BAB II TEKNIK INTEGRAL
Beberapa macam teknik pengintergralan digunakan untuk menentukan antiturunan bermacam-macam fungsi. Hal ini bertujuan untuk memudahkan dalam menentukan selesaian
integral fungsi yang ditentukan. Agar teknik-teknik pengingtegralan dipahami oleh pembaca maka dalam bab ini dirincikan metode pengintegralan dimaksud dengan syarat-syarat yang
ditentukan.
A. METODE SUBSTITUSI
Metode substitusi disebut juga metode pemisalan. Pada umumnya digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu;
a.
n
x
dx =
1
1
n x
n
+ C, asalkan n
-1 atau
b.
dx x
f x
f
n
=
1
1
n x
f
n
+ C, asalkan n
-1 Sehingga rumus di atas adalah pedoman umumnya, jika integrannya belum sesuai
dengan tanda integralnya atau menyimpang dari bentuk di atas maka sedapat mungkin diubah terlebih dahulu. . Dengan demikian menyederhanakan integran menjadi bentuk baku adalah
dengan mengaplikasikan rumus dasar integral tidak tentu tersebut di atas. Akhirnya selesaiannya dapat dilakukan dengan metode substitusi pemisalan.
Perhatikan beberapa contoh beriktu: 1.
x
1
dx Misal u =
x
1
x u
1
2
1
2
x d
u d
dx udu
2
Substitusi bentuk terakhir ke
x
1
dx, diperoleh
du
u u
2
= -2
du u
2
Dengan rumus dasar di dapat
x
1
dx = -2
du u
2
= -2
C u
3
3
= -
C x
3
1 3
2
2.
dx
x
11
12 3
Misal A = 3x + 12 dA = d3x+12
dA = 3 dx dx =
3 dA
Sehingga
dx
x
11
12 3
=
3
11
dA A
=
dA A
11
3 1
=
C A
12
3 1
12
=
C A
12
36 1
=
C x
36 12
3
12
3.
x Cos 2
2
dx
Kalkulus Integral
2
Misal A = 2x dA = d2x
dA = 2 dx dA =
2 dx
x Cos 2
2
dx =
2 cos
2
dA A
=
AdA
2
cos 2
1
=
dA
A 2
2 cos
1 2
1
=
AdA
dA 2
cos 4
1 4
1
=
C A
A
8
2 sin
4
=
C x
x
8
4 sin
4 2
=
C x
x
8
4 sin
2
Soal-soal Tentukan pengintegralan berikut:
1.
4
3t tdt
Kalkulus Integral
3
2.
2 2
16 x
dx x
3.
9
2
x x
dx
4.
dx
x x
2 3
2 3
5.
dx
x x
16
2
6.
dx x
3 sin
7.
dx
x 4
2 cos
8.
dx
x x
1 sin
2
9.
dx
x x
1 cos
3 2
10.
dx
x x
7 12
2
3
B. INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
Beberapa rumus dasar Integral fungsi Trigonometri adalah:
1.
x sin
dx = -cos x + C
2.
x cos
dx = sin x + C
3.
tgn
x dx = ln
C x
sec
4.
ctgn
x dx = - ln
C x
csc
5.
x sec
dx = ln
C x
x
tan
sec
6.
sec c
x dx = ln
C x
x
cot
csc
Kalkulus Integral
4
Bentuk di atas adalah rumus dasar yang dapat dijadikan sebagai acuan. Bebarapa bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas dalam bagian ini adalah:
a.
, sin xdx
m
dan
xdx
m
cos
Jika m bulat positip dan ganjil, maka m dibuat menjadi genap. Selanjutnya gunakan kesamaan identitas
1 cos
sin
2 2
x x
. Contoh:
1.
xdx
3
sin
Jawab
xdx
3
sin
=
x x sin
sin
2
dx =
cos cos
1
2
x d
x
=
cos cos
cos 1
2
x d
x d
= -cos x +
C x
3
cos 3
1
2.
dx x
5
cos
Jawab
dx x
5
cos
=
xdx x cos
cos
4
=
sin
sin 1
2 2
x d
x
=
sin sin
sin 2
1
4 2
x d
x x
=
sin sin
sin sin
2 sin
1
4 2
x xd
x xd
x d
= sin x -
C x
x
5 3
sin 5
1 sin
3 2
Kalkulus Integral
5
3.
