel keputusan = ketidaktepatan level aspirasi nilai ruas
kanan ke- k dari tujuan
� = 1, 2,
… , � = matriks koefisien berordo
× = vektor nilai ruas kanan kendala
� = tujuan fuzzy ke-
Tanda merupakan bentuk fuzzy dari tujuan dan kendala tipe
, tanda merupakan
bentuk fuzzy dari tujuan dan kendala tipe ,
dan tanda ≅ merupakan bentuk fuzzy dari
kendala tipe =. Gupta dan Bhattacharya 2010b
Dalam suatu pengambilan keputusan, fungsi
tujuan maupun
kendala yang
merupakan himpunan fuzzy dapat dicirikan dengan fungsi keanggotaan masing-masing.
Selanjutnya ditetapkan
derajat tertinggi
sebagai level aspirasi dari tujuan fuzzy. Fungsi tujuan fuzzy menggunakan level aspirasi yang
bersifat tidak tepat. Model fuzzy ini perlu diubah ke dalam persamaan tegas crips
dengan menyubstitusikan fungsi tersebut pada fungsi keanggotaan fuzzy linear.
Menurut Gupta dan Bhattacharya 2010b, jika
mendefinisikan toleransi untuk tujuan fuzzy ke-
, yaitu konstanta positif yang dipilih secara subjektif dari ketidaktepatan nilai
yang masih dapat diterima, maka fungsi keanggotaan dari fungsi tujuan fuzzy
�, dinyatakan
dengan � � , dapat
digunakan untuk mendefinisikan tujuan fuzzy � sebagai berikut:
Untuk tujuan fuzzy �
, =
1,2, … , �,
fungsi keanggotaannya
didefinisikan sebagai berikut:
0, jika
jika 1,
jika ,
Z X
g p
k k
k Z
X g
p k
k k
g p
Z X
g k
k k
k pk
g Z
X g
k k
p k
k
Grafik fungsi
keanggotaan � �
diberikan pada Gambar 6 berikut. lihat Lampiran 3
� � 1
� − +
Gambar 6 Grafik fungsi keanggotaan tujuan
fuzzy �
. Untuk tujuan fuzzy
� ,
= 1,2,
… , �, fungsi
keanggotaannya
didefinisikan sebagai berikut:
1, jika
, jika 0,
jika
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k
g p
Z X
g g
p Z
X g
Z X
g p
p Z
X g
p
Grafik fungsi
keanggotaan � �
diberikan pada Gambar 7 berikut. lihat Lampiran 3
� � 1
� − +
Gambar 7 Grafik fungsi keanggotaan tujuan
fuzzy �
. dengan
− dan
+ masing-masing
menunjukkan batas bawah toleransi dan batas atas toleransi untuk tujuan fuzzy
� . Jika
= 1, 2, … , mendefinisikan
toleransi untuk kendala fuzzy ke- i, yaitu
konstanta positif yang dipilih secara subjektif dari ketidaktepatan nilai yang masih dapat
diterima, maka fungsi keanggotaan dari kendala fuzzy
� adalah baris ke-i dari matriks
� , dinyatakan dengan � � , dapat
digunakan untuk
mendefinisikan kendala fuzzy
� sebagai berikut: Untuk kendala fuzzy
� , =
1,2, … , adalah baris ke- dari vektor
, fungsi keanggotaannya didefinisikan sebagai berikut:
0, jika
, jika
1, jika
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i
a X b
q a X
b q
b q
a X b
q b
a X b
q
Z X
k
Z X
k
i
a X
Untuk kendala fuzzy �
, =
1,2, … , ,
fungsi keanggotaannya
didefinisikan sebagai berikut:
1, jika
, jika
0, jika
b q
a X b
i i
i i
b q
a X i
i i
b a X
b q
i i
i i
qi a X
b q
i i
i
dengan −
dan +
masing-masing menunjukkan batas bawah toleransi dan batas
atas toleransi
untuk kendala
fuzzy pertaksamaan
� . Untuk kendala fuzzy
� ≅ , = 1,2,
… , , fungsi
keanggotaannya didefinisikan sebagai berikut:
1 2
1 1
1 2
2 2
jika 0,
atau ,
jika 1,
jika , jika
i i
a X b
q i
i i
a X b
q i
i i
a X b
q i
i b
q a X
b i
i i
i q
a X b
i i
b q
a X i
i i
b a X
b q
i i
i i
qi
Grafik fungsi keanggotaan � � diberikan
pada Gambar 8 berikut. � �
1
� −
1
+
2
1
2
Gambar 8 Grafik fungsi keanggotaan dari
kendala fuzzy � ≅ .
