dengan kendala 1
2700 + 20 −
1
� 20
+
1 −
−
1 +
= 1 2
2
� − 32 − 16 16
+
2 −
−
2 +
= 1 3
1
� − 300 + 50 50
+
3 −
−
3 +
= 1 4
300 + 25 −
1
� 25
+
4 −
−
4 +
= 1 5
2680
1
� 2720 6
16
2
� 48 7
250
1
� 325 8
�
1
125 �
2
100 �
3
150 �
4
120 9
� ,
−
,
+
0;
−
,
+
1;
−
⋅
+
= 0, = 1,2, 3, 4; = 1, 2
Penyelesaian masalah ini menghasilkan solusi optimal
�
1
= 125, �
2
= 28, �
3
= 139.2, �
4
= 0,
1 −
=
2 −
= 0,
3 −
= 0.156,
4 −
= 0,
1 +
=
2 +
=
3 +
= 0,
4 +
= 0.312 dengan nilai fungsi objektif sebesar
0.156 detail penghitungan dapat dilihat di Lampiran 4.
IV CONTOH KASUS DAN PEMBAHASAN
Bank komersial adalah lembaga dengan multiproduk.
Produk investasi
yang ditawarkan bank komersial ada yang berisiko
dan ada yang tidak berisiko. Semakin tinggi risiko suatu produk investasi, semakin besar
tingkat pendapatan yang diperoleh. Oleh karena itu, bank komersial harus bisa
mengalokasikan produk investasi sehingga memaksimumkan profit dan meminimumkan
risiko secara bersamaan.
Diasumsikan bahwa
setiap bank
komersial harus
memiliki karakteristik
sebagai berikut: 1
Paling sedikit 47 dari giro dan 36 dari deposito berjangka dan tabungan tetap
dalam keadaan likuid liquid part. 2
Paling sedikit 14 dari giro dan 4 dari deposito
berjangka dan
tabungan dialokasikan dalam kategori kas.
3 Paling sedikit 5 dari total sumber dana
diinvestasikan ke setiap kategori investasi. 4
Paling sedikit 40 dari total sumber dana diinvestasikan ke pinjaman komersial.
Gupta dan Bhattacharya 2010b Selanjutnya akan digunakan tiga fungsi
objektif, yaitu
memaksimumkan profit,
meminimumkan kecukupan
modal, dan
meminimumkan rasio aset berisiko jumlah investasi
yang berisikomodal.
Fungsi objektif profit diperoleh dari penjumlahan
tingkat pendapatan setiap kategori investasi. Fungsi objektif kecukupan modal diperoleh
dari rasio modal wajib untuk memenuhi kebutuhan investasi dapat dilihat pada Tabel
1 kolom kecukupan modal dengan modal sebenarnya dana sendiri. Fungsi objektif
risiko diperoleh dari rasio jumlah investasi yang berisiko terhadap dana sendiri.
Rasio aset
berisiko yang
rendah mengindikasikan
bahwa suatu
lembaga keuangan dalam keadaan aman. Kecukupan
modal yang rendah mengindikasikan risiko yang minimum, karena kecukupan modal
yang rendah memberikan makna bahwa selisih antara dana yang dibutuhkan untuk
investasi dan dana sebenarnya modal sendiri juga rendah sehingga mengakibatkan risiko
yang minimum.
Dalam karya ilmiah ini, akan digunakan contoh kasus dari bank fiktif yang disebut
sebagai “Bank
AXN”. Perencanaan
pengoptimalan investasi pada bank tersebut akan diselesaikan dengan menggunakan
metode goal programming dan fuzzy goal programming.
4.1 Contoh Kasus Bank AXN
Misalkan sumber dana Bank AXN berasal dari dana sendiri dan dana dari pihak
ketiga. Sumber dana sendiri sebesar 250 juta rupiah, sumber dana dari pihak ketiga terdiri
atas giro sebesar 125000 juta rupiah, dan deposito berjangka dan tabungan sebesar
225000 juta rupiah. Dana tersebut akan diinvestasikan ke dalam berbagai kategori
investasi dengan tingkat pendapatan, bagian likuid, kecukupan modal, dan risiko aset,
seperti
yang terlihat
dalam Tabel
1.
