Pengendalian Kualitas Menggunakan Model Fuzzy Goal Programming

PENGENDALIAN KUALITAS MENGGUNAKAN MODEL

FUZZY GOAL PROGRAMMING

SKRIPSI

KIKI WINARTI 050803056

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2009

PENGENDALIAN KUALITAS MENGGUNAKAN MODEL

FUZZY GOAL PROGRAMMING

SKRIPSI

KIKI WINARTI 050803056

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2009

PERSETUJUAN

Judul : PENGENDALIAN KUALITAS MENGGUNAKAN

MODEL FUZZY GOAL PROGRAMMING

Kategori : SKRIPSI

Nama : KIKI WINARTI

Nomor Induk Mahasiswa : 050803056

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan,02 September 2009

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si Drs. Marwan Harahap, M.Eng

NIP. 130 810 774 NIP.130 422 443

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP. 131 796 149

PERNYATAAN

PENGENDALIAN KUALITAS MENGGUNAKAN MODEL FUZZY GOAL PROGRAMMING

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, 02 September 2009

KIKI WINARTI 050803056

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, dengan limpahan dan karunia-Nya skripsi ini berhasil diselesaikan dalam waktu yang telah ditetapkan.

Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada Drs. Marwan Harahap, M.Eng dan Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si selaku pembimbing pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan kajian ini. Panduan ringkas, padat dan professional telah diberikan kepada saya agar penulis dapat menyelesaikan tugas ini. Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU Dr. Saib Suwilo, M.Sc. dan Drs. Henry Sitepu, M.Si, Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matemetika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, dan pegawai di FMIPA USU. Akhirnya tidak terlupakan kepada kedua orang tua, semua ahli keluarga dan rekan-rekan terdekat saya Fitri, Astri, Jayanti, Firdaus, Taufik, Amin, Mindo, Kak Desni, Bang gudhi, adikku Bayu serta kakanda saya Fachri yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan yang diperlukan. Semoga Allah SWT memberikan balasan yang layak.

ABSTRAK

Pengendalian kualitas (Quality Control) dalam keadaan tertentu merupakan suatu proses pengambilan keputusan yang kompleks. Kompleksitas tersebut terjadi karena banyaknya karakteristik input, parameter proses dan karakteristik output yang harus dipenuhi sesuai dengan spesifikasi dan kemungkinan terjadinya konflik antar karakteistik dan parameter proses. Sehingga diperlukan sistem pengendalian kualitas secara simultan. Penelitian ini menggunakan model Fuzzy Goal Programming untuk pengendalian kualitas apabila hubungan karakteristik input dan parameter proses terhadap karakteristik output adalah persamaan regresi linier. Model fuzzy goal programming yang digunakan mampu memenuhi seluruh spesifikasi yang ditetapkan si pembuat keputusan dengan nilai keanggotaan yang mengindikasikan terpenuhinya spesifikasi dalam hubungannya dengan nilai tengah deviasi spesifikasi.

QUALITY CONTROL USE FUZZY GOAL PROGRAMMING MODEL

ABSTRACT

The Quality Control in presence of certain features is a complex decision making process. The complexity happened due to the number of characteristic inputs, process parameters and characteristic outputs which must be fulfilled according to specification and possibility the happening of conflict between the characteristics and process parameters. Thus the simultaneously quality control system is required. This research uses the fuzzy goal programming model for quality control if the relationship of characteristic input and process parameter to characteristic output is linear regression equation. The fuzzy goal programming model used is able to fullfil all the specifications that is determined by decision maker with membership function that indicates the fulfillment of specifications in terms of specification deviation central value.

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak v

Abstract vi

Daftar Isi vii

Daftar Tabel viii

Daftar Gambar ix

Bab 1. Pendahuluan 1

1.1Latar Belakang 1

1.2Perumusan Masalah 2

1.3Tujuan Penelitian 3

1.4Kontribusi Penelitian 3

1.5Tinjauan Pustaka 3

1.6Metode Penelitian 5

Bab 2. Landasan Teori 6

2.1 Quality Control (Pengendalian Kualitas) 6

2.1.1 Definisi Kualitas 7

2.1.2 Macam-macam Kualitas 7

2.1.3 Ciri-ciri Kualitas 8

2.1.4 Definisi Quality Control (Pengendalian Kulaitas) 8

2.1.5 Peta Kontrol 9

2.1.5.1 Peta Kontrol Variabel 9

2.1.5.2 Peta Kontrol Atribut 11

2.2 Analisis Regresi 11

2.2.1 Regresi Linier Sederhana 12

2.2.2 Regresi Linier Berganda 13

2.2.3 Interval Kepercayaan 13

2.2.4 Estimasi Parameter β 14

2.3 Goal Programming 15

2.3.1 Konsep Goal Programming 16

2.3.1.1 Variabel Deviasi 16

2.3.1.2.Fungsi Tujuan 18

2.3.1.3 Kendala Tujuan 19

2.3.1.4 Kendala Non-Negatif 21

2.3.1.5 Kendala Struktural 21

2.3.2 Model Goal Programming 22

2.3.3 Prioritas Tujuan 24

2.4 Desain Quality Control System dengan Model Goal

Progrmming 25

2.5 Model Fuzzy Goal Programming 27

2.5.1 Fungsi Keanggotaan Fuzzy 28

Pengendalian Kualitas 31

2.6 Pengenalan Program Matlab versi 6 33

2.7 Pengenalan Program Lindo for Windows 34

Bab 3. Pembahasan 35

3.1 Penentuan Variabel dan Spesifikasi yang Digunakan 35

3.2 Pengambilan Acak dari Masing-masingVariabel 36

3.3 Pembentukan Variabel Output dalam bentuk Persamaan

Regresi Linier 38

3.3.1 Estimasi parameter β menggunakan Matlab 38

3.3.2 Bentuk Variabel Output dalam Persamaan Regresi 45

3.4 Nilai Fuzzy Spesifikasi masing-masing Variabel 46

3.5 Konstanta Deviasi yang berhubungan dengan Imprecise

Aspiration Level 48

3.6 Persamaan Kendala masing-masing Variabel 49

3.6.1 Persamaan Kendala Output 49

3.6.2 Persamaan Kendala Input 51

3.6.3 Persamaan Kendala Proses 52

3.7 Penyelesaian Model Fuzzy Goal Programming 53

3.7.1 Penyelesaian Model Fuzzy Goal Programming

dengan menggunakan LINDO 55

Bab 4. Kesimpulan dan Saran 60

4.1 Kesimpulan 60

4.2 Saran 61

Daftar Pustaka Lampiran

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 2.1 Jenis-jenis Kendala Tujuan 20

Tabel 3.1 Spesifikasi Masing-masing Variabel 36

Tabel 3.2 Nilai 14 variabel bebas Input dan 10 observasi 37

Tabel 3.3 Nilai 5 variabel output dengan 10 observasi 37

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Peta kontrol untuk rata-rata 10

Gambar 2.2 Peta kontrol untuk rentang 10

Gambar 2.3 Interval kepercayaan untuk garis regresi dalam batas spesifikasi

variabel 14

Gambar 2.4 Tampilan command window pada Matlab 33

Gambar 2.5 Tampilan awal program Lindo 34

Gambar 3.1 Tampilan listing program penyelesaian Fuzzy

Goal Programming menggunakan Lindo 56

Gambar 3.2 Tampilan hasil program fuzzy goal programming

dengan menggunakan Lindo 56

Gambar 3.3 Sambungan tampilan hasil dari gambar 3.2 57

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Suatu produk yang berkualitas adalah sebuah produk yang sangat unggul atau jasa yang sangat memuaskan sesuai dengan harapan. Kualitas adalah semua ciri-ciri dan sifat-sifat yang khas dari produk atau jasa yang memberikan kepuasan yang diinginkan pelanggan. Kesesuaian dari produk atau jasa terhadap spesifikasi dan derajat kesesuaian adalah ukuran dari kualitas.

Pengendalian kualitas adalah teknik dan aktivitas yang dilakukan untuk memperoleh, meneruskan dan meningkatkan kualitas dari produk dan jasa. Pengendalian kualitas dilakukan untuk menjamin suatu produk atau jasa memenuhi spesifikasi yang ditetapkan. Dalam keadaan tertentu pengendalian kualitas (Quality Control ) menjadi proses pengambilan keputusan yang kompleks. Hal ini terjadi karena banyaknya karakteristik input, parameter proses, dan karakteristik output yang harus memenuhi spesifikasi yang telah ditetapkan. Kompleksitas ini dapat menimbulkan konflik antar tujuan.

Salah satu pendekatan yang dapat digunakan dalam melakukan pengendalian kualitas secara simultan adalah goal programming. Sebuah teknik baru untuk menganalisis dan membuat solusi persoalan yang melibatkan banyak tujuan telah dikembangkan sebagai penunjang programa tujuan. Teknik ini memberi peluang kepada pembuat keputusan untuk melibatkan berbagai tujuan yang kadang-kadang bahkan saling konflik ke dalam proses formulasinya, berikut prioritas tujuannya. Penggunaan teknik goal programming merefleksikan sebuah filosofi dari upaya untuk mencapai solusi optimal kompromistis untuk berbagai tujuan yang kadang-kadang saling konflik. Penyelesaian goal programming adalah mencari solusi yang meminimumkan jumlah deviasi ( penyimpangan ) yang tidak

dikehendaki antara fungsi tujuan dengan masing-masing nilai tujuan, dengan tidak mengabaikan kendala-kendala yang ada.

Beberapa hal yang dipertimbangkan secara simultan yaitu karakteristik input, parameter proses dan karakteristik ouput yang dinyatakan melalui regresi linier berganda. Dengan konsep regresi linier dengan metode kuadrat terkecil yang meminimumkan deviasi yaitu pencapaian sesungguhnya dikurangi dengan pencapaian ramalan. Hal ini sesuai dengan konsep goal programming yang meminimumkan deviasi berbagai tujuan, sasaran atau target yang telah ditetapkan. Maka kedua konsep tersebut ini digunakan untuk pengendalian kualitas.