dengan −
1
dan +
2
masing-masing menunjukkan batas bawah toleransi dan batas
atas toleransi untuk kendala fuzzy persamaan � dengan
1
dan
2
berturut-turut mendefinisikan toleransi dari kendala fuzzy
ke- untuk kendala fuzzy persamaan ke-1 dan kendala fuzzy persamaan ke-
2. Nilai toleransi
1
dan
2
boleh berbeda. Pada metode fuzzy goal programming,
derajat keanggotaan � � dari suatu
tujuan ke- k berada pada selang
0, 1 , sehingga dengan menambahkan variabel
deviasi
−
dan
+
, fungsi keanggotaan dari tujuan fuzzy dapat direpresentasikan sebagai
berikut: � � +
−
−
+
= 1, untuk fungsi keanggotaan dari tujuan tipe
dan dengan
−
,
+
0,
+
∙
−
= 0, =
1, 2, … , �. Variabel
−
dan
+
berturut-turut merupakan variabel deviasi yang berada di
bawah dan di atas dari derajat keanggotaan tujuan fuzzy ke-
. Suatu tujuan ke-
dikatakan berhasil dicapai bila nilai variabel deviasi
−
dan
+
kurang dari satu. Jika nilai variabel deviasi
−
1, maka akan mengakibatkan derajat keanggotaan
� � 0. Sedangkan jika
+
1, maka akan mengakibatkan nilai fungsi objektif
� melebihi batas toleransi yang diberikan oleh pembuat keputusan.
Semakin nilai variabel deviasi
−
dan
+
dekat dengan 0, semakin besar tingkat keberhasilan tujuan ke-
. Suatu kendala fuzzy ke- memiliki derajat
keanggotaan pada selang 0, 1 , sehingga
dengan menambahkan variabel deviasi
−
dan
+
, fungsi keanggotaan dari kendala tipe dan
dapat direpresentasikan
sebagai berikut:
� � +
−
−
+
= 1 1
−
,
+
0,
+
⋅
−
= 0, = 1, 2, … , .
−
dan
+
merupakan variabel deviasi yang berada di bawah dan di atas dari derajat
keanggotaan kendala fuzzy ke- . Suatu kendala ke- dikatakan berhasil
dicapai bila nilai variabel deviasi
−
dan
+
kurang dari satu. Jika nilai variabel deviasi
−
1, maka akan mengakibatkan derajat keanggotaan
� � 0. Sedangkan jika
+
1, maka akan mengakibatkan nilai fungsi objektif
� melebihi batas toleransi yang diberikan oleh pembuat keputusan.
Semakin nilai variabel deviasi
−
dan
+
dekat dengan 0, semakin besar tingkat keberhasilan kendala ke-
. Fungsi keanggotaan untuk kendala fuzzy
persamaan merupakan gabungan dari fungsi keanggotaan
untuk kendala
fuzzy
i
a X
i
a X
pertaksamaan dan
, maka fungsi keanggotaan dari kendala fuzzy persamaan
dapat direpresentasikan seperti persamaan 1. Selanjutnya akan digunakan metode min
sum fuzzy goal programming, yaitu suatu metode fuzzy goal programming yang
menggunakan fungsi keanggotaan dari fungsi objektif dan fungsi kendala yang dianggap
sebagai kendala fuzzy dengan menetapkan derajat tertinggi dari level aspirasi. Metode ini
akan meminimumkan variabel deviasi yang berada di bawah tujuan dan kendala fuzzy.
