Berikut ini akan ditinjau dua kasus untuk batas atas fluida, yaitu i batas atas berupa permukaan rata
1
y h dan ii batas atas berupa permukaan bebas
1 1
, y
h x t
. Pada kasus batas atas berupa permukaan rata diperoleh
1 1
1 y
N di
1
y h ,
2.13 dengan
1
0 1
T
N , yakni vektor normal satuan di
1
y h
. Pada kasus batas atas berupa permukaan bebas diperoleh
1 2
2 1
1 1
1 1
1 1
1
t y
x x
x
N di
1 1
, y
h x t , 2.14
dengan
1 1
2 1
1 1
1
T x
x
N , yakni vektor normal satuan di
1 1
, y
h x t .
Syarat batas dinamik di permukaan bebas
1 1
, y
h x t
adalah
2 1
2 1
1 1
t
g di
1 1
, y
h x t ,
2.15 dengan menganggap tekanan permukaan sama dengan tekanan udara yang
diasumsikan nol.
2.3 Sistem Hamiltonian
Didefinisikan fungsi pada ruang M, yaitu pemetaan :
H M R dengan
, . , ,...
,
x xx
H v h x v v v
dx v
M , 2.16
dan h adalah fungsi sembarang dari v beserta turunannya. Turunan variasi dari fungsional H terhadap v didefinisikan sebagai berikut. Jika terdapat operator
simetri miring di ruang M sehingga untuk setiap bilangan real berlaku
, d
H v s
sdx s
M d
, 2.17
maka disebut turunan variasi dari H terhadap v, ditulis dengan notasi
v
H . Turunan variasi
v
H dapat ditentukan dengan cara berikut. Perhatikan fungsional
, ,
, ,...
.
x x
xx xx
H v s
h x v s v
s v s
dx 2.18
Misalkan r v
s , maka diperoleh
2 2
... ...
... .
x xx
x xx
x xx
x xx
x x
dr dr
dH h dr
h h
dx d
r d r d
r d
h h
h s
s s
dx r
r r
h d
h d
h s dx
r dx r
r dx
Setelah dilakukan integrasi parsial berulang dan untuk 0 , diperoleh
2 2
...
v x
xx
h d
h d
h H
v dx
v v
dx .
2.19 Selanjutnya operator
: M M disebut operator simetri miring, jika
, ,
, ,
v s v s
v s M ,
2.20 dengan ,
adalah notasi untuk perkalian dalam. Pada penelitian ini perkalian dalam yang digunakan berbentuk
, ,
, v s
vsdx v s
M . 2.21
Suatu persamaan diferensial parsial dikatakan sebagai sistem Hamiltonian jika terdapat fungsional H dan
sehingga persamaan diferensial parsial tersebut dapat ditulis dalam bentuk
t v
v H .
2.22 Hamiltonian H merupakan besaran yang tetap, artinya jika vx,t
merupakan penyelesaian dari persamaan 2.22, maka nilai Hvx,t tidak berubah terhadap waktu. Penjelasan mengenai hal ini adalah sebagai berikut.
Jika
t
r v
v , maka ,
, ,
t
dH r d
r H v x t
dt dr
t dH r
dH r r
dr d
d H v x t
v d
2.23
sehingga diperoleh ,
v t
dH H
v dt
. 2.24
Jika persamaan 2.22 disubsitusikan ke persamaan 2.24, maka diperoleh ,
v v
dH H
H dt
. 2.25
Karena operator simetri miring, maka
,
v v
H H
, sehingga dH
dt .
2.26 Hal ini menunjukan bahwa nilai
, H v x t
tidak berubah terhadap waktu t. Berikut ini akan dibahas sistem persamaan diferensial yang merupakan
sistem Hamiltonian. Didefinisikan fungsional H adalah
1 2
1 2, 1
2 1
, , ,
, ,
,....
x x
xx
H v v h x v v v
v v
dx , 2.27
dengan h
fungsi sembarang dari v
1
dan v
2
beserta turunannya. Turunan variasi dari fungsi H terhadap v
1
, yaitu
1
v
H , memenuhi
1
1 1
2 1
1
, ,
,
v
d H v
s v H s
s M
d ,
2.28 dan turunan variasi dari fungsi H terhadap v
2
, yaitu
2
v
H , memenuhi
2
1 2
2 2
2
, ,
,
v
d H v v
s H s
s M
d .