Di dunia nyata banyak situasi dimana tujuan si pembuat keputusan adalah kabur (tidak jelas). Pengendalian kualitas menjadi kompleks ketika banyak karakteristik output yang dipertimbangkan dan masing-masing karakteristik ini harus memenuhi spesifikasi. Spesifikasi masing-masing karakteristik tersebut dalam bentuk interval dimana suatu produk dikatakan berkualitas apabila nilai karakteristik input, proses dan karakteristik output nya memenuhi interval spesifikasi.

Sehingga pendekatan fuzzy goal programming yang digunakan untuk pengendalian kualitas. Di dalam pendekatan fuzzy goal programming dianggap bahwa tujuan nya merupakan himpunan kabur yang mana fungsi keanggotaannya memberikan derajat kepuasan sesuai dengan pencapaian target. Model fuzzy goal programming (Cherif, 2008) dipergunakan untuk melakukan pengendalian kualitas suatu produk.

1.2 Perumusan Masalah

Implementasi model fuzzy goal programming dalam pengendalian kualitas apabila hubungan karakteristik input dan parameter proses terhadap karakteristik output adalah persamaan regresi linier.

1.3 Tujuan Penelitian

Bertujuan untuk dapat memperoleh kualitas produk yang memenuhi spesifikasi yang dibuat oleh si pembuat keputusan dengan menggunakan moel fuzzy goal programming apabila hubungan karakteristik input dan parameter proses terhadap karakteristik output adalah persamaan regresi linier.

1.4 Kontribusi Penelitian

Mempermudah melakukan pengendalian kualitas dengan menggunakan model fuzzy goal programming. Bermanfaat sebagai alat pertimbangan bagi pengambil keputusan dalam melakukan pengendalian kualitas.

1.5 Tinjauan Pustaka

Sebagai sumber pendukung teori dalam penulisan penelitian ini, maka penulis menggunakan beberapa pustaka antara lain:

Konsep pengendalian kualitas diperkenalkan selama revolusi industri di dunia. Shewhart (1924) mengembangkan sebuah perencanaan statistik untuk pengendalian dari variabel produk dan berkembang menjadi Statistical Quality Control. Kemudian Dodge dan Romig (1942) melanjutkan dengan mencari nilai dari Statistical Quality Control menjadi nyata. Pengendalian kualitas semakin berkembang seiring dengan perkembangan industri di dunia.

Dale (1986) menyatakan bahwa Quality Control melibatkan beberapa teknik dan aktivitas yang saling berhubungan antara lain:

1. Spesifikasi dari apa yang dibutuhkan

2. Tujuan dari produk atau jasa memenuhi spesifikasi

3. Yang dihasilkan atau pemasangan benar-benar memenuhi spesifikasi 4. Pemeriksaan untuk menentukan kesesuaian terhadap spesifikasi

5. Memeriksa pemakaian untuk menyediakan informasi dalam merevisi spesifikasi yang dibutuhkan

Charnes dan Cooper (1961) pertama kali memperkenalkan goal programming sebagai pendekatan untuk menyelesaikan masalah yang infeasibility (tidak layak) pada program linier yang disebabkan oleh tujuan yang bertentangan. Ijiri (1981) dan Jaaskelainen (1969) kemudian melanjutkan melengkapinya sehingga dapat dipakai secara operasional.

Nasendi dan Affendi (1985) dalam bukunya menyatakan bahwa dalam keadaan dimana seseorang pengambil keputusan dihadapkan kepada suatu persoalan yang mengandung beberapa tujuan didalamnya, maka program linier tak dapat membantu untuk memberikan pertimbangan yang rasional. Karena Linier Progammning hanya terbatas pada analisis tujuan tunggal (single objective function). Oleh karena itu, maka persoalan tersebut memerlukan bantuan program tujuan ganda (goal programming). Dunia nyata yang kita hadapi ini adalah dunia yang penuh dengan berbagai tujuan sebagai target dan sasaran. Oleh karena itu maka goal programming merupakan alat analisis yang tepat untuk itu. Goal programming berusaha untuk meminimumkan deviasi berbagai tujuan, sasaran, atau target yang ditetapkan. Dengan analisis goal programming maka dicoba untuk memuaskan atau memenuhi target yang telah ditentukan.

Kusumadewi (2002) dalam bukunya menyatakan selama beberapa dekade yang lalu, himpunan fuzzy dan hubungannya dengan logika fuzzy telah digunakan pada lingkup domain permasalahan yang cukup luas. Lingkup ini kendali proses, klasifikasi dan pencocokan pola, manajemen dan pengambilan keputusan, riset operasi ekonomi, dll. Sejak tahun 1985, terjadi perkembangan yang sangat luas pada logika fuzzy tersebut terutama dalam hubungannya dengan penyelesaian masalah kendali, terutama yang bersifat nonlinier dan situasi-situasi yang sangat kompleks.

Hannan (1981) juga Ignizio (1982) pertama kali memaparkan teori himpunan fuzzy untuk masalah goal programming. Hannan mengembangkan persamaan

fuzzy goal programming Narasimhan dalam standard linier goal programming. Berdasarkan pada formulasi yang diberikan Hannan, fuzzy goal programming untuk proses kontrol diformulasikan kembali oleh Cherif (2008).

1.6 Metodologi Penelitian

Secara umum penelitian ini merupakan studi literatur yang dilakukan dengan beberapa tahapan berikut:

1. Penetapan karakteristik-karakteristik input, proses, dan output yang harus memenuhi spesifikasi yang ditetapkan dalam konsep pengendalian kualitas. 2. Menguraikan pendekatan model Goal Programming yang digunakan

dalam proses pengendalian kualitas.

3. Mengembangkan pendekatan model Goal Programming menjadi model

Fuzzy Goal Programming yang dapat digunakan untuk pengendalian kualitas karena nilai spesifikasi dari karakteristik-karakteristik yang ada dalam bentuk interval.

4. Mengimplementasikankan model Fuzzy Goal Programming tersebut dengan menyelesaikan contoh simulasi dalam penyelesaiaan masalah pengendalian kualitas.

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Quality Control ( Pengendalian Kualitas )

Ketika ungkapan “ kualitas produk “ digunakan, biasanya didefinisikan sebagai suatu hal yaitu produk yang terbaik atau jasa yang sesuai dengan harapan kita. Produk terdiri dari barang-barang yang dihasilkan pabrik, seperti mobil, komputer, dan pakaian, serta jasa seperti tenaga listrik, angkutan umum, dan pemeliharaan kesehatan. Tidak hanya dalam industri pengendalian kulitas dibutuhkan tetapi pada manajemen pun memegang peranan sangat penting. Pada pengendalian kualitas statistik tidak menghendaki “ terbaik “ absolut, tetapi kualitas yang diinginkan adalah yang memenuhi permintaan konsumen.

Biasanya permintaan konsumen ini diwujudkan dalam dua syarat:

• Akhir kegunaan suatu produk

• Harga jual suatu produk

Sebagai contoh, seandainya suatu industri pembuat roda kendaraan ingin memproduksi suatu roda dengan diameter tertentu. Jika bahan yang digunakan besi tua, maka harga produksinya dapat Rp.5000/biji, tetapi mutunya tidak dijamin. Daya tahan roda tidak diketahui. Tetapi seandainya bahan yang digunakan adalah baja berkualitas tinggi, maka harga roda produksi nya Rp.100.000/biji tetapi mutunya terjamin. Daya tahan roda sangat kuat, baik untuk kendaraan dengan beban berat maupun untuk balapan (race).

2.1.1 Definisi Kualitas

Produk dan jasa yang berkualitas adalah produk dan jasa yang sesuai dengan apa yang diinginkan konsumennya. Pengertian kualitas menurut beberapa ahli yang banyak dikenal antara lain:

Juran (1962) ” Kualitas adalah kesesuian dengan tujuan atau manfaatnya”

Crosby (1979) ” Kualitas adalah kesesuaian dengan kebutuhan yang meliputi

availability, delivery, reliability, maintainability, dan cost effectiveness.”

Deming (1982) “ Kualitas harus bertujuan memenuhi kebutuhan pelannggan sekarang dan di masa yang akan datang.”

Feigenbaum (1991) ” Kualitas merupakan keseluruhan karakteristik produk dan jasa yang meliputi marketing, engineering, manufacture, dan maintenance, dalam mana produk dan jasa tersebut dalam pemakaiannya akan sesuai dengan kebutuhan dan harapan.”

2.1.2 Macam-macam Kualitas

Produk yang dihasilkan oleh produsen akan memberikan nilai kualitas. Kualitas yang diukur apakah produk tersebut sesuai dengan design yang dibuat oleh produsen atau seberapa cocok produk tersebut dengan spesifikasi yang telah ditetapkan. Berikut adalah 2 segi umum tentang kualitas:

1. Kualitas rancangan

Semua barang dan jasa dihasilkan dalam berbagai kualitas. Sehingga kualitas rancangan adalah variasi dalam tingkat kualitas yang memang disengaja. Misalnya semua mobil mempunyai tujuan dasar memberikan angkutan yang aman bagi konsumen. Tetapi, mobil-mobil berbeda dalam ukuran penentuan, rupa, dan penampilan. Perbedaan-perbedaan ini adalah hasil perbedaan rancangan yang disengaja antara jenis-jenis mobil itu. Perbedaan rancangan ini meliputi jenis bahan yang digunakan dalam pembuatan, daya tahan dalam proses pembuatan, dan lain-lain.

2. Kualitas kecocokan

Kualitas kecocokan adalah seberapa baik produk itu sesuai dengan spesifikasi dan kelonggaran yang diisyaratkan oleh rancangan itu.

2.1.3 Ciri-ciri Kualitas

Kualitas suatu produk ditentukan oleh ciri-ciri produk itu. Segala ciri yang mendukung produk itu memenuhi persyaratan disebut karakteristik kualitas. Adapun ciri-ciri kualitas ada beberapa jenis:

1. Fisik

Misalnya panjang, berat, voltase, kekentalan 2. Indera

Misalnya rasa, penampilan, warna 3. Orientasi Waktu

Misalnya keandalan (dapat dipercaya), dapatnya dipelihara, dapatnya dirawat.

