4.
dx x
x
4
csc cot
5.
xdx tgn
6
6.
xdx x
3 2
1
cos 3
sin
7.
xdx x
2 sec
2 cot
2
8.
dt t
t 2
cos 2
sin
3
9.
dx
x x
2
cot tan
10.
xdx x sin
3 sin
11.
ydy 4
csc
4
12.
qdq q
2 4
sec tan
13.
xdx x
3 sin
2 cos
14.
dx x
3 cot
4
15.
zdz z
3 2
1
cos sin
C. SUBSTITUSI FUNGSI TRIGONOMETRI
Metode substitusi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan integral suatu fungsi, jika integrannya memuat bentuk-bentuk:
a.
2 2
x a
, a
Real b.
2 2
a x
=
2 2
x a
, a
Real c.
2 2
a x
, a
Real
Kalkulus Integral
13
atau bentuk lain yang dapat dimodifikasi menjadi bentuk di atas, misalnya
,
2 2
x b
a
c bx
ax
2
dan seterusnya. Bentuk integral yang integrannya memuat
2 2
x a
atau modifikasinya, selesaiannya
menggunakan substitusi x = a sin t, -
2
2
t
sehingga,
2 2
x a
= a sec t dan dx = a cos t dt. Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini: 1.
2
4 x
dx Jawab
Misal x = 2 sin t
sin t =
2 x
dx = 2 cos t dt
2
4 x
=
t t
cos 2
sin 4
4
2
Sehingga
2
4 x
dx =
tdt t
cos 2
. cos
2
=
tdt t cos
cos 4
= 4
tdt
2
cos
= 4
2 cos
sin t
t
-
C t
2 1
= 2 sint cost – 2t + C = 2
2 x
2 4
2
x
+ C
Kalkulus Integral
14
=
C x
x
2
4
2
2.
2
4 x
x dx
Jawab
2
4 x
x dx
=
2
2 4
x dx
Misal x-2 = 2 sin t, dx = 2 cos t dt
t x
cos 2
2 4
2
, sehingga
2
2 4
x dx
=
t tdt
cos 2
cos 2
=
dt
= t + C = arc sin
C x
2 2
3.
2
6 16
x x
dx
Jawab
2
6 16
x x
dx
=
2
3 25
x dx
Misal x-3 = 5 sin t, dx = 5 cos t dt
2
3 25
x
= 5 cos t, sehingga
2
6 16
x x
dx
=
t tdt
cos 5
cos 5
Kalkulus Integral
15
=
dt
= t + C = ln
C x
5 3
Kerjakan soal berikut sebagai latihan bagi pembaca
1.
2 3
2
1 x
dx
2.
dx
x x
2
25
3.
2 2
9 x x
dx
4.
2 2
3 x
x
dx
5.
2 3
2
4 x
x dx
Bentuk integral yang integrannya memuat bentuk
2 2
x a
atau modifikasinya, selesaiannya
menggunakan substitusi x = a tgn t, -
2
2
t
sehingga,
2 2
x a
= a sec t dan dx = a sec
t
2
. Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini. 1.
2
9 x
dx
Jawab
Kalkulus Integral
16
Misal x = 3 tgn t , dx = 3 sec t
2
dt
2
9 x
3 sec t, sehingga
2
9 x
dx
=
t dt
sec 3
sec 3
3
=
tdt sec
= ln
C t
t
tan
sec
= ln
C x
x
2
9
2.
5
4 1
2
2
x x
dx x
Jawab
5
4 1
2
2
x x
dx x
=
5
4 5
4 2
2 2
x x
dx x
x xdx
=
1
2 1
2 2
2 2
x dx
x xdx
Misal x+2 = tgn t , dx = sec
2
t dan x = tgn t - 2
1 2
2
x
= sec t, sehingga
1
2 1
2 2
2 2
x dx
x xdx
=
t tdt
t tdt
t sec
sec sec
sec .
2 tan
2
2 2
=
tdt
tdt t
sec 4
sec tan
2
= 2 sec t – 4 ln
C t
t
tan
sec
= 2
C x
x x
x x
2 5
4 ln
5 4
2 2
Kalkulus Integral
17
Kerjakan soal berikut sebagai latihan 1.
2 2
9 x
dx
dx 2.
dx x
2
3
3.
x x
1
2
dx
4.
13 4
2
x x
dx
5.
5 2
3
2
x x
xdx
6.
dt t
t
4
2
Bentuk bentuk integral yang integrannya memuat bentuk
2 2
a x
atau modifikasinya,
selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t, -
2
2
t
sehingga,
2 2
a x
= a tan t dan dx = a sec t tan t dt. Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini: 1.
dx x
x 9
2
Jawab Misal x = 3 sec t, dx = 3 sec t tan t dt
9
2
x
= 3 tan t, sehingga
Kalkulus Integral
18
dx x
x 9
2
=
tdt t
t t
tan sec
3 sec
3 tan
3
= 3
tdt
2
tan
= 3
dt
t 1
sec
2
= 3 tan t – 3 t + C = 3
C x
arc x
3
sec 3
9
2
2.
8 2
2
x x
dx
Jawab
8 2
2
x x
dx
=
9 1
2
x dx
Misal x-1 = 3 sec t, dx = 3 sec t tgn t dt
9 1
2
x
= 3 tgn t, sehingga
9 1
2
x dx
=
t tdt
tan 3
tan sec
3
=
tdt sec
= ln
C t
t
tan
sec
= ln
C x
x x
3
8 2
3 1
2
Kerjakan pengintegralan berikut sebagai latihan pembaca 1.
1
2
x
dx 2.
25
2 2
x
dx x
Kalkulus Integral
19
3.
dt t
t
3 2
4
4.
2
16 16
x x
dx
5.
6
2
x x
dx
6.
1
2 2
t t
dt
D. INTEGRAL PARSIAL