dx x
2 sin
5
Jawab: Misal u = 2x, du = 2dx atau dx =
2 du
Sehingga
2
sin 2
sin
5 5
du u
dx x
=
udu
5
sin 2
1
=
udu u sin
sin 2
1
4
=
cos cos
1 2
1
2 2
u d
u
=
cos
cos cos
2 1
2 1
4 2
u d
u u
=
C u
u u
5 3
sin 10
1 sin
3 1
cos 2
1
=
C x
x x
2 sin
10 1
2 sin
3 1
2 cos
2 1
5 3
Pada bentuk
xdx
m
cos
,
dx
m
sin
, jika m bilangan bulat positip genap untuk menyele- saikannya menggunakan kesamaan setengah sudut
sin
x
2
=
2 2
cos 1
x
dan cos
2 2
cos 1
2
x x
Contoh: 1.
xdx
2
sin
Karena pangkatnya genap, gunakan kesamaan setengah sudut, maka
xdx
2
sin
=
dx
x 2
2 cos
1
Kalkulus Integral
6
=
xdx
dx 2
cos 2
1 2
1
=
C x
x
4
2 cos
2
2.
xdx
4
cos
Jawab
xdx
4
cos
=
dx x
2
2 2
cos 1
=
dx x
x
2 cos
4 1
2 2
cos 4
1
2
3.
xdx 2
sin
4
Misal u = 2x , du = 2dx atau dx =
2 du
, sehingga
xdx 2
sin
4
=
2 sin
4
du u
=
du u
2
2 2
cos 1
2 1
=
du u
u 2
cos 2
cos 2
1 4
1 2
1
2
=
C u
u u
u u
2 1
2 2
cos 2
sin 2
1 .
8 1
2 sin
8 1
8
Karena u = 2x, maka
xdx 2
sin
4
=
C x
x x
x x
2 32
1 2
2 cos
2 2
sin 32
1 2
2 sin
8 1
8 2
b.
xdx x
n m
cos sin
Kalkulus Integral
7
Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, sedangkan lainnya sebarang bilangan, maka faktorkan sin x atau cos x dengan menggunakan kesamaan identintas
1 cos
sin
2 2
x
. Jika m dan n genap maka digunakan kesamaan setengah sudut
sin
x
2
=
2 2
cos 1
x
dan cos
2 2
cos 1
2
x x
Contoh 1.
xdx x
2 3
cos sin
Karena m ganjil, maka
dx x
x
2 2
cos sin
sin
=
xdx
x x
sin cos
cos 1
2 2
=
cos cos
cos
4 2
x d
x x
=
C x
x
5 3
cos 5
1 cos
3 1
2.
xdx x
2 2
sin cos
Kedua pangkat bilangan genap, sehingga diperoleh:
xdx x
2 2
sin cos
=
dx x
x 2
2 cos
1 2
2 cos
1
=
dx
x 2
cos 1
4 1
2
=
dx x
2 4
cos 1
1 4
1
=
dx
x 2
4 cos
2 1
4 1
= C
x x
4 sin
8 1
2 4
1
Kalkulus Integral
8
= c.
, tan xdx
n
dan
dx x
n
cot
Dalam kasus ini gunakan kesamaan identitas 1 +
x x
tgn
2 2
sec
dan 1+ctgn
x c
x
2 2
cos
, jika m genap. Jika m ganjil jadikan genap dan gunakan kesamaan di atas.
Perhatikan contoh berikut: 1.
xdx tgn
3
Karena pangkat m ganjil maka diubah dalam bentuk perkalian yang salah satunya genap, selanjutnya gunakan kesamaan identitas
1 +
x x
tgn
2 2
sec
Sehingga diperoleh
xdx tgn
3
=
x tg
2
tgnx dx =
1
sec
2
x
tgn x dx =
x
2
sec
tgn x dx -
tgn x dx =
tgnx sec
x
2
dx – ln secx + C =
tgnx
dtgn x – ln sec x + C =
C x
x tgn
lnsec 2
1
2
2.