2.1.4 Definisi Quality Control ( Pengendalian Kualitas )

Definisi 2.1.5.1. Pengendalian Kualitas adalah aktivitas teknik dan manajemen, yang dengan aktivitas itu diukur ciri-ciri kualitas produk, membandingkannya dengan spesifikasi atau persyaratan, dan mengambil tindakan penyehatan yang sesuai apabila ada perbedaan antara penampilan yang sebenarnya dan yang standar.

Definisi 2.1.5.2. Pengendalian kualitas adalah penggunaan teknik dan kegiatan dalam mencapai, menopang, dan meningkatkan kualitas suatu produk dan layanan. Ini meliputi penggabungan yang menghubungkan teknik dan kegiatan antara lain:

1. Spesifikasi terhadap apa yang dibutuhkan

2. Perencanaan produk atau jasa dalam memenuhi spesifikasi

4. Pemeriksaan untuk menentukan kesesuaian terhadap spesifikasi

5. Memeriksa kembali penggunaan untuk menyediakan informasi dalam merevisi spesifikasi yang dibutuhkan

2.1.5 Peta Kontrol

Salah satu alat yang dapat digunakan untuk pengendalian kualitas adalah peta kontrol. Peta kontrol memberikan informasi tentang kemampuan proses, nilai parameter proses yang penting, dan stabilitas terhadap waktu sehingga memberikan taksiran kemampuan proses dan menyajikan secara grafik keadaan produksi secara kronologi ( jam per jam atau hari per hari). Informasi ini sangat berguna bagi perancangan produk dan proses.

Peta kontrol dapat digunakan untuk:

• Mengetahui apakah telah terjadi perubahan proses produksi.

• Mendeteksi adanya penyebab-penyebab yang mempengaruhi proses.

• Membuat standar suatu proses.

Peta kontrol dapat dibagi menjadi dua jenis, yaitu: a. Peta kontrol variabel

b. Peta kontrol atribut

2.1.5.1Peta Kontrol Variabel

Banyak karakteristik kualitas yang dapat dinyatakan dalam bentuk ukuran angka. Suatu karakteristik kualitas yang dapat diukur seperti dimensi, atau volume dan dinyatakan secara kuantitatif dinamakan variabel. Metode peta kontrol untuk beberapa variabel adalah suatu cara dalam memvisualisasikan varisi yang terjadi dalam pusat kecendrungan atau penyebaran pada sekumpulan pengamatan ( observasi ).

Pengendalian rata-rata atau mean tingkat kualitas biasanya dengan grafik pengendali untuk mean atau yang disebut dengan peta kontrol untuk rata-rata. Berikut adalah model peta nya:

UCL Upper Control Limit

Rata-rata (X ) Central Limit

LCL Lower Control Limit

Gambar 2.1 Peta kontrol untuk rata-rata

Sedangkan grafik pengendali untuk rentang disebut dengan peta kontrol untuk rentang. Berikut adalah model peta nya:

UCL Upper Control Limit

Range (R) Central Limit

LCL Lower Control Limit

Gambar 2.2 Peta kontrol untuk rentang

Dalam membuat chart kontrol untuk rata-rata (X ) dan range (R) sangat diperlukan mengikuti sekumpulan prosedur. Langkah –langkah dalam prosedur ini adalah sebagai berikut:

1. Menyeleksi atau memilih karakteristik kualitas 2. Memilih subgroup yang rasional

3. Mengumpulkan data

4. Menentukan garis tengah percobaan dan limit kontrolnya

5. Membuat garis tengah yang telah diperbaiki dan limit kontrolnya 6. Mencapai tujuannya

Penggunaan peta kontrol variabel dipakai di dalam tujuan berikut: 1. Untuk menyediakan informasi bagi kemajuaan suatu kualitas.

2. Untuk memberikan informasi dalam menentukan kemampuan suatu proses. 3. Untuk memberikan informasi terhadap keputusan-keputusan dalam hal

4. Untuk memberikan informasi untuk keputusan yang sekarang ini dalam hal proses produksi.

5. Untuk memberikan informasi ntuk menentukan keputusan dalam hal barang-barang yang diproduksi baru-baru ini.

2.1.5.2Peta Kontrol Atribut

Banyak karakteristik kualitas tidak dapat dengan mudah dinyatakan secara numerik. Dalam hal seperti itu, biasanya tiap benda yang diperiksa diklasifikasi sebagai sesuai dengan spesifikasi pada karakteistik kualitas itu atau tidak sesuai dengan spesifikasi. Istilah “cacat”atau “tidak cacat” kadang-kadang digunakan untuk mengidentifikasi kedua klasifikasi tersebut. Karakteristik kualitas seperti ini dinamakan sifat (atribut).

Pengertian atribut dalam pengendalian kualitas berkaitan dengan karakteristik kualitas yang dapat digolongkan atas baik (diterima) dan cacat (ditolak). Beberapa macam peta kontrol atribut yaitu (Feigenbsum, 1994): 1. Peta kontrol p (p chart), yaitu peta kontrol untuk fraksi defektif (fraction

rejected fraction nonconforming) atau dengan kata lain bagian produk yang tidak sesuai cacat yang diproduksi oleh suatu proses produksi.

2. Peta kontrol np (np chart), yaitu peta kontrol untuk jumlah item yang tidak sesuai (number of nonconforming).

3. Peta kontrol c (c chart), yaitu peta kontrol untuk jumlah ketidaksesuaian (number of nonconformities).

4. Peta kontrol u (u chart), yaitu peta kontrol untuk jumlah ketidaksesuaian per unit (number of nonconformities per unit).

2.2 Analisis Regresi

Analisis regresi adalah teknik statistika yang berguna untuk memeriksa dan memodelkan hubungan diantara variabel-variabel. Analisis regresi berguna dalam menelaah hubungan dua variabel atau lebih, dan terutama untuk menelusuri pola

hubungan yang modelnya belum diketahui dengan sempurna, sehingga dalam penerapannya lebih bersifat eksploratif.

2.2.1 Regresi Linier Sederhana

Regresi linier sederhana adalah analisis regresi yang melibatkan hubungan antara satu variabel tak bebas dihubungkan dengan satu variabel bebas.

Variabel tak bebas adalah variabel yang nilai nya selalu bergantung dengan nilai variabel lain dalam hal ini variabel tak bebas nilainya selalu dipengaruhi oleh variabel bebas, sehingga sering disebut dengan variabel terkait sedangkan variabel bebas adalah variabel yang nilainya tidak tergantung dengan variabel lain. Dan biasanya variabel tak bebas dinotasikan dengan Ydan variabel bebas dinotasikan dengan X . Hubungan-hubungan itu bila dinyatakan dalam model matematis akan memberikan persamaan-persamaan tertentu.

Model matematis dalam menjelaskan hubungan antar variabel dalam analisis regresi menggunakan persamaan regresi. Persamaan regresi adalah suatu persamaan matematis yang mendefinisikan hubungan antara dua variabel. Persamaan regresi digunakan untuk membuat taksiran mengenai nilai variabel tak bebas yang disebut dengan persamaan regresi estimasi.

Bentuk umum persamaan regresi linier sederhana yang menunjukkan hubungan antara dua variabel, yaitu variabel X sebagai variabel bebas dan variabel Ysebagai variabel tak bebas adalah

1, 2,...,

i i i

Y = +a bx +e untuk i= n dengan:

i

Yadalah variabel tidak bebas ke-i

i

x adalah variabel bebas ke-i

aadalah titik potong kurva terhadap sumbu Y badalah kemiringan (slope) kurva linier

2.2.2 Regresi Linier Berganda

Regresi linier berganda adalah analisis regresi yang melibatkan hubungan dari dua atau lebih variabel bebas.

Adakalanya persamaan regresi dalam menganalisis hubungan antar variabel tidak hanya dipengaruhi oleh satu faktor atau peubah bebas tapi dapat pula dipengaruhi oleh dua atau lebih faktor yang mempengaruhinya. Maka regesi linier yang mengandung lebih dari satu peubah bebas digunakan regresi linier berganda. Jadi model ini dikembangkan untuk mengestimasi nilai variabel tak bebas Ydengan menggunakan lebih satu variabel bebas ( ,x x_{1 2},...,x_n).

Model regresi linier berganda merupakan suatu model yang dapat dinyatakan dalam persamaan linier yang memuat peubah dan parmeter. Parameter ini umumnya tidak diketahui dan dapat ditaksir. Hubungan linier lebih dari dua variabel bila dinyatakan dalam bentuk persamaan matematisnya adalah

Y_i =β₀+β₁x_i1+β₂x_i2+...+β_px_ip+ε_i untuk i=1, 2,...,n

dengan:

i

Yadalah variabel tak bebas ke-i

i

xadalah variabel bebas ke-i

0

β adalah konstanta yang merupakan titik potong kurva terhadap sumbu Y

i

β adalah kemiringan (slope) kurva linier

i

ε adalah nilai kesalahan (error) pada pengamatan

2.2.3 Interval Kepercayaan

Dari persamaan regresi garis lurus Y =β₀+β₁X dengan segugus data

(X Y_i, )_i dengan i = 1,2,...,n. Untuk suatu nilai Y tertentu katakanlah Y₀ , diperoleh nilai ramalan X₀, nilai peubah X yang menjadi padanan Y₀ , dan selang kepercayaan bagi X disekitar X₀.

Karena adanya batas spesifikasi atas dan spesifikasi bawah maka setiap variabel X memiliki batas atas dan batas bawah yaitu X_Lyang merupakan batas spesifikasi bawah dan X_Uyang merupakan batas spesifikasi atas. Maka dengan adanya interval kepercayaan dimana sampai batas kurva tersebut nilai variabel

X dapat diterima.