Tabel 1 Kategori investasi Bank AXN Kategori Investasi
Tingkat Pendapatan
Bagian Likuid
Kecukupan Modal
Aset Berisiko? YaTidak
1 Kas
100 Tidak
2 Investasi jangka pendek
4 99.5
1 Tidak
3 Surat berharga pemerintah
jangka waktu 1 sampai 5 tahun 3.5
96 5
Tidak 4
Surat berharga pemerintah jangka waktu 5 sampai 10 tahun
7 90
6 Tidak
5 Pinjaman angsuran
11.5 17
Ya 6
Kredit tunai 12
19 Ya
7 Pinjaman komersial
10.5 11
Ya
4.2 Model Pemrograman Linear dengan Multiobjektif dari Kasus Bank AXN
Keputusan investasi dari Bank AXN dapat dimodelkan dengan variabel keputusan
untuk setiap kategori investasi yang ada dalam Tabel 1. Berdasarkan Tabel 1 dan asumsi-
asumsi yang
diberikan, maka
model pemrograman linear dengan multiobjektif atau
multiobjective linear programming MLP dapat diformulasikan menjadi:
Misalkan � = banyaknya uang dalam jutaan rupiah
yang akan diinvestasikan ke dalam kategori investasi ke- ,
= 1,2, … , 7.
Formulasi pemrograman linear multiobjektif adalah sebagai berikut:
1 Minimumkan aset berisiko
1
� ≔ 1
250 �
5
+ �
6
+ �
7
2 Maksimumkan profit
2
� ≔ 0.04 �
2
+ 0.035 �
3
+ 0.07 �
4
+0.115 �
5
+ 0.12 �
6
+ 0.105 �
7
3 Minimumkan kecukupan modal
3
� ≔ 1
250 0.01�
2
+ 0.05 �
3
+0.06 �
4
+ 0.17 �
5
+ 0.19 �
6
+ 0.11 �
7
dengan kendala 1
Semua dana dana sendiri dan dana pihak ketiga diinvestasikan ke setiap kategori
investasi �
1
+ ⋯ + �
7
= 350250 2
Kendala likuiditas �
1
+ 0.995 �
2
+ 0.96 �
3
+ 0.9 �
4
0.47 × 125000 + 0.36 × 225000 asumsi 1
3 Kendala diversifikasi
�
1
0.14 × 125000 + 0.04 × 225000 asumsi 2
� 0.05 × 350250,
= 2, … ,7
asumsi 3 4
Kendala untuk aset komersial �
7
0.4 250 + 125000 + 225000 asumsi 4
MLP 1 Penyelesaian masalah investasi Bank
AXN dengan preemptive goal programming dapat diselesaikan dengan menggunakan
software LINGO 11.0. Tahap pertama untuk menyelesaikan masalah ini ialah dengan
membagi fungsi objektif menjadi tiga bagian sesuai dengan urutan prioritas. Berdasarkan
tingkat kepentingan setiap fungsi objektif, maka misalkan prioritas pertama adalah
meminimumkan aset berisiko, prioritas kedua adalah memaksimumkan profit, dan prioritas
ketiga adalah meminimumkan kecukupan modal.