xdx ctgn
4
Karena pangkat m adalah genap, maka langsung gunakan kesaman identintas 1+ctgn
x ec
x
2 2
cos
, sehingga didapat
xdx ctgn
4
=
dx
x ctg
2 2
1
=
dx x
ctgn x
ctgn 1
2
2 4
Kalkulus Integral
9
=
dx x
ctgn x
ctgn x
ctgn 1
2
2 2
2
=
dx x
c x
ctgn x
ec 1
1 sec
2 1
cos
2 2
2
=
1 1
cos 3
2 2
ec ctgnx
xd ctgn
dx =
C x
ctgnx x
ctgn
4 3
3 1
3
. 4.
xdx x
n m
sec tan
, dan
xdx x
n m
csc cot
Pada kasus ini, jika m atau n genap, sedangkan lainnya sebarang, maka digunakan kesamaan 1 + tgn
x x
2 2
sec
atau 1 + ctg
x
2
= cosec
x
2
. Contoh
1.
dx x
x tgn
4 5
sec
Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka dapat digunakan kesamaan 1 + tgn
x x
2 2
sec
, sehingga diperoleh
dx x
x tgn
4 5
sec
=
dx x
x x
tgn
2 2
5
sec sec
=
dx x
x tgn
x tgn
2 2
5
sec 1
=
7 5
x tgn
x tgn
dtgnx =
C x
tgn x
tgn
8 6
8 1
6 1
2.
xdx x
tgn
2 3
sec
=
x tgn
3
dtgnx Selain kasus di atas, integral fungsi trigonometri
xdx x
n m
sec tan
, dan
xdx x
n m
csc cot
Mempunyai bentuk m ganjil, n sebarang. Jadi pangkat menjadi genap. Selanjutnya gunakan rumus kesamaan identitas.
Kalkulus Integral
10
Contoh: 1.
xdx x
tgn
3 3
sec
=
xdx x
xtgnx tgn
sec sec
2 2
=
sec sec
2 2
x d
x tgn
=
sec sec
1 sec
2 2
x d
x x
=
sec sec
sec
2 4
x d
x x
=
C x
x
3 5
sec 3
1 sec
5 1
2.
xdx x
tgn
2 1
3
sec
=
x tgn
2
tgn x sec
x
2 3
sec x dx =
x
2
sec
-1sec
x
2 3
dsec x =
x
2 1
sec
sec
2 3
x
dsecx =
x x
2 1
2 3
sec 2
sec 3
2
+ C
5.
nxdx mx cos
sin
,
, sin
sin nxdx
mx
nxdx mx cos
cos
Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus kesamaan hasil kali, yaitu:
sin mx cos nx =
] sin
[sin 2
1 x
n m
x n
m
sin mx sin nx =
] cos
[cos 2
1 x
n m
x n
m
cos mx cos nx =
] cos
[cos 2
1 x
n m
x n
m
Kalkulus Integral
11
Contoh 1.
sin
3x cos 4x dx =
]
4 3
sin 4
3 [sin
2 1
x x
dx
=
x 7
sin 2
1
+ sin -x dx
=
x 7
cos 14
1
-
cos 2
1
x + C
2.
x x
2 sin
3 sin
dx =
] 2
3 cos
2 3
[cos 2
1 x
x
dx
=
2
1
cos 5x – cos x dx
=
sin 10
1
5x +
sin 2
1
x + C
3.
cos
y cos 4y dy =
y
4 1
[cos 2
1
+cos1-4y] dy
=
] 3
cos 5
[cos 2
1 y
x
dy
=
C y
y
3
sin 6
1 5
sin 10
1
Soal-soal Tentukan hasil integral berikut ini.
1.
dx x
4 sin
3
2.
dx x
3 cos
4
3.
dx x
x 2
cos 2
sin
4 2
Kalkulus Integral
12
4.
dx x
x
4
csc cot
5.
xdx tgn
6
6.
xdx x
3 2
1
cos 3
sin
7.
xdx x
2 sec
2 cot
2
8.
dt t
t 2
cos 2
sin
3
9.
dx
x x
2
cot tan
10.
xdx x sin
3 sin
11.
ydy 4
csc
4
12.
qdq q
2 4
sec tan
13.
xdx x
3 sin
2 cos
14.
dx x
3 cot
4
15.
zdz z
3 2
1
cos sin
C. SUBSTITUSI FUNGSI TRIGONOMETRI
Kategori