Gupta dan Bhattacharya 2010b Menurut Gupta dan Bhattacharya 2010b
metode min sum fuzzy goal programming dapat diformulasikan sebagai berikut:
Tentukan � = �
1
, �
2
, … , � ∈ �
yang meminimumkan
1 1
K m
k i
k i
z d
d
dengan kendala 1
� − −
+
−
−
+
= 1, untuk tujuan tipe
2
+ − �
+
−
−
+
= 1, untuk tujuan tipe
3
� − −
+
−
−
+
= 1, untuk kendala tipe
4
+ − �
+
−
−
+
= 1, untuk kendala tipe
5
+
1
− �
1
+
−
−
+
= 1
� − −
2 2
+
−
−
+
= 1 untuk kendala tipe
≅ 6
�,
−
,
+
0;
−
,
+
1;
+
⋅
−
= 0; = 1,2,
… , �
−
,
+
0;
−
,
+
1,
+
⋅
−
= 0; = 1, 2,
… , . Dengan menambahkan kendala batas
toleransi untuk setiap kendala fuzzy, maka model min sum fuzzy goal programming
tersebut dapat dituliskan sebagai berikut: Tentukan
� = �
1
, �
2
, … , � ∈ �
yang meminimumkan
1 1
K m
k i
k i
z d
d
dengan kendala 1
� − −
+
−
−
+
= 1, untuk tujuan tipe
2
+ − �
+
−
−
+
= 1, untuk tujuan tipe
3
� − −
+
−
−
+
= 1, untuk kendala tipe
4
+ − �
+
−
−
+
= 1, untuk kendala tipe
5
+
1
− �
1
+
−
−
+
= 1
� − −
2 2
+
−
−
+
= 1 untuk kendala tipe
≅ 6
− �
+ kendala batas toleransi untuk tujuan tipe
dan 7
− �
+ kendala batas toleransi untuk kendala
tipe dan 8
−
1
� +
2
kendala batas toleransi untuk kendala tipe
≅ 9
�,
−
,
+
0, 0;
−
,
+
1;
+
⋅
−
= 0; = 1,2, … , �
−
,
+
0, ,
1
,
2
0;
−
,
+
1,
+
⋅
−
= 0; = 1, 2, … , .
3.1 Prosedur Pengoptimuman
Tahapan dan diagram alir dari proses pengoptimuman dengan metode fuzzy goal
programming dapat direpresentasikan sebagai berikut:
Tahapan proses
pengoptimuman memenuhi ketentuan sebagai berikut:
1 formulasikan
model fuzzy
goal programming,
2 identifikasi tipe fuzzy dari tujuan yang
ingin dicapai, yaitu untuk kasus
maksimisasi dan
untuk kasus
minimisasi. Kemudian tentukan level aspirasi
untuk tujuan ke- , 3
ditentukan kendala yang akan menjadi kendala fuzzy,
4 ditentukan nilai toleransi untuk setiap
tujuan dan kendala fuzzy kemudian konstruksi fungsi keanggotaan dari tujuan
dan kendala fuzzy berdasarkan limit toleransi yang diperoleh,
5 aplikasikan ke dalam model min sum
fuzzy goal programming sehingga semua tujuan fuzzy berhasil dicapai,
6 jika semua tujuan fuzzy belum berhasil
dicapai, maka kembali ke tahap 2.
Diagram alir untuk proses pengoptimuman diberikan pada Gambar 9 berikut:
Tidak Ya
Gambar 9 Diagram alir pengoptimuman MLP.
Ilustrasi fuzzy goal programming dapat dilihat pada Contoh 4.
Contoh 4
Berdasarkan MLP pada Contoh 1, maka diperoleh
formulasi model
fuzzy goal
programming sebagai berikut: Tentukan
� = �
1
, �
2
, �
3
, �
4
sehingga memenuhi fungsi tujuan 1
8�
1
+ 11 �
2
+ 10 �
3
+ 12 �
4
2700 2
�
1
5
+
�
2
4
32 terhadap kendala
1 �
1
+ �
2
+ �
3
+ �
4
≅ 300 2
�
1
125 3
�
2
100 4
�
3
150 5
�
4
120 6
� 0, = 1,2, 3, 4
Fungsi tujuan 1 dan 2 diperoleh dari fungsi tujuan masalah pada Contoh 1. Diasumsikan
fungsi tujuan 1 dan 2 merupakan fungsi tujuan fuzzy dan kendala 1 merupakan
kendala fuzzy. Misalkan dipilih batas toleransi
1
= 20 dan
2
= 16 berturut-turut untuk fungsi keanggotaan dari fungsi tujuan fuzzy
1
� kendala pertama dan
2
� kendala kedua dan
11
= 50,
12
= 25 untuk
fungsi keanggotaan dari kendala fuzzy persamaan
1
� kendala ketiga, maka fungsi keanggotaan untuk setiap tujuan dan kendala
fuzzy menjadi: Fungsi keanggotaan untuk tujuan 1
1
Z X
1 1
1 1
1, jika 2680
2700 2720
, jika 2700
2720 20
0, jika
2720 Z
X Z
X Z
X Z
X
dengan
1
� = 8�
1
+ 11 �
2
+ 10 �
3
+ 12 �
4
Fungsi keanggotaan untuk tujuan 2
2
Z X
2 2
2 2
0, jika
16 16
, jika 16
32 16
1, jika 32
48 Z
X Z
X Z
X Z
X
dengan
2
� =
�
1
5
+
�
2
4
Fungsi keanggotaan untuk kendala 1 �
1
� =
1 1
1 1
1 1
1
jika 250
0, atau
325 250
, jika 250
300 50
1, jika
300 325
, jika 300
325 25
a X
a X
a X
a X
a X
a X
a X
dengan
1
� = �
1
+ �
2
+ �
3
+ �
4
Selanjutnya dengan melakukan substitusi setiap fungsi tujuan dan kendala fuzzy ke
dalam fungsi
keanggotaannya, maka
permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode min sum fuzzy
goal programming yang diformulasikan menjadi:
Tentukan
� = �
1
, �
2
, �
3
, �
4
yang meminimumkan � =
1 −
+
2 −
+
3 −
+
4 −
Model fuzzy goal programming Tentukan tipe fuzzy dan nilai
untuk tujuan ke- Tentukan kendala fuzzy
Konstruksi fungsi keanggotaan Model min sum fuzzy
goal programming Apakah semua tujuan
berhasil dicapai?