Prioritas pertama
Minimumkan aset berisiko
1
� ≔ 1
250 �
5
+ �
6
+ �
7
dengan kendala 1
�
1
+ ⋯ + �
7
= 350250 2
�
1
+ 0.995 �
2
+ 0.96 �
3
+ 0.9 �
4
139750 3
�
1
26500 �
17512.5, = 2,
… ,7 4
�
7
140100 Penyelesaian masalah ini menghasilkan
solusi optimal dalam juta rupiah �
1
= 26500,
�
2
= �
3
= �
5
= �
6
= 17512.5, �
4
= 113600,
�
7
= 140100 dengan
1
= 700.5,
2
= 28091.38 juta rupiah
dan
3
= 118.329 detail penghitungan dapat dilihat di
Lampiran 5. Kemudian nilai fungsi objektif risiko
1
700.5 ditambahkan pada kendala di prioritas kedua, sehingga modelnya
menjadi:
Prioritas kedua Maksimumkan profit
2
� ≔ 0.04 �
2
+ 0.035 �
3
+ 0.07 �
4
+0.115 �
5
+ 0.12 �
6
+ 0.105 �
7
dengan kendala 1
�
1
+ ⋯ + �
7
= 350250 2
�
1
+ 0.995 �
2
+ 0.96 �
3
+ 0.9 �
4
139750 3
�
1
26500 �
17512.5, = 2,
… ,7 4
�
7
140100 5
1
700.5 Penyelesaian masalah ini menghasilkan
solusi optimal dalam juta rupiah �
1
= 26500,
�
2
= �
3
= �
5
= �
6
= 17512.5, �
4
= 113600,
�
7
= 140100 dengan
1
= 700.5,
2
= 28091.38 juta rupiah
dan
3
= 118.329 detail penghitungan dapat dilihat di
Lampiran 6. Kemudian nilai fungsi objektif profit
2
28091.38 juta
rupiah ditambahkan pada kendala di prioritas ketiga,
sehingga modelnya menjadi:
Prioritas ketiga
Minimumkan kecukupan modal
3
� ≔ 1
250 0.01�
2
+ 0.05 �
3
+ 0.06 �
4
+0.17 �
5
+ 0.19 �
6
+ 0.11 �
7
dengan kendala 1
�
1
+ ⋯ + �
7
= 350250 2
�
1
+ 0.995 �
2
+ 0.96 �
3
+ 0.9 �
4
139750 3
�
1
26500 �
17512.5, = 2,
… ,7 4
�
7
140100 5
1
700.5 6
2
28091.38 Masalah ini tidak mempunyai solusi
fisibel detail penghitungan dapat dilihat di Lampiran 7. Meskipun solusi pada prioritas
ketiga tidak fisibel, tetapi tetap diperoleh solusi optimal dengan nilai yang sama dengan
solusi optimal yang diperoleh pada prioritas kedua. Hal ini dikarenakan solusi optimal
pada prioritas ketiga hampir memenuhi kendala
6, yaitu
2
= 28091.375 ≅
28091.38. Dalam kasus ini, solusi optimal dengan
menggunakan metode
preemptive goal
programming hanya
diperoleh sampai
prioritas kedua, yaitu �
1
= 26500, �
2
= �
3
= �
5
= �
6
= 17512.5, �
4
= 113600, dan �
7
= 140100 masing-masing dalam juta rupiah.
Selanjutnya dilakukan substitusi dari solusi optimal tersebut ke dalam fungsi
objektif aset berisiko, profit, dan kecukupan modal, maka diperoleh total aset berisiko
sebesar 700.5, total profit sebesar 28091.38 juta rupiah, dan total kecukupan modal
sebesar 118.329.
Solusi optimal menunjukkan bahwa Bank AXN akan memperoleh profit sebesar
28091.38 juta rupiah dengan total risiko 700.5 dan kecukupan modal sebesar 118.329 jika
menginvestasikan dana sebesar 26500 juta rupiah untuk kategori kas, sebesar 17512.5
juta rupiah untuk masing-masing kategori investasi jangka pendek, surat berharga
pemerintah jangka waktu 1 sampai 5 tahun, pinjaman angsuran, dan kredit tunai, sebesar
113600 juta rupiah untuk kategori investasi surat berharga pemerintah jangka waktu 5
sampai 10 tahun, dan sebesar 140100 juta rupiah untuk kategori investasi pinjaman
komersial.
Selanjutnya akan digunakan metode goal programming dengan menetapkan secara
subjektif tiga level aspirasi dari fungsi objektif aset berisiko, profit, dan kecukupan modal,
yaitu
1
= 700,
2
= 28100 juta rupiah, dan
3
= 118. Penetapan level aspirasi tersebut didasarkan pada solusi nilai fungsi objektif
yang diperoleh dari metode preemptive goal programming.
4.3 Model Goal Programming
