Dari persamaan 3.4 dipilih � = sehingga diperoleh:
� =
� =
+
−
, dengan syarat awal
� = ,
� =
−
. Untuk menunjukkan
� =
�
−
menggunakan induksi matematis. Asumsikan benar untuk
� − diperoleh: �
−
=
− −
� − , dari persamaan 3.4 diperoleh:
� =
−
� − �
= � +
� =
� +
−
karena �
= � = � = maka � =
−
�
. ∎
E. Waktu antar kedatangan
Berdasarkan proses membilang {
, },
menyatakan banyaknya kedatangan sampai waktu . Kedatangan tersebut dapat terjadi dalam interval
, ]. Andaikan adalah waktu terjadinya kedatangan pertama, dalam hal ini
= dan
= untuk lalu adalah waktu terjadinya kedatangan ke-2 maka PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
= dan = untuk
. Kedatangan selanjutnya dilanjutkan dengan cara yang sama. Jadi
+
− adalah panjang waktu diantara saat terjadinya kedatangan ke-
� + setelah kedatangan ke-�. Panjang selang inilah yang disebut waktu antar kedatangan.
Definisi 3.8
Misalkan menyatakan interval waktu dari kedatangan pertama. Untuk
, misalkan
adalah interval waktu antara kejadian ke- − dan kejadian ke-
maka { ,
= , , , . . . } adalah barisan waktu antar kedatangan atau waktu antar kejadian.
Definisi 3.9 Waktu Tunggu
Waktu tunggu sampai waktu kedatangan ke- adalah
= +
+ ⋯ + . .
= Gambar 3.5 Ilustrasi waktu tunggu.
Teorema 3.3 Waktu Antar Kedatangan
Waktu antar kedatangan , � = , , , …. dari suatu proses Poisson adalah saling
bebas dan berdistribusi Eksponensial dengan parameter . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Bukti: �
= − � = − �{
= } = −
−
. Fungsi distribusi kumulatif dari
adalah = −
−
oleh karena fungsi peluang
adalah turunan dari fungsi distribusi kumulatif , maka fungsi
peluang dapat diperoleh dengan cara berikut:
=
= −
−
=
−
untuk .
Jadi waktu antar kedatangan berdistribusi Eksponensial dengan parameter .
Untuk diperoleh dari peluang bersyarat dari kejadian pertama saat waktu .
� | = = − �
| = = − �
+ − = | =
= − � + −
= Kenaikan bebas = − �
= Kenaikan stasioner
= −
−
= .
= � | = diatas tidak tergantung pada
sehinga berdistribusi Eksponensial secara rekrusif dapat ditunjukkan bahwa
saling bebas dan berdistribusi Eksponensial.
∎ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Menurut Definisi 3.5 dan Definisi 3.7, untuk proses Poisson berdistribusi Poisson dengan parameter
dan berdasarkan Teorema 3.3 , � =
, , … berdistibusi Eksponensial dengan parameter pada Persamaan 3.5 diperoleh waktu tunggu
dengan = .
Teorema 3.4
Andaikan , � = , , … . saling bebas dan berdistribusi Eksponensial maka
waktu tunggu berdistribusi
Gamma. Bukti:
Akan dibuktikan bahwa berdistribusi Gamma.
Diberikan , , … ,
berdistribusi Eksponensial dengan = . Nilai harapan dari , , … , adalah
= = ⋯ =
= . Berdasarkan Teorema 21.6, fungsi pembangkit momen dari
, , … , adalah
�
= −
.
Berdasarkan definisi waktu tunngu, =
+ + ⋯ + dan Teorema 2.6
diperoleh:
�
�
= −
× −
× … −
sebanyak � kali
= −
3.6 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Pari Persamaan 3.6 diperoleh hasil yang sama dengan fungsi pembangkit momen distribusi Gamma pada Teorema 2.13 dengan
= dan = �, dan menurut Teorema 2.7,
berdistribusi Gamma. ∎
F. Hubungan Antara Distribusi Posisson dengan Distribusi Eksponensial