Solusi terbaik
dengan kendala 1
2700 + 20 −
1
� 20
+
1 −
−
1 +
= 1 2
2
� − 32 − 16 16
+
2 −
−
2 +
= 1 3
1
� − 300 + 50 50
+
3 −
−
3 +
= 1 4
300 + 25 −
1
� 25
+
4 −
−
4 +
= 1 5
2680
1
� 2720 6
16
2
� 48 7
250
1
� 325 8
�
1
125 �
2
100 �
3
150 �
4
120 9
� ,
−
,
+
0;
−
,
+
1;
−
⋅
+
= 0, = 1,2, 3, 4; = 1, 2
Penyelesaian masalah ini menghasilkan solusi optimal
�
1
= 125, �
2
= 28, �
3
= 139.2, �
4
= 0,
1 −
=
2 −
= 0,
3 −
= 0.156,
4 −
= 0,
1 +
=
2 +
=
3 +
= 0,
4 +
= 0.312 dengan nilai fungsi objektif sebesar
0.156 detail penghitungan dapat dilihat di Lampiran 4.
IV CONTOH KASUS DAN PEMBAHASAN
Bank komersial adalah lembaga dengan multiproduk.
Produk investasi
yang ditawarkan bank komersial ada yang berisiko
dan ada yang tidak berisiko. Semakin tinggi risiko suatu produk investasi, semakin besar
tingkat pendapatan yang diperoleh. Oleh karena itu, bank komersial harus bisa
mengalokasikan produk investasi sehingga memaksimumkan profit dan meminimumkan
risiko secara bersamaan.
Diasumsikan bahwa
setiap bank
komersial harus
memiliki karakteristik
sebagai berikut: 1
Paling sedikit 47 dari giro dan 36 dari deposito berjangka dan tabungan tetap
dalam keadaan likuid liquid part. 2
Paling sedikit 14 dari giro dan 4 dari deposito
berjangka dan
tabungan dialokasikan dalam kategori kas.
3 Paling sedikit 5 dari total sumber dana
diinvestasikan ke setiap kategori investasi. 4
Paling sedikit 40 dari total sumber dana diinvestasikan ke pinjaman komersial.
Gupta dan Bhattacharya 2010b Selanjutnya akan digunakan tiga fungsi
objektif, yaitu
memaksimumkan profit,
meminimumkan kecukupan
modal, dan
meminimumkan rasio aset berisiko jumlah investasi
yang berisikomodal.
Fungsi objektif profit diperoleh dari penjumlahan
tingkat pendapatan setiap kategori investasi. Fungsi objektif kecukupan modal diperoleh
dari rasio modal wajib untuk memenuhi kebutuhan investasi dapat dilihat pada Tabel
1 kolom kecukupan modal dengan modal sebenarnya dana sendiri. Fungsi objektif
risiko diperoleh dari rasio jumlah investasi yang berisiko terhadap dana sendiri.
Rasio aset
berisiko yang
rendah mengindikasikan
bahwa suatu
lembaga keuangan dalam keadaan aman. Kecukupan
modal yang rendah mengindikasikan risiko yang minimum, karena kecukupan modal
yang rendah memberikan makna bahwa selisih antara dana yang dibutuhkan untuk
investasi dan dana sebenarnya modal sendiri juga rendah sehingga mengakibatkan risiko
yang minimum.
Dalam karya ilmiah ini, akan digunakan contoh kasus dari bank fiktif yang disebut
sebagai “Bank
AXN”. Perencanaan
pengoptimalan investasi pada bank tersebut akan diselesaikan dengan menggunakan
metode goal programming dan fuzzy goal programming.
4.1 Contoh Kasus Bank AXN