Y Kurva atas yang merupakan batas atas interval kepercayaan

Garis regresi

Garis MendatarY =Y₀

Kurva bawah yang merupakan batas bawah inteval kepercayaan

X_L X₀ X_U X

Gambar 2.3 Interval kepercayaan untuk garis regresi dalam batas spesifikasi variabel

2.2.4 Estimasi parameter β

Berdasarkan model persamaan regresi linier berganda dibawah ini: 0 1 1 2 2 ... p1 p 1

Y=β +β X +β X + +β ₋ X ₋ +ε (2.2.3.1)

dimana X X₁, ₂,...,X_p−1adalah konstanta dan β_jadalah parameter yang hendak diestimasi dan ε adalah nilai eror. Jika X_jadalah bervariasi dan ada sebanyak n buah dari Ydiobservasikan, didenotasikan sebagai:

1 2 ' ( , ,..., _n)

Y = Y Y Y

Dari persamaan regresi sederhana berikut:

Y =Xβ ε+ (2.2.3.2)

' ' ' ' 1 2

( , ,..., _n)

X = X X X dan X_i =(1,X_i1,...,X_ip−1)

Sama dengan banyaknya ke-i variabel X₁,...,X_p−1 , parameter '

0 1

( ,..., _p )

β

=

β

β

− dan

' 1 ( ,..., _n)

ε = ε ε

Berdasarkan metode kuadrat terkecil dalam estimasi parameter β yaitu meminimumkan

∑

_iε_i2 berkenaan dengan β . Disini erorr tersebut diminimumkan ε ε' = Y−Xβ 2 yang juga berkenaan dengan β

Kemudian '

( ) '( )

' 2 ' ' ' '

Y X Y X

Y Y X Y X X

ε ε β β

β β β

= − −

= − +

Differensialkan ε ε' terhadap β dimana ' ε ε

β

∂

∂ = 0 maka

2X Y' 2X X' β 0

− + =

atau

' '

X Xβ =X Y (2.2.3.3)

Persamaan 2.2.3.3 dikatakan persamaan normal. Jika X mempunyai rank

pkemudian X X' adalah definite positif dan nonsingular. Sehingga 1

(X X' ) X Y'

β∧ ₌ − _(2.2.3.4)

β∧ adalah estimasi parameter β untuk setiap variabel.

2.3 Goal Programming

Program tujuan ganda yang dalam bahasa asingnya dikenal sebagai Goal Programming merupakan modifikasi atau variasi khusus dari program linier. Analisis goal programming bertujuan untuk meminimumkan jarak antara atau deviasi terhadap tujuan, target atau sasaran yang telah ditetapkan dengan usaha yang dapat ditempuh untuk mencapai target atau tujuan tersebut secara memuaskan sesuai dengan syarat ikatan yang ada, yang membatasinya berupa sumber daya yang tersedia, teknologi yang ada, kendala tujuan dan sebagainya.

2.3.1 Konsep Goal Programming

Goal programming biasanya diterapkan pada masalah-masalah linier dengan memasukkan berbagai tujuan dalam formulasi modelnya. Setiap tujuan dinyatakan sebagai suatu goal dan direpresentasikan secara numerik. Goal inilah yang ingin dicapai. Tetapi, berbagai goal tidak selalu dapat dicapai secara bersamaan, penyimpangan (deviasi) dari goal dapat terjadi. Oleh karena itu, dalam formulasi goal programming, goal dalam numerik untuk setiap tujuan harus ditetapkan lebih dahulu.

Kemudian, solusi yang ingin dicapai adalah meminimumkan jumlah penyimpangan tujuan-tujuan ini terhadap masing-masing goalnya. Dengan kata lain, fungsi tujuan dalam Goal Programming dinyatakan sebagai minimasi penyimpangan dari fungsi pencapaian goal.

Dalam model Goal Programming paling tidak memuat tiga komponen yaitu sebuah fungsi tujuan, kendala tujuan dan kendala non negatif.

2.3.1.1Variabel Deviasi

Definisi : Misalkan d adalah variabel yang bertanda sembarang, maka d dapat dinyatakan sebagai : d = d+ - d

-dengan :

{

{

, 0

0 , 0

0 , 0

, 0

d untuk d untuk d untuk d d untuk d

d

d

+ + ≥

<

− ≥

− <

=

=

Dimana d+ = komponen positif dari d d- = komponen negatif dari d Dari dalil d =d++d−

Bukti :

Dari sifat harga mutlak :

{

, 0

, 0

d untuk d d untuk d

d

=

+₋ ≥_<

{

{

, 0

0 , 0

0 , 0

, 0

d untuk d untuk d untuk d d untuk d

d

d

+ + ≥

<

− ≥

− <

=

=

Atau

{

, 0

, 0

d untuk d d untuk d

d

+

+

d

−

=

+₋ ≥_<

Jadi, d =d++d− (Terbukti)

Variabel deviasi sesuai dengan fungsinya yaitu menampung deviasi terhadap tujuan-tujuan yang dikehendaki, dibedakan menjadi dua yaitu:

1) Variabel deviasi untuk menampung deviasi yang berbeda dibawah tujuan yang dikehendaki dan tercermin pada nilai ruas kanan suatu kendala tujuan. Dengan kata lain variabel deviasi ini berfungsi untuk menampung deviasi negatif. Digunakan notasi d- untuk menandai jenis variabel deviasi ini, karena variabel deviasi ini berfungsi untuk menampung deviasi negatif maka d- akan selalu brkoefisien +1 pada setiap kendala tujuan sehingga bentuk umum fungsi kendalanya adalah:

1

n

ij j i

j

A X d− b

=

+ =

∑

………(2.1)

dengan i=1,2,3,…,m j = 1,2,3,…,n

2) Variabel deviasi untuk menampung deviasi yang berada diatas tujuan yang dikehendaki, dengan kata lain variabel deviasi ini berfungsi untuk menampung deviasi positif. Digunakan notasi d+ untuk menandai jenis variabel deviasi ini, karena variabel deviasi ini bertujuan untuk menampung deviasi positif, maka d+ akan selalu berkoefisien -1 pada setiap kendala tujuan sehingga bentuk kendalanya adalah:

1

n

ij j i

j

A X d+ b

=

− =

∑

………..(2.2)

dengan i=1,2,3,…,m j = 1,2,3,…,n

1

n

ij j i

j

A X b d−

=

= −

∑

………..(2.3)

dan fungsi kendala persamaan (2.2) juga dapat ditulis:

1

n

ij j i

j

A X b d+

=

= +

∑

………..(2.4)

Dengan demikian jelas bahwa kedua jenis variabel deviasi tersebutkan mendekati sebuah garis kendala dari dua arah yang berlawanan. Secara matematika hal ini tercermin pada persamaan berikut:

1

n

ij j i

j

A X b d+ d−

= = + −

∑

atau 1 n

ij j i

j

A X d+ d− b

=

− + =

∑

……….(2.5)

Karena nilai minimum d+ dan d- adalah nol maka persamaan (2.5) akan terpenuhi apabila:

1. d_i+ =d_i− =0sehingga 1

n

ij j i

j

A X b

=

=

∑

artinya tujuan tercapai

2. d_i+ >0 dan d_i− =0 sehingga 1

n

ij j i i

j

A X b d+

=

= +

∑

artinya tujuan tidak tercapai

karena 1

n

ij j i

j

A X b

=

>

∑

3. d_i+ =0dan d_i− >0sehingga 1

n

ij j i i

j

A X b d+

=

= −

∑

artinya akan terlampaui karena

1

n

ij j i i

j

A X b d+

=

= −

∑

Jadi jelas bahwa kondisi dimana d_i+ >0dan d_i− >0 pada sebuah kendala tujuan tidak akan mungkin terjadi.

Fungsi tujuan dalam Goal Programming pada umumnya adalah masalah minimisasi karena dalam model Goal Programming terdapat variabel deviasi didalam fungsi tujuan yang harus diminimumkan. Hal ini merupakan konsekuensi logis dari kehadiaran variabel deviasi dalam fungsi kendala tujuan. Sehingga fungsi tujuan dalam goal programming adalah minimisasi penyimpangan atau minimisasi variabel deviasi.

Ada tiga jenis fungsi tujuan dalam Linier Goal Programming: 1. Minimumkan

1

m

i i

i

Z d− d+

=

=

∑

+

Fungsi tujuan diatas digunakan apabila variabel deviasi dalam suatu masalah tidak dibedakan menurut prioritas atau bobot.

2. Minimumkan 1

( ) 1, 2,...,

m

k i i

i

Z P d− d+ untuk k K

=

=

∑

+ =

Fungsi tujuan diatas digunakan apabila urutan dari tujuan diperlukan, tetapi variabel deviasi setiap tingkat prioritas dari tujuan memiliki kepentingan yang sama.

3. Minimumkan 1

( ) 1, 2,...,

m

ki k i i

i

Z W P d− d+ untuk k K

=

=

∑

+ =

Fungsi tujuan diatas digunakan apabila tujuan-tujuan diurutkan berdasarkan prioritasnya dan variabel deviasi pada setiap tingkat prioritas dibedakan dengan diberikan bobot yang berlainan Wki.

2.3.1.3 Kendala Tujuan

Dalam model Goal Programming didapat sepasang variabel yang dinamakan variabel deviasi dan berfungsi untuk menampung penyimpangan atau deviasi yang akan terjadi pada ruas kiri suatu persamaan kendala terhadap nilai ruas kanannya. Agar deviasi ini minimum, artinya ruas kiri suatu persamaan kendala “ sebisa mungkin “ mendekati nilai ruas kanannya maka variabel deviasi itu harus diminimumkan didalam fungsi tujuan.

Pemanipulasian model Goal Programming yang dilakukan oleh Charnes dan Cooper telah mengubah makna kendala fungsional. Pada Linier

Programming, kendala-kendala fungsional menjadi pembatas bagi usaha pemaksimuman atau peminimuman fungsi tujuan. Sedangkan pada Goal Programming kendala-kendala merupakan sarana untuk mewujudkan tujuan yang hendak dicapai.

