untuk setiap pasangan bilangan real , .
Jika dan variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas bersama , dan fungsi distribusi dari masing-masing variabel dan adalah
dan ℎ
, maka dan saling bebas jika dan hanya jika ,
= ℎ
untuk semua pasangan bilangan real , .
Jika dan variabel acak kontinu dengan fungsi densitas bersama ,
dan fungsi fungsi distribusi dari masing-masing variabel dan adalah
dan ℎ
, maka dan saling bebas jika dan hanya jika ,
= ℎ
untuk semua pasangan bilangan real , .
Contoh 2.10
Pada contoh 2.8 variabel acak dan tidak saling bebas sebab berdasarkan definisi 2.14 dan saling bebas jika
, =
ℎ untuk setiap pasangan bilangan
real , . Pasangan bilangan real , diperoleh
= , ℎ = , dan
ℎ =
× =
≠ , =
.
B. Nilai Harapan
Definisi 2.15 Nilai Harapan atau Mean Rata-rata
Diberikan variabel acak dengan distribusi probabilitas yang diketahui. Mean atau nilai harapan dari adalah:
= = ∑
; jika adalah variabel acak diskrit,
= = ∫
∞ −∞
; jika adalah variabel acak kontinu.
Contoh 2.11
Diberikan 7 sampel dengan 4 sampel tergolong tidak rusak dan 3 sampel lainnya tergolong rusak. Bila dilakukan pengambilan 3 sampel secara acak, tentukanlah
nilai harapan terpilihnya sampel yang tidak rusak dari pengambilan tersebut. Andaikan variabel acak yang menunjukkan banyaknya komponen yang tidak
rusak pada sampel. Fungsi probabilitas distribusi dari adalah =
−
, = , , ,
sehingga diperoleh =
, =
, =
, nilai harapan adalah
= =
+ +
+ =
= . jadi nilai harapan dari terpilihnya sampel yang tidak rusak dari pengambilan
tersebut adalah . .
Contoh 2.12
Diberikan variabel acak yang mewakili masa hidup elektronik dalam jam dengan fungsi densitas sebagai berikut:
, = {
, ,
lainnya Tentukanlah nilai harapan
. Menurut definsi nilai harapan diperoleh:
= = ∫
= ∫ =
.
∞ ∞
Nilai harapan dari adalah .
Definisi 2.16 Nilai Harapan Fungsi Variabel Acak
Diberikan variabel acak dengan distribusi probabilitas dan
adalah fungsi yang bernilai real dari
. Nilai harapan adalah:
= [ ] = ∑
; jika adalah variabel acak diskrit,
= [ ] = ∫
∞ −∞
; jika adalah variabel acak kontinu.
Lemma 2.1
Diberikan suatu konstanta tak nol maka = .
Bukti: Untuk variabel acak diskrit,
= ∑ = ∑
= = .
Untuk variabel acak kontinu, = ∫
= ∫ = .
∎ lainnya.
Lemma 2.2
Diberikan suatu konstanta tak nol maka =
. Bukti:
Untuk variabel acak diskrit, = ∑
= ∑ =
. Untuk variabel acak kontinu,
= ∫ = ∫
= .
∎
Teorema 2.1
Diberikan , suatu konstanta,
+ =
+
.
Bukti: Berdasarkan Definisi 2.16 diperoleh sebagai berikut:
untuk variabel acak diskrit, + = ∑
+
= ∑ +
= ∑ + ∑
= + .
Untuk variabel acak kontinu, + = ∫
+
∞ −∞
= ∫ + ∫
∞ −∞
∞ −∞
= + .
∎
Teorema 2.2 Nilai Harapan dari Jumlahan Dua atau Lebih Fungsi Variabel Acak
Nilai harapan dari jumlahan dua atau lebih fungsi variabel acak adalah [
+ ℎ ] = [
] + [ℎ ].
Bukti: Menurut Definisi 2.16 diperoleh sebagai berikut:
untuk variabel acak diskit
,
[ + ℎ
] = ∑[ + ℎ
]
= ∑[ + ℎ
]
= ∑ + ∑ ℎ
= [ ] + [
].
Untuk variabel acak kontinu, [
+ ℎ ] = ∫ [
+ ℎ ]
∞ −∞
= ∫ + ∫ ℎ
∞ −∞
∞ −∞
= [ ] + [ℎ
]. ∎
Teorema 2.3 Nilai Harapan dari Selisih Dua atau Lebih Fungsi Variabel Acak
[ − ℎ
] = [ ] − [ℎ
]. Bukti:
Menurut Definisi 2.16 diperoleh: untuk variabel acak diskrit
,
[ − ℎ
] = ∑[ − ℎ
]
= ∑[ − ℎ
]
= ∑ − ∑ ℎ
= [ ] − [
].
Untuk variabel acak kontinu, [
− ℎ ] = ∫ [
− ℎ ]
∞ −∞
= ∫ − ∫ ℎ
∞ −∞
∞ −∞
= [ ] − [ℎ
]. ∎
Contoh 2.13
Diberikan variabel acak dengan fungsi probabilitas sebagai berikut: Tabel 2.3 Fungsi probabilitas dari variabel acak
. 1
2 3
Carilah nilai harapan =
− .
Jawab: Dengan menggunakan Teorema 2.1, Teorema 2.2 dan Teorema 2.3 fungsi
= −
dapat ditulis sebagai berikut: [ −
] = −
+ =
− +
, = ,
= + + + = ,
= + + + = ,
Jadi, nilai harapan =
− adalah
[ − ] = −
+ = .
Teorema 2.4 Nilai Harapan dari Perkalian Dua atau Lebih Variabel Acak
Diberikan variabel acak dan yang saling bebas. Nilai harapan dari perkalian variabel acak tersebut adalah
= .
Bukti: Menurut Definisi 2.14 dan Definisi 2.16 untuk
, diskrit diperoleh, = ∑ ∑
ℎ
= ∑ ∑ ℎ
= ∑ ∑ ℎ
= ∑
= .
Menurut Definisi 2.14 dan Definisi 2.16 untuk , kontinu diperoleh,
= ∫ ∫
∞ −∞
∞ −∞
ℎ
= ∫ [∫
ℎ
∞ −∞
]
∞ −∞
= ∫
∞ −∞
= ∫
∞ −∞
= .
∎ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
C. Variansi