2.29 Suatu sistem persamaan diferensial parsial dikatakan sistem Hamiltonian,
jika terdapat fungsional H dan operator simetri miring
sehingga sistem persamaan diferensial parsial tersebut dapat ditulis dalam bentuk
1 2
1 11
12 21
22 2
,
v t
v
H v
v H
. 2.30
Sebagai contoh, diberikan persamaan diferensial parsial berikut
x t
x
A u
B u
, 2.31
dengan A dan B adalah konstanta positif. Persamaan 2.31 dapat dinyatakan dalam sistem Hamiltonian berikut
,
x t
x u
H u
H 2.32
dengan Hamiltonian H didefinisikan oleh
2 2
1 2
H Au
B dx .
2.33 Contoh lainnya adalah sistem Hamiltonian yang diberikan oleh persamaan
diferensial parsial berikut
2 1
2 1
2 1
2 1
,
x x
t x
u x
u
H H
u H
u H
2.34
dengan Hamiltonian
2 2
2 2
2 1
2 1 2
1
1 2
2 H
Au Bu u
Cu dx ,
2.35 atau
2 2
2 2
1 1
1 1
1 2
T T
u u
I A
B H
dx I
u B
C u
. 2.36
Kemudian, jika dua vektor v dan y memenuhi v = By dengan B suatu matriks, maka hubungan sisitem Hamiltonian kedua vektor tersebut diberikan
pada proposisi berikut.
Proposisi 1
Misalkan y memenuhi persamaan
t y
y H .
Jika v memenuhi v = By, maka ,
t v
v H
dengan .
B B H v
H y Bukti proposisi dapat dilihat pada pustaka [7].
Sebagai contoh, didefinisikan transformasi berikut r
F s
u ,
2.37 dengan
4 4
4 4
4 4
4 4
B A
A B
F B
A A
B .
2.38
Dalam hal ini ,
, ,
v r s
y u ,
x x
. 2.39
Berdasarkan persamaan 2.32 dan proposisi 1 diperoleh
t y
v H ,
2.40 dengan
. F F
H v H y
Sebagai contoh lain, didefinisikan transformasi berikut
2 2
1 1
2 2
1 1
R v
u v
u ,
2.41
dengan
1
0 0 0 0
T
a b a b
R R
a b
a b
, 2.42
dan
1 2
2 2
1 2
2 2
2
2 1
2 2
1 1
2 1
2 2
2 .
a
b C
A B
Dalam hal ini
2 1
2 1
2 1
2 1
, ,
, ,
, ,
, ,
v v v
y u u
x x
x x
.
Berdasarkan persamaan 2.34 dan proposisi 1 diperoleh
t y
v H ,
atau
2 1
2 1
2 1
2 1
,
x x
t x
v x
v
H H
v H
v H
2.43
dengan
2 2
2 2
2 2
2 1
2 1
2 2
1 1
1 ,
, ,
, 2
H v v
c v
c v dx
2.44 dan
2 2
2
1 4
2 c
A C A C
B .
2.45
III PEMBAHASAN
Pada penelitian ini akan dibahas formulasi Hamiltonian bagi gerak gelombang interfacial. Pembahasan dibagi dalam dua kasus yaitu kasus pertama
dengan batas atas berupa permukaan rata dan kasus kedua dengan batas atas berupa permukaan bebas. Hamiltonian H didefinisikan sebagai energi total, yaitu
penjumlahan energi kinetik K dan energi potensial P yang dinyatakan oleh .
H K
P 3.1
3.1 Formulasi Hamiltonian 3.1.1 Batas Permukaan Rata