Tujuan-tujuan yang dinyatakan sebagai nilai konstan pada ruas kanan kendala, mewujudkan suatu tujuan berarti mengusahakan agar nilai ruas kiri suatu persamaan kendala sama dengan nilai ruas kanannya. Itulah sebabnya Kendala-kendala didalam model Goal Programming selalu berupa persamaan yang dinamakan kendala tujuan.

Bentuk persamaan kendala tujuan secara umum: ( , , )

ij j i

A X ≤ = ≥ b

Dan dikonversikan secara umum menjadi:

ij j i i i

A X +d−−d+ =b

Ada enam jenis kendala tujuan yang berlainan. Maksud setiap jenis kendala itu ditentukan oleh hubungannya dengan fungsi tujuan. Jenis-jenis kendala tersebut disajikan di tabel berikut:

Tabel 2.1 Jenis-jenis Kendala Tujuan

Persamaan ke

Kendala Tujuan Variabel deviasi dalam fungsi

tujuan

Kemungkinan Simpangan

Penggunaan Nilai RHS yang

diinginkan

1

ij j i i

A X +d− =b d_i− Negatif =b_i

2

ij j i i

A X −d+ =b d_i+ Positif =b_i

3

ij j i i i

A X +d−−d+ =b d_i− Negatif dan

positif i

b atau lebih 4

ij j i i i

A X +d−−d+ =b di

− _{Negatif dan}

positif i

b atau kurang

5

ij j i i i

A X +d−−d+ =b di −

dan d_i+ Negatif dan

positif

=b_i

6

ij j i i

A X −d+ =b di +

Sumber : Mulyono, Sri. 1991. Operation Research. Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia, Jakarta

Dari tabel diatas dapat dijelaskan bahwa pada persamaan ke-1 serupa dengan pertidaksamaan ≤ dalam masalah linier programming maksimisasi, persamaan ke-2 serupa dengan pertidaksamaan ≥ dalam linier programming minimisasi. Sedangkan persamaan ke-3 sampai ke-5 kesemuanya memperoleh penyimpangan dua arah, tetapi persamaan ke-5 mencari penggunaan sumber daya yang diinginkan sama dengan b_i. Ini serupa dengan kendala persamaan LP, tetapi tidak menempel pada solusi kerena dimungkinkan adanya penyimpangan negatif dan positif. Jika kendala persamaan dianggap perlu dalam perumusan model LGP, ia dapat dimasukkan dengan menempatkan sebuah artificial variabel d_i+ , seperti pada persamaan keenam. persamaan memperbolehkan adanya penyimpangan positif dan negatif dari nilai RHS nya. Dalam kendala LP tak ada pembanding untuk persamaan ketiga dan keempat.

2.3.1.4 Kendala Non-Negatif

Dalam Linier Programming variabel-variabel bernilai lebih besar atau sama dengan nol. Demikian halnya dengan Goal Programming yang terdiri dari variabel keputusan dan variabel deviasi. Keduanya bernilai lebih besar atau sama dengan nol. Pernyataan non-negatif dilambangkan dengan :

, , 0

j i i

x d+ d− > .

2.3.1.5 Kendala Struktural

Disamping ketiga komponen yang dijelaskan sebelumnya, dalam Goal programming terdapat komponen lain yaitu kendala struktural. Kendala struktural adalah kendala-kendala lingkungan yang tidak berhubungan langsung dengan tujuan-tujuan masalah yang dihadapi. Variabel deviasi tidak dikatakan kendala struktural karena kendala struktural tidak diikut sertakan dalam fungsi tujuan.

2.3.2 Model Goal Programming

Goal programming merupakan pengembangan proses linier dan non linier, karena model pemograman linier biasa tidak mampu menyelesaikan masalah manajemen yang dikehendaki sasaran-sasaran tertentu secara simultan. Karena model goal programming merupakan perluasan dari model Program Linier, sehingga seluruh asumsi, notasi, formulasi model matematika, prosedur perumusan model dan penyelesaiannya tidak berbeda. Perbedaannya hanya terletak pada kehadiran sepasang variabel deviasional yang akan muncul di fungsi tujuan dan fungsi-fungsi kendala.

Goal programming berusaha untuk meminimumkan deviasi atau simpangan diantara berbagai tujuan atau sasaran yang telah ditetapkan sebagai targetnya, artinya nilai ruas kiri suatu persamaan kendala sebisa mungkin mendekati nilai ruas kanannya.

Dalam goal programming terdapat dua tipe kendala yaitu kendala teknologi (technological constraint) yang merupakan permasalahan kapasitas sumber dan kendala lainnya yang bukan terhadap tujuan, kendala tujuan (goal constraint) yang mewakili atau menggambarkan target dari objek-objek dalam urutan prioritas.

Jadi, bentuk umum dari goal programming adalah:

1

1

( )

m

i i i

i m

i i i i

i

Minimumkan Z W d d W d W d

+ −

=

+ + − −

=

= +

= +

∑

∑

Syarat ikatan:

1

1, 2,...,

n

ij j i i i

i

a X d d b

untuk i m

tujuan

− +

=

+ − =

=

∑

1

1, 2,...,

1, 2,...,

, , 0

n

kj j k

j

j i i

g X atau C

untuk k p

kendala fungsional

j n

dan

X d d

=

− +

≤ ≥

= =

≥

∑

dimana:

i

d+ dan d_i− = jumlah unit deviasi yang kekurangan (-) atau kelebihan (+) terhadap tujuan (b_i)

i

W+dan W_i− = bobot untuk masing-masing penyimpangan d_i+dan d_i−

ij

a = koefisien variabel keputusan

j

X = variabel keputusan

i

b = tujuan atau target yang diinginkan

kj

g = koefisien teknologi fungsi kendala biasa

k

C = jumlah sumber daya k yang tersedia

Model tersebut menyatakan tentang persoalan pengoptimuman yang dihadapi sebagai suatu usaha untuk meminimumkan jumlah agregat dari semua deviasi positif dan negatif yang individual dari tujuan yang telah ditetapkan. Dalam goal programming dapat dimasukkan satu atau lebih dari satu tujuan yang langsung berhubungan dengan fungsi tujuan dalam bentuk peubah-peubah deviasional.

Algoritma simpleks menjamin persyaratan non-negatif. Berhubung tidak dapat mencapai deviasi plus dan deviasi minus dari tujuan atau target yang ditetapkan secara sekaligus atau simultan, maka salah satu dari peubah deviasional atau kedua-duanya akan menjadi nol yang berarti target terpenuhi dengan sangat memuaskan. Hal ini berarti bahwa:

,

0 ,

i i i i

i

i i

l Z jika l Z d

jika l Z

−  − >

=

≤



dan

0 ,

,

i i

i

i i i i

jika l Z d

Z l jika l Z

+  ≥

=

− <



dimana:

i

l = target

i

Z = tujuan

2.3.3 Prioritas Tujuan

Dalam kenyataan semua fungsi tujuan tidak sama tingkat kepentingannya. Tujuan satu dengan yang lainnya dapat saling bertentangan (multiple and conflicting goals). Untuk memecahkan persoalan tersebut maka si pengambil keputusan harus menentukan mana dari antara berbagai tujuan tersebut yang diutamakan atau diprioritaskan.

Katakanlah tujuan yang paling penting ditentukan sebagai prioritas ke-1. Tujuan yang kurang begitu penting ditentukan sebagai ke-2, demikian seterusnya. Pembagiaan prioritas tersebut dikatakan sebagai pengutamaan (preemptive), yaitu mendahulukan tercapainya kepuasan pada sesuatu tujuan-tujuan atau prioritas-prioritas berikutnya. Jadi, harus disusun dalam suatu urutan (rangking) menurut prioritasnya.

Dalam perumusan Goal Programming faktor prioritas dinyatakan sebagai P_i(untuk i = 1,2,3,…,m). Faktor-faktor prioritas tersebut memiliki hubungan sebagai berikut:

1 2 ... i i1

P >>>P >>> >>>P >>>P₊

dimana >>> berarti “ jauh lebih tinggi dari pada”. Hubungan prioritas tersebut menunjukkan bahwa faktor prioritas P_i tersebut digandakan atau dikalikan

sebanyak n kali (dimana n > 0), namun faktor prioritas yang diprioritaskan tersebut akan tetap menjadi yang teratas.

2.4 Desain Quality Control System dengan Model Goal Programming

Sengupta mengusulkan sebuah model lexicographic Goal Programming QCS didalam industri kertas. Didalam konteks Quality Control input-input yang di proses untuk menghasilkan suatu output. Output ini telah memenuhi spesifikasi untuk sejumlah karakteristik kualitas. Diketahui bahwa rentang dari nilai masing-masing input akan diproses dan limit-limit dari variabel proses yang dapat beragam. Masalahnya adalah untuk menemukan suatu solusi dari setiap input dan variabel proses yang harus memenuhi setiap spesifikasi dari karakteristik-karakteristik output dari suatu kendala tertentu. Dalam kasus ini tidak terdapat suatu solusi optimal kemudian kita cari solusi terbaik dari sekumpulan solusi layak.

Anggap X1,...,Xl, l adalah banyaknya karekteristik input ; R1, ...,Rk, k

adalah banyknya variabel proses dan Y1,...,Yr, r adalah banyaknya karakteristik

output. Ada tiga tipe kemungkinan dari spesifikasi yaitu spesifikasi dua arah, spesifikasi satu arah, dan spesifikasi yang mendekati. Dalam kasus ini dianggap bahwa karekteristik output adalah fungi linier dari parameter-parameter input dan proses yang ditunjukan dibawah ini :

1 1

( ,..., ; ,..., ) 1, 2,...,

i i l k

Y =H X X R R untuk i= r

Dimana H adalah fungsi linier. Untuk memformulasikan masalah tersebut kedalam model Goal Programming, berikut adalah langkah-langkah mendasar yang sangat diperlukan :

(a) Memodifikasi bentuk spesifikasi : memodifikasi spesifikasi dua arah ke satu arah dengan mengurangi batas atas spesifikasi (USL) dengan batas bawah spesifikasi (LSL) dari setiap variabel. Semua variabel akan menjadi spesifikasi satu arah atau spesifikasi yang mendekati. Jelasnya setiap variabel-variabel tersebut hanya dapat bernilai non-negatif..

(b) Bentuki persamaan linier : Persamaan harus ditulis kembali kedalam

bentuk ' ' ' ' ' '

1 1

( ... ; ... )

i i l k

Y =H X X R R dimana Y X dan R_i', '_{j t}' adalah varaibel yang telah dimodifikasi.

Masalah yang dimodfikasi dapat kemudian dibuat sebagai berikut :

Untuk i = 1,2,...,r cari nilai-nilai dari X dan R'_{j t}'selanjutnya Y_i'yang diperoleh dengan memenuhi spesifikasi berdasarkan ( dalam bentuk batasan ) pada nilai-nilai dari X₁,...,X dan R_{l 1},...,R_k.

Selanjutnya melalui langkah-langkah yang mendasar diatas, Sengupta menganggap spesifikasi-spesifikasi inilah sebagai kendala goal dan faktor-faktor prioritas pre-emtive untuk variabel-variabel. Demikian masalah dikurangi untuk meminimalkan jumlah variabel-variabel deviasi goal untuk kendala tujuan dengan memberikan faktor-faktor prioritas. Selajutnya masalah umum proses kontrol diformulasikan sebagai masalah lexsicographic GP :

' ' ' ' ' '

1 1 1

( ) ( ) ( )

i i j j t t

r l k

Yi _{Y Y} Xj _{X X} Rt _{R R}

i j t

Min P δ+ δ− P δ+ δ− P δ+ δ−

= = =

+ + + + +

∑

∑

∑

Kendala:

Kendala goal Output

' '

' '

i i

i Y Y Yi

Y ₊δ+ ₋δ− ₌S _{(untuk i = 1,2,...,r)}

Kendala goal Input

' '

' '

j j

j X X Xi

X ₊δ+ ₋δ− ₌S _{(untuk j = 1,2,…,l)}

Kendala goal proses

' '

' '

t t

t R R Rt

R δ+ δ− S

+ − = (untuk t = 1,2,…,k) '_, ' ' ₀

i j t

Y X dan R ≥

Dimana: '

i

Y : karakteristik output yang telah dimodifikasi '

j

X : karakteristik input yang telah dimodifikasi '

t

R : parameter proses yang telah dimodifikasi '

i

Y

δ+ _{: deviasi positif output}

'

i

Y

δ−

'

j

X

δ+ _{: deviasi positif input}

'

j

X

δ− _{: deviasi negatif input}

'

t

R

δ+ _{: deviasi positif proses}

'

t

R

δ+ _{: deviasi negatif proses}

,

Yi Xj Rt

P P dan P adalah faktor prioritas

' ' '

,

Yi Xj Rt

S S dan S adalah limit spesifikasi yang dimodifikasi

2.5 Model Fuzzy Goal Programming

Bentuk klasik dari model multi objective programming adalah:

.

0

Max Ax s t Cx d

x

≤ ≥

………(2.6)

Dimana x adalah matriks (nx1) variabel keputusan, A adalah (mxn) matriks koefisien dari fungsi tujuan, C adalah (pxn) matriks koefisien dari kendala dan d adalah (px1) nilai RHS dari model.

Model (2.6) dapat diformulasikan sebagai masalah Fuzzy Goal Programming, di dalam pemaparan kasus ini dari informasi fuzzy yang mana himpunan tingkat aspirasi b0 dapat dibangun dengan menggunakan tabel pay-off

seperti berikut:

0

. ( )

0

Find x

s t Ax b or b Cx d

x

≅ ≤ ≥

∼

………..(2.7)

Dimana keduanya simbol ≅ (or b ∼

), merupakan tujuan yang dimaksud sehingga “ target seharusnya berada di sekitar b”.

Berdasarkan persamaan diatas, jika nilai RHS adalah fuzzy, model (2.7) dapat dituliskan sebagai

0

. ( )

0

Find x

s t Ax b or b Cx d

x

≅ ≅ < ≥

∼

……….(2.8)

dimana kendala persamaan fuzzy merupakan target yang diperoleh seharusnya berada disekitar bi, dan simbol

≅

< mengindikasikan kekaburan dari kendala dan dibaca sebagai “ pendekatan lebih kecil atau sama dengan”. Persamaan (2.7) dan (2.8) dapat diselesaikan dengan metode yang serupa jika fungsi keanggotaan yang serupa digunakan untuk memodelkan berdasarkan dunia nyata dari “fuzzy goal” dan “fuzzy equality”.

2.5.1 Fungsi Keanggotaan Fuzzy

Untuk menyelesaikan kembali persamaan fuzzy diatas, akan didapatkan fungsi keanggotaan mereka berdasarkan konsep yang dipilih si pembuat keputusan. Berdasarkan konsep yang dipilih tesebut maka fungsi keanggotaan fuzzy triangular yang digunakan untuk menentukan fungsi keanggotaan fuzzy dalam fuzzy goal programming.

Berikut adalah definisi sederhana dari fuzzy triangular:

Definisi 1. Misalkan A adalah himpunan fuzzy di S. A dikatakan bilangan fuzzy jika A adalah himpunan fuzzy normal, A adalah himpunan fuzzy konveks, A mempunyai support terbatas dan semua α -level dari A adalah interval tertutup di S.(Wang, 1997).

Bilangan fuzzy triangular A dinyatakan dengan A = (a,b,c) adalah himpunan fuzzy A di S yang fungsi keanggotaannya adalah:

( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) 0 , A x a

a x b b a

c x

b x c x

c b

x a dan x c µ −  ≤ ≤  ₋  −  ≤ ≤ = −    < > 

Dimana a,b,c ∈S

Berdasarkan definisi fuzzy triangular diatas maka fungsi keanggotaan untuk masalah fuzzy goal programming dapat diformulasikan dengan:

[( ) ( )]

( )

[( ) ( ) ]

( ) ( )

0 ( ) ( )

i i i

i i i i

i

i i i

i i i i i

i

i i i i i i

Ax b d

b d Ax b

d

b d Ax

x b Ax b d

d

b d Ax atau Ax b d µ

− −



− ≤ <

 

 _{− −}

= ≤ ≤ +



 _{+ < < −}

 

……..(2.9)

Untuk menyelesaikan Persamaan (2.8), berdasarkan persamaan (2.9) diberikan, Narasimhan mengemukakan dua sub-masalah yang hampir sama dengan linier goal programming standar sebagai berikut:

[( ) ( )]

max min

dim ( )

0

i i i

i

i i i i

Ax b d

d

ana b d Ax b x   _{− −}      

− ≤ <

≥

……….(2.10)

Dan

[( ) ( ) ]

max min

dim ( )

0

i i i

i

i i i i

b d Ax

d ana b Ax b d

x   _{− −}       ≤ ≤ + ≥ ………..(2.11)

max [( ) ( )] . ( ) [( ) ( ) ] ( ) [0,1] 0

i i i

i

i i i i

i i i

i

i i i i

Ax b d

s t

d

b d Ax b

b d Ax

d

b Ax b d

dan x α α α α − − ≥ − ≤ ≤ − − ≥ ≤ ≤ + ∈ ≥ ...……… (2.12)

Selanjutnya, kendala pertama dan kedua dari pesamaan (2.12) dapat diekspresikan sebagai berikut:

[( ) ]

1 i i

i

Ax b d

α ≤ + − dan ( i i) ( )i i

i i i

b d Ax b

d d d

−

≤ ≤ ………(2.13)

Perhatikan ( )i i

i i

Ax b

d d δ

+

= − , dimana adalah δ+ _{adalah taksiran berlebih, dan}

diperoleh: 1

i

α δ₊ + _{≤ dan} ( ) i

i

i i

b Ax

d δ d

+

− = ………..(2.14)

Sama dengan kendala ketiga dan keempat dari Persamaan (2.12) adalah ekivalen dengan :

1

i

α δ−

+ ≤ dan ( ) i

i

i i

b Ax

d δ d

−

+ = ………(2.15)

Kemudian Hannan mengkombinasikan (2.14) dan (2.15) untuk memperoleh model linier goal programming berikut yang ekivalen dengan dua sub-masalah Narasimhan sebagai berikut:

max ( ) . 1 , 0 0 [0,1] 0 i i i i i i i i i i i i Ax b s t d d dan x α δ δ

α δ δ

δ δ δ δ α − + − + − + − + + − = + + ≤ ≥ = ∈ ≥ ...(2.16)

2.5.2 Model Fuzzy Goal Programming untuk Pengendalian Kualitas

Berdasarkan formulasi goal programming Sengupta untuk proses kontrol secara umum. Sehingga untuk memformulasikan kembali model umum proses kontrol, akan diambil dari model Fuzzy Goal Programming yang diformulasikan oleh Hannan seperti yang dinyatakan sebelumnya. Kemudian Cherif (2008) memformulasikan kembali secara lebih lengkap sebagai berikut:

Maksimumkan : λ

Batasan :

Output

( 1, 2,..., )

i i

i i

i i

Y gy

y y untuk i m

y δ δ y

− +

+ − = =

∆ ∆

Input

( 1, 2,..., )

j j

j j

j j

X gx

x x untuk j l

x δ δ x

− +

+ − = =

∆ ∆

Proses

( 1, 2,..., )

1; 1;

t t

t t

t t

i i

j j

R gR

R R untuk t k

R R

y y

x x

δ δ

λ δ δ

λ δ δ

− +

− +

− +

+ − = =

∆ ∆

+ + ≤

+ + ≤

1;

, , , , , , , , , 0

t t

i i j j t t i j t

R R

y y x x R R Y X dan R

λ δ δ

λ δ δ δ δ δ δ

− +

− + − + − +

+ + ≤

≥

dimana:

λ adalah fungsi keanggotaan dalam hubungan dengan nilai tengah dari spesifikasi.

j

X : karakteristik input

t

R : parameter proses

i

Y : karakteristik output

i

y

δ + : deviasi positip output

i

y

j

x

δ + : deviasi positip input

j

x

δ − : deviasi negatip input

t

R

δ + : deviasi positip proses

t

R

δ − : deviasi negatip proses

• gy gx gR_i, _j, _t adalah nilai fuzzy (tingkat aspirasi / target) spesifikasi yang diberikan oleh pembuat keputusan.

Dengan cara mencari gy gx gR_i, _j, _t adalah sebagai berikut:

(

)

2

(

)

2

(

)

2

L U

yi yi

yi

L U

xj xj

xj

L U

Rt Rt

Rt

g

g

g

g

g

g

g

g

g

+

=

+

=

+

=

Dalam kasus ini, tipe interval spesifikasi masing-masing variabel adalah tertutup yaitu [gL,gU] dengan gU adalah limit atas spesifikasi (USL) dan

L

g adalah limit bawah spesifikasi (LSL).

• Parameter ∆y_i,∆x_j,∆R_t adalah konstanta deviasi yang berhubungan dengan

imprecise aspiration level gy gx dan gR_i, _{j t}. Dalam kasus spesifikasi fuzzy, nilai dari ∆dipilih secara subjektif oleh si pembuat keputusan. ∆ dapat dihitung dengan cara sebagai berikut:

L U

g g g g

∆ = − = −

Sebagai contoh : L U

yi gyi gyi gyi gyi

∆ = − = −

• Y_i =H X_i( _j,...,X R_i; _t,...,R_k) menyatakan hubungan input dan proses terhadap

2.6 Pengenalan Program Matlab versi 6

Perangkat lunak MATLAB aslinya dikembangkan untuk menjadi sebuah laboratorium matriks, yaitu perangkat lunak untuk memanipulasi matriks. MATLAB saat ini memiliki kemampuan jauh melewati MATLAB asli dan adalah sebuah sistem interaktif dan bahasa pemogramman untuk perhitungan ilmiah dan teknis umum. Elemen dasarnya adalah sebuah matriks.

Untuk memulai matalab, klik ikon MATLAB pada dekstop atau dalam barisan menu. MATLAB menggunakan beberapa window display. Diantaranya adalah command window (window perintah), graphics window (window grafik), dan edit window.

Untuk menyelesaikan berbagai manipulasi matriks digunakan command

window dengan menggunakan operator-operator MATLAB pada operasi matriks.

2.7 Pengenalan Program Lindo for windows

LINDO ( Linier, Interaktif, dan Discrete Optimizer) adalah suatu alat yang mudah, tangguh untuk memecahkan permasalahan linier, bilangan bulat, dan permasalahan pemogramman kuadratik. Permasalahan ini terjadi di dalam bidang-bidang untuk urusan ( bisnis, industri, riset dan pemerintahan).

Bidang-bidang aplikasi-aplikasi spesifik dimana LINDO sudah terbukti penggunaannya dalam memasukkan distribusi produk, campuran ramuan, penjadwalan produksi dan personil, manajemen inventori. Perangkat lunak LINDO dirancang bersifat sederhana untuk belajar dan untuk digunakan.

BAB 3

PEMBAHASAN

3.1 Penentuan Variabel dan Spesifikasi yang digunakan

Untuk menetukan variabel dan spesifikasi yang digunakan maka akan diambil contoh pengujian terhadap model fuzzy goal programming pada sebuah perusahaan tekstil.

Berikut adalah variabel yang digunakan:

• Variabel Input:

X1 = Moisture regain ( % )

X2 = Crimp

X3 = Staple length ( panjang serat )

X4 = Oil pick up ( kandungan minyak )

X5 = Nomor serat

• Variabel Proses : R1 = RH pada blowing

R2 = Temperatur pada blowing

R3 = Kecepatan motor (a) pada mesin blowing

R4 = Kecepatan motor (b) pada mesin blowing

R5 = Tekanan udara pada blowing

R6 = Tekanan terhadap material

R7 = Kecepatan mesin carding

R8 = RH mesin carding

R9 = Temperatur pada mesin carding

• Variabel Output:

Y1 = Nomor sliver (wrapping)

Y3 = Waste

Y4 = Nep

Y5 = Hard bit

Tabel 3.1 Spesifikasi Masing-masing Variabel

No Variabel Satuan Spesifikasi

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 Input

X1 = Moisture regain ( % ) X2 = Crimp

X3 = Staple length ( panjang serat ) X4= Oil pick up ( kandungan minyak ) X5 = Nomor serat

Proses

R1 = RH pada blowing R2 = Temperatur pada blowing

R3 = Kecepatan motor (a) pada mesin blowing R4 = Kecepatan motor (b) pada mesin blowing R5 = Tekanan udara pada blowing

R6 = Tekanan terhadap material R7 = Kecepatan mesin carding R8 = RH mesin carding

R9 = Temperatur pada mesin carding

Output

Y1 = Nomor sliver (wrapping) Y2 = Ketidakkaratan (unevennesess) Y3 = Waste

Y4 = Nep Y5 = Hard bit

(%)

(crimp per panjang serat) (mm)

(%) (denier)

(%) (0C) (RPM) (RPM) (pa) (pa) (RPM) (%) (0C)

(Ne) (U%) (%)

(nep per gram) (hard bit per gram)

0.3 – 1.0 10 – 20 38 – 40 0.1 – 0.3 1.38 – 1.44

62 – 68 26 – 30 10 – 25 120 – 150 540 – 550 50 – 60 100 – 150 60 – 66 27 – 31

0.109 - 0.113

≤5 ≤1.00

≤1.00

≤2.00

Sumber : Ria, Rosleni, Santosa, Budi dan Kurniati, Nani. 2008. Perancangan Sistem Pengendalian

Kualitas Menggunakan Model Fuzzy Goal Proggramming. Jurnal Teknik Industri Institut

Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya

3.2 Pengambilan Acak dari Masing-masing Variabel

Berdasarkan atas nilai-nilai spesifikasi yang diambil oleh si pembuat keputusan maka dapat diambil nilai-nilai dari masing-masing variabel. Karena masing-masing variabel dari X dan R merupakan variabel bebas maka variabel

R1,...R9 dapat dimuat dalam variabel X6,...,X14 yaitu: X6 = R1, X7 = R2, X8 = R3 , X9

= R4, X10 = R5, X11 = R6, X12 = R7, X13 = R8, X14 = R9.

Dari 10 observasi maka nilai-nilai dari masing-masing variabel adalah sebagai berikut:

Tabel 3.2 Nilai 14 variabel bebas Input dan 10 observasi:

N0 X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13 X14

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,5 0,4 0,6 0,7 0,3 0,5 0,9 1 0,8 0,6 11 15 13 17 19 13 12 18 16 17 38,5 39 39 40 39,5 38 38,5 40 39 38 0,15 0,2 0,1 0,3 0,17 0,25 0,3 0,15 0,18 0,2 1,39 1,4 1,38 1,42 1,43 1,38 1,4 1,43 1,38 1,38 62 63 64 65 67 65 66 67 63 64 26 28 30 27 27,5 26 28 27 29 30 11 20 22 15 16 19 21 24 22 20 125 129 130 140 145 137 122 149 150 130 541 549 540 542 544 548 546 550 543 547 51 56 58 51 55 54 56 59 60 50 101 120 125 140 130 137 145 133 136 141 60 65 64 63 62 63 65 64 61 65 29 30 28 29 30 30,5 28 27,5 31 29

Tabel 3.3 Nilai 5 variabel Output dengan 10 observasi

No Y1 Y2 Y3 Y4 Y5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,110 0,111 0,112 0,109 0,113 0,110 0,111 0,112 0,109 0,111 4 3 2 1 5 4 3 2 3 2 0,5 1 0,75 0,9 0,5 0,25 0,15 0,27 0,5 0,5 0,6 1 0,75 0,8 0,4 0,25 0,9 1 0,7 0,75 1,5 2 1,9 1,5 0,5 1 1,25 1,6 1,8 0,5

3.3 Pembentukan Variabel Output dalam bentuk Persamaan Regresi Linier

Berdasarkan model persamaan regresi linier berganda dibawah ini: 0 1 1 2 2 ... p1 p 1

Y=β +β X +β X + +β ₋ X ₋ +ε

dimana X X₁, ₂,...,X_p−1adalah konstanta dan β_jadalah parameter yang hendak diestimasi dan ε adalah nilai eror. Jika X_jadalah bervariasi dan ada sebanyak n buah dari Ydiobservasikan, didenotasikan sebagai:

1 2 ' ( , ,..., _n)

Y = Y Y Y

Maka untuk mengestimasi parameter β digunakan formulasi: 1

(X X' ) X Y'

β∧₌ −

Dalam menyelesaikan pengestimasian parameter β digunakan progam Matlab untuk mendapatkan estimasi β.

3.3.1 Estimasi parameter β menggunakan Matlab

Dengan menggunakan Command Window pada Matlab dapat diperoleh parameter β. Adapun langkah-langkah yang dapat diambil adalah: 1. Memasukkan nilai-nilai variabel X dalam bentuk matriks

2. Transpose matriks X dengan command _X'

3. Lalu kalikan _X' _{dengan X dengan command X}'_*X

4. Buat kedalam matriks segitiga atas dengan command triu(X'*X )

5. Masukkan nilai variabel Y1 dalam bentuk matriks kemudian kalikan dengan X transpose

6. Untuk persamaan Y1 estimasi parameter β dicari dengan command Y1=

inv(triu(X'*X ))*(X'*Y1)

7. Lakukan langkah 5 dan 6 kembali untuk masing-masing Y2,Y3,Y4dan Y5

Maka untuk semua nilai-nilai variabel input dan proses pada Tabel 3.2 dan nilai-nilai variabel output pada Tabel 3.3 dilakukan langkah-langkah diatas:

Langkah 1:

Berikut matriks X yang berisikan nilai-nilai variabel X

1 0.5 11 38.5 0.15 1.39 ... 29

1 0.4 15 39 0.2 1.4 30

1 0.6 13 39 0.1 1.38 28

1 0.6 17 38 0.2 1.38 ... 29

X

 

 

 

 

=

 

 

 

 

⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

Langkah 2:

Setelah matriks X ditranspose maka X' menjadi:

1 1 1 1

0.5 0.4 0.6 0.6

11 15 13 17

38.5 39 39 38

'

0.15 0.2 0.1 0.2

1.39 1.4 1.38 1.38

29 30 28 29

X

 

 

 

 

 

 

=_{ }

 

 

 

 

 

 

… ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

⋯

Langkah 3:

X transpose dikalikan dengan matriks X

'

X X =

10 6.3 151 389.5 2 13.99 646 278.5 190 1357 5450 550 1308 632 292 6.3 4.41 95.2 245.75 1.285 8.818 407.9 175.75 124 858.9 3434.7 349.3 835.9 398.9 182.75 151 95.2 2347 5892 30.11 211.56 9776 4211.5 2889 20672 82319 8313 19874 9548 4412.5 292 182.75 4412.5 11371.5 58.48 408.445 18857 8130.5 5539.5 39657 159140 16059.5 38190 18446.5 8538.5

 

 

 

 

 

 

 

 

Langkah 4:

Karena matriks X X' adalah simetris maka dapat hanya ditunjukan dalam bentuk matriks segitiga atas. Bentuk matriks X X' dalam matriks segitiga atas adalah:

triu(X'*X ) =

10 6.3 151 389.5 2 13.99 646 278.5 190 1357 5450 550 1308 632 292 4.41 95.2 245.75 1.285 8.818 407.9 175.75 124 858.9 3434.7 349.3 835.9 398.9 182.75

2347 5892 30.11 211.56 9776 4211.5 2889 20672 82319 8313 19874 9548 4412.5 15175.75 77.86 545.02 25166.5 10846.25 7402 52894 212275.5 21430 50949 24615.5 11371.5 0.4388 2.7995 129.43 55.445 37.68 270.4 1090.47 109.25 266.13 126.67 58.48

19.5759 903.98 389.515 256.73 1899.23 7624.69 769.49 1830.1 884.18 408.445 41758 17987.5 12292 87722 352090 35541 84610 40836 18857

7775.25 5319 37780.5 151775 15328.5 36478 17611 8130.5 3748 25876 103609 10540 25093 12045 5539.5 185045 739604 74775 177811 85712 39657 2970360 299765 712992 344471 159140

30360 71968 34763 16059.5 172586 82769 38190

39970 18446.5 8538.5                                                 Langkah 5:

1. Matriks Y1 Matriks X transpose dikalikan dengan matriks Y1

1 1 1.108 0.6975 16.74 0.110 43.158 0.111 0.22123 0.112 1.55019 0.109 71.588 0.113 ' 30.8615 0.110 21.064 0.111 150.354 0.112 603.869 0.109 60.95 0.111 144.916 70.033 32.348

Y X Y

                         =  =                                                   _

2. Matriks Y2 Matriks X transpose dikalikan dengan matriks Y2 2 2 29 16.9 433 4 1127 3 5.69 2 40.57 1 1874 5 ' 801.5 4 536 3 3934 2 15806 3 1596 2 3743 1824 853

Y X Y

                                    =  =                                         

3. Matriks Y3 Matriks X transpose dikalikan dengan matriks Y3

3 3 5.32 3.11 81.46 0.5 207.825 1 1.043 0.75 7.4441 0.9 341.74 0.5 ' 149.04 0.25 98.88 0.15 720.28 0.27 2896.7 0.5 291.23 0.5 685.66 336.48 155.85

Y X Y

                                    =  =                                        

4. Matriks Y4 Matriks X transpose dikalikan dengan matriks Y4 4 4 7.15 4.775 108.55 0.6 279.1 1 1.4315 0.75 10.013 0.8 461.75 0.4 ' 200.2 0.25 139.55 0.9 967.05 1 3898.55 0.7 395.3 0.75 937.05 453.9 207.375

Y X Y

                                    =  =                                        

5. Matriks Y5 Matriks X transpose dikalikan dengan matriks Y5

5 5 13.55 8.855 200.3 1.5 528.925 2 2.639 1.9 18.944 1.5 871.7 0.5 ' 377.65 1 262.05 1.25 1837.9 1.6 7381.9 1.8 754.1 0.5 1750.35 856.05 395

Y X Y

                                    =  =                                         

Langkah 6:

1. Estimasi parameter β untuk persamaan Y1

1 0.00057161 0.00094378 0.00000296 0.00000833 0.00163473 0.00002081 0.00000028 0.00000666 0.00001643 0.00000068 0.00000003 0.00000034 0.00000042 0.00000371 0.00378848 y β −       ₋      ₋    −       = −     −  −    −               

2. Estimasi parameter β untuk persamaan Y2

2 0.17869213 0.23038048 0.00181823 0.00121364 0.26881582 0.00117582 0.00035965 0.00181805 0.00360342 0.00002635 0.00000292 0.00072054 0.00019259 0.00047069 0.09990045 y β     −   ₋      ₋    −       =   −  ₋  −    −  ₋              

0 0 7775.25 5319 37780.5

0 0 0 3748 25876

0 0 0 0 185045

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

Columns 11 through 15 5450 550 1308 632 292

3434.7 349.3 835.9 398.9 182.75 82319 8313 19874 9548 4412.5 212275.5 21430 50949 24615.5 11371.5 1090.47 109.25 266.13 126.67 58.48 7624.69 769.49 1830.1 884.18 408.445 352090 35541 84610 40836 18857

151775 15328.5 36478 17611 8130.5 103609 10540 25093 12045 5539.5 739604 74775 177811 85712 39657

2970360 299765 712992 344471 159140

0 30360 71986 34763 16059.5 0 0 172586 82769 38190 0 0 0 39970 18446.5 0 0 0 0 8538.5 >> Y1 = [0.110;0.111;0.112;0.109;0.113;0.110;0.111;0.112;0.109;0.111]

Y1 =

0.11 0.111 0.112 0.109 0.113 0.11 0.111 0.112 0.109 0.111 >> X'*Y1 ans =

1.108 0.6975 16.74 43.158 0.22123 1.55019 71.588 30.8615 21.064 150.354 603.869 60.95 144.916

70.033 32.348

>> Y2 = [4;3;2;1;5;4;3;2;3;2] Y2 =

4

3

2

1

5

4

3

2

3

2

>> X'*Y2 ans = 29

16.9 433

1127

5.69 40.57 1874

801.5 536

3934

15806

1596

3743

1824

853

>> Y3 = [0.5;1;0.75;0.9;0.5;0.25;0.15;0.27;0.5;0.5] Y3 = 0.5 1 0.75 0.9 0.5 0.25 0.15 0.27 0.5 0.5 >> X'*Y3 ans =

5.32 3.11

81.46 207.825 1.043 7.4441 341.74 149.04 98.88 720.28 2896.7 291.23 685.66 336.48 155.85

>> Y4 = [0.6;1;0.75;0.8;0.4;0.25;0.9;1;0.7;0.75] Y4 =

0.6 1 0.75 0.8 0.4 0.25 0.9 1 0.7 0.75 >> X'*Y4 ans =

7.15 4.775 108.55 279.1 1.4315 10.013 461.75 200.2 139.55 967.05 3898.55 395.3 937.05 453.9 207.375

>> Y5 = [1.5;2;1.9;1.5;0.5;1;1.25;1.6;1.8;0.5] Y5 =

1.5 2 1.9 1.5 0.5 1

1.25 1.6 1.8 0.5 >> X'*Y5 ans =

13.55 8.855 200.3 528.925 2.639 18.944 871.7 377.65 262.05 1837.9 7381.9 754.1 1750.35 856.05 395

>> Y1 = inv(triu(X'*X))*(X'*Y1) Y1 =

-0.00057161775995566 0.000943787714907517 -2.96448128142607e-006 8.33355116488762e-006 -0.00163473875445165 -2.08173316207437e-005 2.80629398722393e-007 -6.66306474284408e-006 1.6433960952079e-005 -6.86613419901186e-007 -3.65732458051718e-008 3.43601238485572e-007 -4.29875744620417e-007 3.71945088698845e-006 0.00378848743924577 >> Y2 = inv(triu(X'*X))*(X'*Y2) Y2 =

0.1786921396198 -0.2303804832073 -0.00181823512556373 0.0012146435827129 -0.268881582093994 -0.00117582986689242 0.000359650197697857 0.00181805780496711 -0.00360342159270351 -2.63548748917856e-005

-2.92598763807105e-006 0.000720541820237749 -0.000192595514612853 -0.000470694708681565 0.0999004508988698 >> Y3 = inv(triu(X'*X))*(X'*Y3) Y3 =

0.0301505132854562 -0.0589217288607428 0.000352181750796179 0.000300774450189141 -0.051248892059448 0.00212488117346232 -9.39545447024449e-005 0.000490901708997813 -0.000460439462896673 -8.44130863938942e-006 3.65807087328733e-006 9.42512689953235e-005 -6.34946779504098e-005 -5.42816493408725e-006 0.0182526204836915 >> Y4 = inv(triu(X'*X))*(X'*Y4) Y4 =

-0.0424823280206416 0.0623506183695772 0.000101202023080769 4.28487473232614e-005 -0.00417631484713795 0.000610881014686364 -6.08395262499606e-005 -0.000566100872377163 0.00118976361702373 -2.39809924328624e-005 -6.26011636718925e-006 4.12652620147904e-005 -1.54538094620101e-005 0.000147332530492324 0.0242870527610236 >> Y5 = inv(triu(X'*X))*(X'*Y5) Y5 =

-0.0503345640892977 0.125620658386518 -0.00211556096524474 0.000941529693385722 -0.164278362184614 0.00323367713936911 -9.92873977644663e-005 -0.00085896832999477 0.00141488319268614

-9.04637511676417e-006 -3.03597326267369e-005 0.000592163181136388 -0.00012713294858074 6.74377804199891e-005 0.0462610528781402